На этой странице вы узнаете, как рассчитывается радиус вписанной в треугольник окружности для различных случаев: в общем случае, а также для прямоугольного, равнобедренного и равностороннего треугольников.
Также на страницу добавлены онлайн-калькуляторы для использования по приведённым формулам.
Окружность называется вписанной в треугольник если она касается каждой из сторон треугольника.
Рассмотрим как рассчитывается радиус вписанной окружности в общем случае. Для использования онлайн-калькулятора введите известные вам данные в поля для ввода.
Радиус вписанной окружности в треугольник, зная стороны
Радиус вписанной окружности можно сосчитать по формуле:
$R = \sqrt{\frac{(- a + b + c) \cdot(a - b + c) \cdot(a + b - c)} {4 \cdot (a + b + c)}}$, где
$a, b, c$ — стороны треугольника.
Разберём пример на использование этой формулы.
Задача
Дан треугольник со сторонами $a, b$ и $c$ соответственно равными $3, 4$ и $5$ см. Чему равен радиус $R$ вписанной в него окружности?
Решение:
$R = \sqrt{\frac{(- 3 + 4 + 5) ( 3 - 4 + 5) (3 + 4 - 5)}{4 \cdot (3 + 4 + 5)}} = 1$ см.
Ответ совпадает с ответом онлайн-калькулятора, а значит, решение найдено верно.
Следующей рассмотрим формулу радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности.
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник, зная стороны
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле:
$R = \frac{a + b - c}{2}$, где
$a, b$ — меньшие стороны;
$c$ — гипотенуза.
Решим пример на использование этой формулы.
Задача
Дан прямоугольный треугольник со сторонами $a, b$ и $c$ соответственно равными $2, 2$ и $2,85$ см. Чему равен радиус вписанной в него окружности?
Решение:
$R = \frac{2 + 2 + 2.85}{2} = 0,57$ см.
Данный ответ совпадает с ответом онлайн-калькулятора, а значит, решение осуществлено верно.
Также разберём, как выглядят упрощённые формулы для окружностей, вписанных в равнобедренный и равносторонний треугольники.
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны
$R = \frac{b}{2} \cdot \sqrt{\frac{2\cdot a - b}{2\cdot a + b}}$, где
$a$ — длина одинаковых сторон;
$b$ — длина третьей стороны.
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник через сторону
Через сторону радиус вписанной окружности определяется по формуле:
$R = \frac{\sqrt3 \cdot a }{6} $, где
$a$ — сторона правильного треугольника.
