В этой статье приведены формулы для расчёта радиуса описанной около треугольника окружности для различных случаев, а именно: для прямоугольного, равнобедренного и равностороннего треугольников.
Также приведена формула для описанной около треугольника окружности в общей форме и добавлены онлайн-калькуляторы для быстрого расчёта.
Описанной около треугольника окружностью называется окружность, внутри которой расположен треугольник, причём все три вершины этого треугольника лежат на окружности.
Ниже приведён онлайн-калькулятор для расчёта радиуса описанной окружности для любого треугольника. Для того чтобы воспользоваться им — введите имеющиеся данные в поля для ввода онлайн-калькулятора.
Статья: Радиус описанной около треугольника окружности
Радиус описанной около треугольника окружности через стороны
Чтобы определить радиус описанной вокруг треугольника окружности, нужно воспользоваться формулой:
$R = \frac{a\cdot b \cdot c}{4 \cdot \sqrt{P \cdot(P - a)\cdot(P - c) \cdot(P - b)}}$ (1), причём
$P$ — это полупериметр треугольника.
Он определяется по формуле:
$P = \frac12 \cdot (a + b + c)$, где
$a, b, c$ — стороны треугольника.
Рассмотрим пример на поиск радиуса описанной около треугольника окружности.
Задача
Дан треугольник со сторонами $3, 4, 5$ см. Найдите, чему равен радиус описанной вокруг него окружности.
Решение:
Сосчитаем полупериметр:
$P = \frac12 \cdot (3 + 4 + 5) = 6$ см.
Теперь воспользуемся формулой (1):
$R = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5} {4 \cdot \sqrt{6 \cdot (6 - 3) \cdot (6 - 4) \cdot (6 — 5)}} = 2,5$ см.
Результат совпадает с ответом онлайн-калькулятора, следовательно, задача решена правильно.
Также существуют формулы для расчёта радиуса описанной около прямоугольного и равнобедренного треугольников окружностей.
Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности через стороны
Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле:
$R = \frac12 \cdot \sqrt{d^2 + b^2}$, здесь
$d, b$ — катеты прямоугольного треугольника.
Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности через стороны
В этом случае радиус окружности определяется по формуле:
$R = \frac{d^2}{\sqrt{4d^2 — b^2}}$, здесь
$d$ — длина боковой стороны равнобедренного треугольника;
$b$ — длина основания.
Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности через сторону
В этом случае радиус определяется через формулу:
$R = \frac{a}{\sqrt3}$, здесь
$a$ — сторона равностороннего треугольника.
Рассмотрим в качестве второго примера поиск радиуса описанной окружности через сторону равностороннего треугольника.
Задача
В равностороннем треугольнике сторона $a$ равна $3$ см. Чему равен радиус описанной вокруг него окружности?
Решение:
$R = \frac{a}{\sqrt3} = 1, 73$ см.
Ответ совпадает с ответом онлайн-калькулятора, а значит, решение найдено верно.
