Расчет статически неопределимых рам методом сил

Расчет статически неопределимых рам методом сил При расчете плоских стержневых систем число степеней свободы может быть подсчитано по формуле: W = 3Д – 2Ш – С, если W < 0, то заданная система статически неопределима; Или может быть использована формула для определения числа «лишних» связей (степень статической неопределимости) Л = 3К – Ш, если Л > 0, то заданная система статически неопределима. Для расчета таких конструкций одних уравнений статики становится недостаточно и составляются дополнительные уравнения совместности деформаций. Одним из основных методов расчета статически неопределимых систем является метод сил. В этом методе от заданной статически неопределимой стержневой системы переходят к новой статически определимой путем отбрасывания необходимого количества «лишних» связей. Отбрасываемые «лишние» связи заменяются действием неизвестных реактивных сил в этих связях. Стержневая система, полученная путем отбрасывания «лишних» связей называется основной системой метода сил. Основная система должна отвечать следующим требованиям: – быть статически определимой; – оставаться геометрически неизменяемой. Как правило, для одной и той же статически неопределимой конструкции существует несколько вариантов основной системы, отвечающих перечисленным требованиям. На рис. 2.1, а приводится плоская рама, конструкция дважды статически неопределима: Л = 3К – Ш = 3*2 - 4 = 2, На рис. 2.1, б, в, г, д даются возможные варианты основной системы (с указанием для наглядности неизвестных сил в удаленных связях) для расчета заданной рамы методом сил. Промежуточные вычисления будут зависеть от принятой к расчету основной системы, а окончательный результат получится один. Рациональность принятой основной системы метода сил оценивается сложностью проведения вспомогательных (промежуточных) расчетов. Если к выбранной основной системе прикладываются внешние нагрузки и неизвестные реакции по направлению удаленных связей, то такую систему называют эквивалентной (рис. 2.2). Чтобы работа эквивалентной системы полностью совпадала с работой заданной системы, следует учесть ограничения: в эквивалентной системе должны отсутствовать перемещения по направлениям удаленных связей. Для линейно деформируемых систем при вычислениях указанных перемещений используется принцип независимости действия сил: (2.1) Δ1x = 11 X1 + 12 X 2 + Δ1F = 0 , где Δ1x – полное перемещение в направлении вертикальной удаленной связи в опоре В; δ11 – перемещение в направлении вертикальной удаленной связи от действия на конструкцию единичной силы X 1 ; X1 – величина реактивной вертикальной силы в опоре В от действия заданной нагрузки; δ12 – перемещение в направлении вертикальной удаленной ̅̅̅2 связи от действия на конструкцию единичной силы 𝑋 X2 – величина реактивной горизонтальной силы в опоре В от действия заданной нагрузки; Δ1F – перемещение в направлении вертикальной удаленной связи в опоре В от действия всей заданной нагрузки. Сумма всех перемещений приравнивается к нулю, так как в заданной раме вертикальное перемещение невозможно. Уравнения типа (2.1) называются каноническими уравнениями метода сил. Для n раз статически неопределимой плоской стержневой конструкции составляется система канонических уравнений n-го порядка: δ11 Х 1 + δ12 Х 2 + δ13 Х 3 + ... + δ1n Х n + Δ1F = 0;   δ 21 Х 1 + δ 22 Х 2 + δ 23 Х 3 + ... + δ 2 n Х n + Δ 2 F = 0;  .................................................................  δ n1 Х 1 + δ n 2 Х 2 + δ n 3 Х 3 + ... + δ nn Х n + Δ nF = 0, (2.2) здесь δij =   l 1 M i M j dz EI (2.3) перемещение в направлении удаленной связи i от действия единичного фактора X j , подсчитываемое энергетическим методом вычисления интеграла Мора (1.18). Чтобы вычислить величины всех коэффициентов, необходимо построить эпюры изгибающих моментов от единичных факторов X n по направлениям всех удаленных связей. При вычислении следует помнить, что коэффициенты на главной диагонали δ ii могут быть только положительными, а побочные попарно равны δij = δ ji . Для контроля правильности подсчета коэффициентов можно использовать равенство δ =   ij l где MSMS dz , EI (2.4) – суммарная единичная эпюра изгибающих моментов, M S = M1 + M 2 + ... + M n , получается в результате алгебраической суммы ординат всех единичных эпюр в характерных сечениях элементов рамы. Проверка (2.4) контролирует только правильность вычисления коэффициентов δij , но не проверяет правильности построения единичных эпюр M n . Свободные слагаемые канонических уравнений (2.2) подсчитываются также энергетическим методом: MS Δ jF =   l где 1 M i M F0 dz, EI (2.5) M i – эпюра изгибающих моментов в основной системе метода сил, построенная от действия единичного фактора Xi; M F0 – эпюра изгибающих моментов в основной системе метода сил, построенная от действия внешних нагрузок. Для контроля правильности вычислений величин свободных слагаемых канонических уравнений используется равенство 1 (2.6) M S M F0 dz . l EI После проверки вычислений коэффициентов ij и свободных слагаемых iF из решения системы линейных алгебраических уравнений (2.2) определяются величины реакций Xi в удаленных связях (т.е. раскрывается статическая неопределимость заданной конструкции). Раскрыв статическую неопределимость, расчеты внутренних усилий в элементах конструкций возможно производить различными способами. В пособии рассматривается наиболее общая методика, в соответствии с которой окончательная эпюра изгибающих моментов в заданной статически неопределимой раме получается с использованием принципа независимости действия сил для линейно деформируемой системы:  Δ iF =   M = M1 X1 + M 2 X 2 + M 3 X 3 + ... + M n X n + M F0 . (2.7) Необходимо ранее построенные эпюры изгибающих моментов от действия единичных факторов X i умножить на величины реакций X i , вычисленные при решении системы уравнений (2.2). Если величина Xi отрицательна, то ординаты эпюры M i X i следует откладывать на противоположных волокнах элементов рамы по сравнению с эпюрой M i . Для контроля правильности построения окончательной эпюры М в заданной раме выполняются проверки: 1) статическая – для любой отсеченной части рамы M = 0 (обычно вырезаются узлы рам); 2) деформационная – перемещения по направлениям всех удаляемых в процессе расчета связей должны в действительности отсутствовать:  l MSM dz = 0 . EI (2.8) После проверки правильности эпюры изгибающих моментов М в заданной статически неопределимой раме строится эпюра Q. С целью построения эпюры Q поочередно рассматривается равновесие всех элементов рамы: M − M n −1 , (2.9) Q nz = Qnz0 + n ln где Q nz – поперечная сила в произвольном сечении z на рассматриваемом участке элемента рамы; Qnz – поперечная сила в произвольном сечении z шарнирной двух опорной балки от действия внешней нагрузки на рассматриваемом элементе рамы; M n −1 – изгибающий момент в левом сечении рассматриваемого участка рамы (принимается по эпюре М); M n – изгибающий момент в правом сечении рассматриваемого участка элемента рамы (принимается по эпюре М). l n – длина рассматриваемого участка; Распределение продольных сил N устанавливается из равновесия узлов рамы с использованием результатов построения эпюры Q (подробнее при решении конкретных примеров). После выявления распределения внутренних усилий от действия внешних нагрузок в заданной статически неопределимой конструкции, т.е. после построения эпюр M, Q, N, проводится окончательная проверка всего решения (конструкция отсекается от опор, в сечениях указываются величины вычисленных силовых внутренних факторов, проверяется выполнение уравнений статики для плоской стержневой системы): x = 0 ; y = 0 ; M = 0 . Пример Для рамы, приведенной на рис. 2.4, построить эпюры M, Q, N от действия заданной нагрузки, если I1 : I 2 = 1 : 2 ( I 2 = 2I1 ). Для удобства выполнения расчетов в начале и конце каждого из участков рамы проставляются индексы (рис. 2.4). Решение. Степень статической неопределимости заданной конструкции подсчитывается по формуле: Л = 3*3 – 7 = 2, заданная система дважды статически неопределима (присутствуют две «лишние» связи). 2. Основная система метода сил получается путем удаления двух «лишних» связей у заданной рамы. Варианты основных систем приводятся на рис. 2.5, а, б, в. Любая из конструкций на рис. 2.5, а, б, в отвечает требованиям, предъявляемым к основной системе метода сил: статическая определимость и геометрическая неизменяемость. К расчету принимается основная система (рис. 2.5, в). 3. Эквивалентная система приводится на рис. 2.6. Чтобы работа эквивалентной системы (а следовательно, и распределение внутренних усилий M, Q, N) ничем не отличалась от заданной рамы, следует учесть два ограничения в виде канонических уравнений метода сил (2.2). Для дважды статически неопределимой рамы составляются два линейных алгебраических уравнения с двумя неизвестными Х1 и Х2. Физический смысл каждого из уравнений заключается в отрицании перемещений в направлении удаленных «лишних» связей: 𝛿11 𝑋1 + 𝛿12 𝑋2 + Δ1𝐹 = 0; } (2.10) 𝛿21 𝑋1 + 𝛿22 𝑋2 + Δ2𝐹 = 0. Все слагаемые канонических уравнений метода сил (2.10) являются перемещениями сечений рамы от воздействия различных силовых факторов. Перемещения могут быть определены энергетическим методом вычисления интегралов Мора типов (2.3) и (2.5). 4. С целью вычисления интегралов Мора и проверки правильности расчета в основной системе метода сил (см. рис. 2.5, в) строятся эпюры изгибающих моментов: – эпюра M 1 от действия X 1 = 1 (рис. 2.7, а); – эпюра M 2 от действия X 2 = 1 (рис. 2.7, б); – суммарная единичная эпюра M S = M1 + M 2 (рис. 2.7, в); – грузовая эпюра M F0 от действия всей заданной нагрузки (рис. 2.7, г, д). Расчет перемещения от действия единичного фактора X1 направлении удаленной связи : 11 =   l + M1 M1 1 1 2  1 1 2  dz =   6  6   6 2 +   6  3   6 2 + EI EI1  2 3  EI2  2 3  1 1 2 1  72 144  252  144 72 144 + + = + ;   12  3   12  = 144 + = EI 2  2 3 2 2  EI 1  EI 1 EI 2 EI 2 EI 1  12 =  21 =   l M1 M 2 1 1 2   1 1 dz = −   6  6  1 −   12  3   1 = EI EI1  2 3   EI2  2 =− 18 12 1  12  24 − =− ; 18 +  = − EI1 EI 2 EI 1  2 EI1 в  22 =   l M2 M2 1 (1  6  1) + 1  1  1  3  2  1 = dz = EI EI1 EI2  2 3  = 6 1 1  1  6,5 + = . 6 +  = EI 1 EI 2 EI 1  2  EI 1 Проверка правильности вычисления выполняется в соответствии с формулой (2.4): δij = δ11 + δ12 + δ 21 + δ 22 =  l коэффициентов 252 24 24 6,5 210,5 − − + = ; EI1 EI1 EI1 EI1 EI1 MS MS 1 1 2  6 (2 1 1 + 2  5  5 − 1  5 − 5 1) + dz =   6  6   6 + EI EI1  2 3  6 EI1 + = 1 1 2  1 1 2    6  3   6 2 +   11  3   11  = EI 2  2 3  EI 2  2 3  72 42 72 121 1  72 121  210,5 + + + = + .  72 + 42 + = EI1 EI1 EI 2 EI 2 EI1  2 2  EI1 Коэффициенты в канонических уравнениях вычислены верно. Расчет свободных слагаемых канонических уравнений энергетическим методом: M 1 1 1  1 2  2 1F =   M F 1 dz =  90  3  6 +  3  +  180  6   6 +  EI EI1  2 3  2 3  3 l 1 1 2 1 2  33 1 1 2 12  +  90  3   6 +  36  3   6 +   6 +  216  3   12 +  EI 2  2 3 2 3 12 2 2 3   33 1 1 (675 + 2160 ) + 1 (540 + 216 + 81 + 2592 + 162 ) = + 12   12  = 12 2 EI 2  EI 1 = 2835 3591 1  3591  4630,5 + = ;  2835 + = EI 1 EI 2 EI 1  2  EI 1 3 M 1  1 2  1 1 12  3  1 1 =  2 F =   M F 2 dz =   216  3  1 +   − 180  6 1 − EI EI1  2 3 12 2   EI2  2 l =− 540 229,5 1  229,5  654,75 − =−  540 + =− EI 1 EI 2 EI 1  2  EI 1 . Проверка правильности вычисления свободных слагаемых канонических уравнений выполняется в соответствии с формулой (2.6):  iF = 1 F +  2 F = 4630,5 654,75 3975,75 − = ; EI1 EI1 EI1 M F M S dz = 1  1  90  3 2  6 + 1  3  + 1  180  6 2  5 − 1  1 +       EI EI1  2 3  2 3  3 3 l + 3 1 1 2 1 2 12  3  1  6 + 1  216  3  2  11 +   90  3   6 +  36  3   6 + EI21  2 3 2 3 12 2 2 3   33 1 1 12 (675 + 1620 ) + 1 (540 + 216 + 81 + 2376 + 148,5 ) = +   11  = 12 2 EI 2  EI1 = 2295 3361,5 1  3361,5  3975,75 + =  2295 + = EI 1 EI 2 EI 1  2  EI 1 . Свободные слагаемые канонических уравнений определены верно. 5. Найденные значения коэффициентов δij и свободных слагаемых  iF подставляются в уравнения (2.10), и после умножения на величину EI1 окончательно получается система двух линейных алгебраических уравнений: 252 X 1 − 24 X 2 + 4630,5 = 0;   − 24 X 1 + 6,5 X 2 − 654,75 = 0. (2.11) Решение системы уравнений (2.11): X 1 = −13,547кН ; X 2 = 50,709кНм . Следует помнить, что за неизвестную величину Х1 принималась горизонтальная составляющая реакции в опоре А, за неизвестную Х2 – реактивный момент в опоре В. С вычислением величин Х1 и Х2 раскрыта статическая неопределимость заданной рамы. 6. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов в заданной статически неопределимой раме выполняется с использованием принципа независимости действия сил в линейно деформируемой системе (2.7): M = M 1 X 1 + M 2 X 2 + M F0 . Суммирование ординат эпюр изгибающих моментов (рис. 2.8, а, б, в) производится в характерных сечениях (в начале и в конце каждого участка). Правильность построения окончательной эпюры изгибающих моментов в заданной статически неопределимой системе (рис. 2.8, г) оценивается двумя проверками: а) статическая – любой узел рамы должен находится в равновесии (рис. 2.9, а, б); б) деформационная выполняется по формуле (2.8):  l  l MSM dz = 0 ; EI MSM 3 (− 2  40,641 3) + (− 2  40,641 3 + 2  6  8,718 − dz = EI 6 EI1 − 40,641 6 + 8,718  3 + − 50,709  5 − 48,009  1) + 6 (2  50,709  1 + 2  48,009  5 − 6 EI1 1 1 2 1 2   8,718  3   6 −  45,282  3   6 + EI 2  2 3 2 3   3 1 1 2  3 1 + 12 3   6 +  2,727  3   11 + 12 3   11 = 12 2 2 3 12 2  =− = 300,384 279,954 40,113 + + = EI1 EI1 EI2 1  40,113  0,3735  − 300,384 + 279,954 + = EI1  2  EI1 . Погрешность П = 0,3735 100 = 0,124 % ( 2 %) в пределах точности 300,384 инженерных расчётов. 7. Из условия равновесия каждого участка рамы (рис. 2.10) с учетом действующих изгибающих моментов и внешних нагрузок (в соответствии с формулой 2.9) строится эпюра поперечных сил Q (рис. 2.11). 8. По готовой эпюре поперечных сил из условия равновесия узлов рамы (рис. 2.12, а, б) строится эпюра продольных сил N (рис. 2.13). Рекомендуется начинать рассматривать равновесие более простых узлов, где сходится по два элемента рамы. При рассмотрении равновесия сложных узлов, где сходится три и более элементов, усилия в некоторых элементах принимаются уже известными из расчетов простых узлов. 9. С целью выполнения окончательной проверки всего расчета рама отсекается от опор, и рассматривается условие ее равновесия (рис. 2.14):  x = 0; F − Q12 − Q57 = 30 − 13,547 − 16,453 = 0;  y = 0; − q  6 + N13 + N57 + Q6 = −12  6 + 2,906 + 50,185 + 18,909 = 0; M A = 0; − F  3 − q  6  6 + M B + N57  6 + Q6  9 = = −30  3 − 12  6  6 + 50,709 + 50,185  6 + 18,909  9 = 0. Решение верно.