Первым ученым, которого заинтересовала проблематика устойчивости сжатых стержней стал швейцарский математик и механик Леонард Эйлер. В процессе исследований им была выведена расчетная формула для критической силы, которая показывает, что этот параметр зависит от типа крепления стержня. В своей работе Эйлер исследовал стержень с шарнирным креплением, находившийся под влиянием сжимающего усилия (сжатия), которое воздействовало на него вдоль оси. Поэтому, в ходе изучения этой темы, мы тоже будем рассматривать стержень с таким же типом крепления.
Исследование устойчивости сжатого стержня и вывод формулы
Представим, что на прямой стержень с шарнирным креплением, который сжат силой $F = Fкр$, воздействует некоторая дополнительная горизонтальная сила. Эта сила вывела стержень из прямолинейного состояния, а ее удаление не вернуло стержень в первоначальное состояние. Для удобства дальнейшего изучения нанесем измененное состояние стержня (пунктирная линия) на схему.
Рисунок 1. Расчетная схема стержня с шарнирным креплением. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Запишем дифференциальное уравнение оси деформированного стержня:
$E • l • y’’ = Mx$, где
- $Mx$ - внутренний изгибающий момент;
- $y’’$ - ось изогнутого стержня;
- $E$ - модуль упругости (Юнга) I рода;
- $I$ - индекс усилий.
$Mx = –Fкр • y$, тогда после преобразование дифференциальное уравнение примет вид:
$E • I • y’’ = – Fкр • y$
Обозначим коэффициент запаса прочности, как $k^2 = pкр / E$. Это позволяет получить:
$y’’+ k^2 • y = 0$
Решением дифференциального уравнения для изогнутого стержня будет формула:
$y = A \sin {kz} +B\cos {kz}$
Так как стержень закреплен на шарнирах, то получим следующее:
$у_0 = 0$, откуда $B = 0$; $у_L = 0$, откуда $A\sin {kl} = 0$.
Однако $A$ (площадь поперечного сечения), не может иметь нулевого значения, так как это означало бы отсутствию прогибов во всех точках. Поэтому из выражения $\sin {kL} = 0$, получим:
$kl = nZ$, где $nZ$ - порядковый номер формы потери устойчивости.
В практической деятельности используют 1-ю форму потери устойчивости, так как именно она определяет переход конструкции в измененное состояние.
Преобразуем формулы и выведем $k$:
$k = nZ / l$
Выполним обратную замену, получим:
$Fкр / EI = 2 • nZ^2 / l^2$, отсюда выведем выражение для расчета критической силы:
$Fкр = \pi^2 • nZ^2 • E• I/ l^2$
Если отсутствуют специальные устройства, которые препятствую изгибу, то стержень выпучивается туда, где наименьшая жесткость. Из-за этого введем в полученную формулу дополнительный параметр $I\min$ - наименьший из главных центральных осевых моментов инерции поперечного сечения стержня.
Кроме подстановки нового параметра примем $nZ = 1$, тогда формула для расчета критической силы примет вид:
$Fкр = \pi^2 • E • I\min / l^2$
Эта формула и называется формулой Эйлера.
Обобщенная формула Эйлера
Формулу Эйлера можно использовать для расчета любого стержня, изогнутого при выпучивании целого числа полуволн. Используем эту формулу для стержней, изображенных на рисунке 2, и выведем формулу для нахождения их критических сил.
Рисунок 2. Стержни. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Для стержня, изображенного на схеме 2 (а), число полуволн, которое поместилось на длине $L$ составляет 2. Тогда расчетная длина ($Lр$) примет вид: $Lр = L / 2$. Число полуволн для схемы 2 (а) будет равно 1, то есть на изогнутую ось стержня приходиться половина синусоиды, поэтому $Lр = 2 • L$.
Обобщим стержни со всеми возможными типами крепления, введя коэффициент приведения волны ($μ$):
$μ = Lр / L$
Подставим этот коэффициент в формулу Эйлера и получим ее обобщенный вид:
$Fкр =\pi^2 • E • I\min / (μ • l)^2$
