Линейное программирование – это математическая дисциплина, в которой описаны теоретические основы и методы решения экстремальных задач, т.е. задач по нахождению максимального или минимального значения функции при заданных значениях аргумента.
Основы экономико-математического моделирования и линейного программирования
Одним из основных и важнейших инструментов математического моделирования является линейное программирование. Оно представляет собой разновидность аналитического средства изучения процессов, которые имеют место быть в экономической жизни.
Моделирование (и в том числе линейное программирование как частный случай моделирования) как средство изучения окружающей действительности используется в тех случаях, когда проведение экспериментов с реальными объектами слишком дорого, запрещено или в принципе неосуществимо. В частности, именно моделирование является основным методом исследования экономических объектов, процессов и явлений.
Все формы математического моделирования любого экономического объекта предполагают последовательную реализацию следующих этапов:
- описание экономической задачи;
- построение математической модели (т.е. математическая формализация экономической ситуации);
- практическое использование математической модели, получение решения и его анализ на допустимость, устойчивость и другие критерии;
- экономическая интерпретация полученного решения.
Характеристика линейного программирования
Линейное программирование является одним из разделов этой математической теории, которая зачастую используется в науке для решения экономических задач. Впервые теоретические основы линейного программирования были сформулированы и опубликованы в 1939 году советским математиком и экономистом Л.В. Канторовичем. В том числе и за эту работу он в 1975 году был удостоен Нобелевской премии по экономике.
Методы линейного программирования на данный момент широко используются при решении экономических задач в области распределения ресурсов, планирования производства, проблем снабжения предприятий и др.
Общая задача линейного программирования (еще называется стандартной задачей) заключается в нахождении минимума линейной целевой функции, которая принимает следующий вид:
Рисунок 1. Линейная функция. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Если в экономической задаче присутствуют ограничения в форме неравенств, то она называется основной задачей линейного программирования. Эта задача может принять канонический вид, если вместо системы неравенств будет использоваться система равенств. Осуществить трансформацию задачи к каноническому виду можно благодаря введению дополнительных переменных.
Кроме того, допускаются и другие приемы работы с представлением задачи линейного программирования. Так, если в задаче, нацеленной на определение максимальной величины, поменять знаки у коэффициентов (плюс на минус, или наоборот), то задача уже будет нацелена на определение минимальной величины.
Существует несколько «классических» экономических задач, решение которых находится с помощью применения методов линейного программирования. Перечислим эти примеры:
- задача производственного планирования – заключается в составлении хозяйствующим субъектом такого плана производства продукции нескольких видов (при ограниченном объеме имеющихся у него материальных, трудовых и финансовых ресурсов), реализация которого принесет ему максимальный доход;
- задача потребителя – заключается в совершении покупателем (потребителем) выбора между продуктами, которые представлены в магазине, т.е. могут быть им приобретены при ограниченном объеме имеющихся у него денежных средств (бюджетное ограничение); причем этот выбор должен принести ему наибольшее удовлетворение;
- транспортная задача – заключается в составлении такого плана перевозок продукции со станций хранения до пунктов доставки (с учетом ограничений по объемам загрузки транспортных средств и потребностям пунктов доставки), реализация которого позволит минимизировать объем издержек, вызванных этими перевозками.
Для решения этих и ряда других задач необходимо создать математическую модель в виде целевой функции (или системы целевых функций), пример которой приведен выше, с учетом ограничений (одно из базовых ограничений: х должно быть больше 0, и др.). Этому и посвящено линейное программирование.
Методы решения задач линейного программирования
Для решения общей задачи линейного программирования в большинстве случаев специалисты обращаются к такому известному методу, как симплекс-метод. Он был разработан американским математиком Джорджем Бернард Данцигом и впервые представлен публике в 1949 году.
Этот метод справедливо считается одним из самых эффективных алгоритмов решения задач линейного программирования – при решении прикладных задач он неоднократно демонстрировал хорошие результаты. Залог успеха симплекс-метода состоит в его комбинаторном характере, т.е. он предполагает, что при поиске оптимального решения необходимо последовательно перебрать все вершины многогранника допустимых решений.
Ещё один метод решения задач линейного программирования – это метод эллипсоидов, который относится к категории полиномиальных алгоритмов. Его разработчиком (относительно задач линейного программирования) считается советский математик Л. Хачиян, который предложил данный метод в 1979 году.
Метод эллипсоидов кардинальным образом отличается от симплекс-метода, так как имеет некомбинаторную природу. В вычислительном плане этот метод оказался неперспективным, однако именно он стал предвестником создания и использования методов внутренней точки. Методы внутренней точки трактуют задачу линейного программирования непрерывно, поэтому поиск осуществляется вдоль траекторий в пространстве переменных задачи.
