Модель ARMA – это класс временных моделей, комбинация процесса скользящей средней и авторегрессионного процесса.
Временные ряды и лаги в экономических моделях
Анализ большинства экономических показателей требует наличия ежегодных, ежеквартальных, ежемесячных и ежедневных данных. Для этого данные необходимо упорядочить согласно времени их получения, т.е. построить временные ряды.
Выделяют авторегрессионные модели и модели с распределенными лагами.
Под лаговыми переменными понимаются такие переменные, влияние которых проявляется в определенном запаздывании. Данные модели содержат в качестве лаговых только независимые переменные.
Авторегрессионными являются модели, в уравнениях которых за лаговые объясняющие переменные принимаются значения зависимых переменных.
Лаги в экономике возникают из-за множества причин, основными из которых являются:
- Психологические причины, которые проявляются в инертном поведении людей. К примеру, население тратит свои доходы постепенно, а не сразу. Привычка вести определенный образ жизни ведет к тому, что человек приобретает те же блага за определенное время даже после снижения реальных доходов.
- Технологические причины. Примером является изобретение ПК, после которого большие ЭВМ не были вытеснены мгновенно в связи с необходимостью замены программного обеспечения.
- Институциональные причины. Примером служат контракты между предприятиями, трудовые договоры, требующие определенного постоянства заданный промежуток времени.
- Особенности формирования показателей в экономике. К примеру, инфляция в большинстве случаев – это инерционный процесс, а денежный мультипликатор проявляет себя также в определенное время.
Модель ARMA
Модель авторегрессии и скользящего среднего является одной из математических моделей, которые используются для анализа и прогнозирования постоянных статистических временных рядов. Модель ARMA является обобщением двух более простых временных моделей – модели авторегрессии и модели скользящего среднего.
Рассматриваемая модель основана на предположении, что текущее значение изучаемого временного ряда полностью зависит от линейной комбинации прошлых показателей временного ряда, а также белого шума. ARMA модель можно представить следующим образом:
Рисунок 1. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В данном случае
Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
и
Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
– это значения лагов и белых шумов.
Процесса ARMA – это комбинация процессов AR и MA. Соответственно, характеристики и свойства процесса ARMA являются комбинацией характеристик и свойств двух задействованных процессов.
При условии нулевой средней ARMA можно представить в виде
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Если же существует обратный оператор, то ARMA имеет вид:
Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
При добавлении в классические ARMA модели некоторых экзогенных факторов x мы получим ARMAX-модели. При этом в общем виде в модели содержатся как текущие значения факторов, так и лаговые значения. Подобные модели обозначаются как ARMAX(p,q,k), где k – это число лагов экзогенных факторов.
Перечислим свойства автокорреляционной и частной автокорреляционной функции процессов AR, MA, ARMA:
- Автокорреляционная функция убывает по экспоненте, при этом число ненулевых лагов частной функции автокорреляции равно степени авторегрессионного процесса;
- Частная функция авторегрессии скользящей средней имеет отрицательный наклон, а количество ненулевых лагов равно степени процесса скользящей средней.
