Выражения и преобразование выражений

Преобразование выражений можно выполнять с помощью следующих законов:

1. $a+b=b+a$
2. $ab=ba$
3. $\left(a+b\right)+c=a+(b+c)$
4. $\left(ab\right)c=a(bc)$
5. $a\left(b+c\right)=ab+ac$

Далее рассмотрим основные тождественные преобразования.

Раскрытие скобок

Если выражение в себе содержит скобки, то мы можем его привести к тождественно равному выражению с меньшем количеством скобок или к выражению, которое не будет содержать их совсем.

Вынесение общего множителя за скобки

Наряду с раскрытием скобок можно применять обратную операцию -- выносить общий множитель за скобки.

Приведение подобных слагаемых

Если выражение содержит одинаковые слагаемые или слагаемыми, у которых отличается только числовой коэффициент, то их можно преобразовывать в одно слагаемое. Тоже самое можно делать и с самими числами, входящими в выражение. Вернемся к предыдущему примеру.

Замена чисел и выражений тождественно равными выражениями

Одними из основных тождеств являются свойства степеней, корней, логарифмов, а также тригонометрические тождества.

Формулы сокращенного умножения

Довольно часто для преобразования выражений пользуются формулами сокращенного умножения. Выведем некоторые из них.

1. Разность квадратов двух выражений равна произведению их разность на их сумму:
$$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$$
2. Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадрата первого выражения с удвоенным произведением первого выражения на второе и квадратом второго выражения:
$${(a+b)}^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$$
3. Квадрат разности двух выражений равен сумме квадрата первого выражения с квадратом второго выражения без удвоенного произведения первого выражения на второе:
$${(a-b)}^2=\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$$
4. Сумма кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы:
$$\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3$$
5. Разность кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности:
$$\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3$$
6. Куб суммы двух выражений равен сумме куба первого выражения с утроенным произведением квадрата первого выражения на второе, с утроенным произведением первого выражения на квадрат второго с квадратом третьего выражения.
$${(a+b)}^3=(a+b){(a+b)}^2$$

Применим 2 формулу сокращенного умножения:

$${(a+b)}^3=\left(a+b\right){\left(a+b\right)}^2=\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)=$$ $$=a^3+{2a}^2b+{ab}^2+a^2b+2{ab}^2+b^3=a^3+{3a}^2b+{3ab}^2+b^3$$
7. Куб разности двух выражений равен сумме куба первого выражения с утроенным произведением первого выражения на квадрат второго, без суммы утроенного произведение квадрата первого выражения на второе с квадратом третьего выражения.
$${(a-b)}^3=(a-b){(a-b)}^2$$

Применим 2 формулу сокращенного умножения:

$${(a-b)}^3=\left(a-b\right){\left(a-b\right)}^2=\left(a-b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)=$$ $$=a^3-{2a}^2b+{ab}^2-a^2b+2{ab}^2-b^3=a^3-{3a}^2b+{3ab}^2-b^3$$

Примеры на преобразование выражений