Первым ученым, которого заинтересовала проблематика устойчивости сжатых стержней стал швейцарский математик и механик Леонард Эйлер. В процессе исследований им была выведена расчетная формула для критической силы, которая показывает, что этот параметр зависит от типа крепления стержня. В своей работе Эйлер исследовал стержень с шарнирным креплением, находившийся под влиянием сжимающего усилия (сжатия), которое воздействовало на него вдоль оси. Поэтому, в ходе изучения этой темы, мы тоже будем рассматривать стержень с таким же типом крепления.
Исследование устойчивости сжатого стержня и вывод формулы
Представим, что на прямой стержень с шарнирным креплением, который сжат силой F=Fкр, воздействует некоторая дополнительная горизонтальная сила. Эта сила вывела стержень из прямолинейного состояния, а ее удаление не вернуло стержень в первоначальное состояние. Для удобства дальнейшего изучения нанесем измененное состояние стержня (пунктирная линия) на схему.
Рисунок 1. Расчетная схема стержня с шарнирным креплением. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Запишем дифференциальное уравнение оси деформированного стержня:
E•l•y″=Mx, где
- Mx - внутренний изгибающий момент;
- y″ - ось изогнутого стержня;
- E - модуль упругости (Юнга) I рода;
- I - индекс усилий.
Mx=–Fкр•y, тогда после преобразование дифференциальное уравнение примет вид:
E•I•y″=–Fкр•y
Обозначим коэффициент запаса прочности, как k2=pкр/E. Это позволяет получить:
y″+k2•y=0
Решением дифференциального уравнения для изогнутого стержня будет формула:
y=Asinkz+Bcoskz
Так как стержень закреплен на шарнирах, то получим следующее:
у0=0, откуда B=0; уL=0, откуда Asinkl=0.
Однако A (площадь поперечного сечения), не может иметь нулевого значения, так как это означало бы отсутствию прогибов во всех точках. Поэтому из выражения sinkL=0, получим:
kl=nZ, где nZ - порядковый номер формы потери устойчивости.
В практической деятельности используют 1-ю форму потери устойчивости, так как именно она определяет переход конструкции в измененное состояние.
Преобразуем формулы и выведем k:
k=nZ/l
Выполним обратную замену, получим:
Fкр/EI=2•nZ2/l2, отсюда выведем выражение для расчета критической силы:
Fкр=π2•nZ2•E•I/l2
Если отсутствуют специальные устройства, которые препятствую изгибу, то стержень выпучивается туда, где наименьшая жесткость. Из-за этого введем в полученную формулу дополнительный параметр Imin - наименьший из главных центральных осевых моментов инерции поперечного сечения стержня.
Кроме подстановки нового параметра примем nZ=1, тогда формула для расчета критической силы примет вид:
Fкр=π2•E•Imin/l2
Эта формула и называется формулой Эйлера.
Обобщенная формула Эйлера
Формулу Эйлера можно использовать для расчета любого стержня, изогнутого при выпучивании целого числа полуволн. Используем эту формулу для стержней, изображенных на рисунке 2, и выведем формулу для нахождения их критических сил.
Рисунок 2. Стержни. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Для стержня, изображенного на схеме 2 (а), число полуволн, которое поместилось на длине L составляет 2. Тогда расчетная длина (Lр) примет вид: Lр=L/2. Число полуволн для схемы 2 (а) будет равно 1, то есть на изогнутую ось стержня приходиться половина синусоиды, поэтому Lр=2•L.
Обобщим стержни со всеми возможными типами крепления, введя коэффициент приведения волны (μ):
μ=Lр/L
Подставим этот коэффициент в формулу Эйлера и получим ее обобщенный вид:
Fкр=π2•E•Imin/(μ•l)2