Решение целых рациональных неравенств

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Предварительные сведения

Определение 1

Неравенство вида $f(x) >( ≥)g(x)$ , в котором $f(x)$ и $g(x)$ будут являться целыми рациональными выражениями, называется целым рациональным неравенством.

Примерами целых рациональных неравенств являются линейные, квадратные, кубические неравенства с двумя переменными.

Определение 2

Значение $x$ , при котором выполняется неравенство из определения $1$ , называется корнем уравнения.

Пример решения таких неравенств:

Пример 1

Решить целое неравенство $4x+3 >38-x$ .

Решение.

Упростим данное неравенство:

$4x+x >38-3$

$5x >35$

Получили линейное неравенство. Найдем его решение:

$x >7$

Ответ: $(7,∞)$ .

В данной статье мы рассмотрим следующие способы решения целых рациональных неравенств.

Способ разложения на множители

Данный способ будет заключаться в следующем: Записывается уравнение вида $f(x)=g(x)$ . Данное уравнение приводится к виду $φ(x)=0$ (где $φ(x)=f(x)-g(x)$ ). Затем функция $φ(x)$ раскладывается на множители с минимально возможными степенями. Применяется правило: Произведение многочленов равняется нулю, когда один из них равняется нулю. Далее найденные корни отмечаются на числовой прямой и строится кривая знаков. В зависимости от знака начального неравенства записывается ответ.

Приведем примеры решения этим способом:

Пример 2

Решить разложением на множители. $y^2-9

Решение.

Решим уравнение $y^2-9

Используя формулу разности квадратов, имеем

$(y-3)(y+3)=0$

Используя правило равенства нулю произведения множителей, получим следующие корни: $3$ и $-3$ .

Изобразим кривую знаков:

Так как в начальном неравенстве знак «меньше», то получаем

Ответ: $(-3,3)$ .

«Решение целых рациональных неравенств» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Пример 3

Решить разложением на множители.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Решение.

Решим следующее уравнение:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

Вынесем за скобки общие множители из первых двух слагаемым и из последних двух

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

Вынесем общий множитель $(x^2+3)$

$(x^2+3)(x+2)=0$

Используя правило равенства нулю произведения множителей, получим:

$x+2=0 \ и \ x^2+3=0$

$x=-2$ и "корней нет"

Изобразим кривую знаков:

Так как в начальном неравенстве знак «больше или равно», то получаем

Ответ: $(-∞,-2]$ .

Способ введения новой переменной

Такой способ состоит в следующем: Записывается уравнение вида $f(x)=g(x)$ . Решаем его следующим образом: введем такую новую переменную, чтобы получить уравнение, способ решения которого уже известен. Его, впоследствии, решаем и возвращаемся к замене. Из нее и найдем решение первого уравнения. Далее найденные корни отмечаются на числовой прямой и строится кривая знаков. В зависимости от знака начального неравенства записывается ответ.

Приведем пример применения этого способа на примере неравенства четвертой степени:

Пример 4

Решим неравенство.

$x^4+4x^2-21 >0$

Решение.

Решим уравнение:

$x^4+4x^2-21=0$

Сделаем следующую замену:

Пусть $x^2=u (где \ u >0)$ , получаем: