На этой странице вы узнаете, что такое проекция вектора на вектор, а также как найти проекцию вектора на вектор.
Также добавлен онлайн-калькулятор для расчёта длины проекции.
Проекция вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ — это отрезок, получаемый при опущении перпендикуляров из начала и конца вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ или его продолжение.
Ниже добавлен онлайн-калькулятор для поиска длины проекции $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ на плоскости. Вводить значения координат можно последовательно, используя для переключения клавишу Tab.
Рассмотрим пример использования формулы для нахождения проекции вектора на вектор на плоскости.
Задача
Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{3; 4\}$ и $\{7; 15\}$. Найдите, чему равна проекция вектора $\vec{a}$ на второй вектор.
Решение:
Воспользуемся приведённой выше формулой:
$Пр_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{3 \cdot 7 + 4 \cdot 15} {\sqrt{7^2 + 15^2}} = \frac{21 + 60}{\sqrt{49 + 225}}≈4.89$.
Ответ совпадает с ответом онлайн-калькулятора, следовательно, решение правильное.
Проекция вектора на вектор в пространстве
В пространстве координатная формула для нахождения проекции $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ примет вид:
$Пр_\vec{b} \vec{a} = \frac{x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2}{\sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$, где
$x_1, y_1, z_1$ — координаты вектора $\vec{a}$;
$x_2, y_2, z_2$ — координаты вектора $\vec{b}$.
Решим пример на использование этой формулы.
Задача
Даны вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{1; 2; 3\}$ и $\{5; 5; 13\}$. Чему равна проекция первого вектора на второй?
Решение:
Рассчитаем длину проекции по вышеприведённой формуле:
$Пр_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 13}{\sqrt{5^2 + 5^2 + 13^2}} = \frac{5 + 10 + 39}{\sqrt{25 + 25 + 169}}≈ 3.65$.
Ответ совпадает с ответом калькулятора, следовательно, расчёты проведены верно.
