Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Формула Эйлера для устойчивости сжатого стержня

Первым ученым, которого заинтересовала проблематика устойчивости сжатых стержней стал швейцарский математик и механик Леонард Эйлер. В процессе исследований им была выведена расчетная формула для критической силы, которая показывает, что этот параметр зависит от типа крепления стержня. В своей работе Эйлер исследовал стержень с шарнирным креплением, находившийся под влиянием сжимающего усилия (сжатия), которое воздействовало на него вдоль оси. Поэтому, в ходе изучения этой темы, мы тоже будем рассматривать стержень с таким же типом крепления.

Исследование устойчивости сжатого стержня и вывод формулы

Представим, что на прямой стержень с шарнирным креплением, который сжат силой F=Fкр, воздействует некоторая дополнительная горизонтальная сила. Эта сила вывела стержень из прямолинейного состояния, а ее удаление не вернуло стержень в первоначальное состояние. Для удобства дальнейшего изучения нанесем измененное состояние стержня (пунктирная линия) на схему.

Расчетная схема стержня с шарнирным креплением. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Расчетная схема стержня с шарнирным креплением. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Запишем дифференциальное уравнение оси деформированного стержня:

Ely=Mx, где

  • Mx - внутренний изгибающий момент;
  • y - ось изогнутого стержня;
  • E - модуль упругости (Юнга) I рода;
  • I - индекс усилий.

Mx=Fкрy, тогда после преобразование дифференциальное уравнение примет вид:

EIy=Fкрy

Обозначим коэффициент запаса прочности, как k2=pкр/E. Это позволяет получить:

y+k2y=0

Решением дифференциального уравнения для изогнутого стержня будет формула:

y=Asinkz+Bcoskz

Так как стержень закреплен на шарнирах, то получим следующее:

у0=0, откуда B=0; уL=0, откуда Asinkl=0.

«Формула Эйлера для устойчивости сжатого стержня» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Однако A (площадь поперечного сечения), не может иметь нулевого значения, так как это означало бы отсутствию прогибов во всех точках. Поэтому из выражения sinkL=0, получим:

kl=nZ, где nZ - порядковый номер формы потери устойчивости.

Замечание 1

В практической деятельности используют 1-ю форму потери устойчивости, так как именно она определяет переход конструкции в измененное состояние.

Преобразуем формулы и выведем k:

k=nZ/l

Выполним обратную замену, получим:

Fкр/EI=2nZ2/l2, отсюда выведем выражение для расчета критической силы:

Fкр=π2nZ2EI/l2

Замечание 2

Если отсутствуют специальные устройства, которые препятствую изгибу, то стержень выпучивается туда, где наименьшая жесткость. Из-за этого введем в полученную формулу дополнительный параметр Imin - наименьший из главных центральных осевых моментов инерции поперечного сечения стержня.

Кроме подстановки нового параметра примем nZ=1, тогда формула для расчета критической силы примет вид:

Fкр=π2EImin/l2

Эта формула и называется формулой Эйлера.

Обобщенная формула Эйлера

Формулу Эйлера можно использовать для расчета любого стержня, изогнутого при выпучивании целого числа полуволн. Используем эту формулу для стержней, изображенных на рисунке 2, и выведем формулу для нахождения их критических сил.

Стержни. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Стержни. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для стержня, изображенного на схеме 2 (а), число полуволн, которое поместилось на длине L составляет 2. Тогда расчетная длина (Lр) примет вид: Lр=L/2. Число полуволн для схемы 2 (а) будет равно 1, то есть на изогнутую ось стержня приходиться половина синусоиды, поэтому Lр=2L.

Обобщим стержни со всеми возможными типами крепления, введя коэффициент приведения волны (μ):

μ=Lр/L

Подставим этот коэффициент в формулу Эйлера и получим ее обобщенный вид:

Fкр=π2EImin/(μl)2

Дата последнего обновления статьи: 01.04.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Формула Эйлера для устойчивости сжатого стержня"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant