Модуль числа, сравнение чисел

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Модуль числа

Модуль числа а обозначают $|a|$ . Вертикальные черточки справа и слева от числа образуют знак модуля.

Например, модуль любого числа (натурального, целого, рационального или иррационального) записывается так: $|5|$ , $|-11|$ , $|2,345|$ , $|\sqrt[4]{45}|$ .

Определение 1

Модуль числа a равен самому числу $a$ , если $a$ является положительным, числу $−a$ , если $a$ является отрицательным, или $0$ , если $a=0$ .

Данное определение модуля числа можно записать следующим образом:

$|a|= \begin{cases} a, & a > 0, \\ 0, & a=0,\\ -a, &a

Можно использовать более краткую запись:

$|a|=\begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a

Пример 1

Вычислить модуль чисел $23$ и $-3,45$ .

Решение.

Найдем модуль числа $23$ .

Число $23$ – положительное, следовательно, по определению модуль положительного числа равен этому числу:

$|23|=23$ .

Найдем модуль числа $–3,45$ .

Число $–3,45$ – отрицательное число, следовательно согласно определению модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному:

$|-3,45|=3,45$ .

Ответ: $|23|=23$ , $|-3,45|=3,45$ .

Определение 2

Модуль числа является абсолютной величиной числа.

Таким образом, модуль числа – число под знаком модуля без учета его знака.

Модуль числа как расстояние

Геометрическое значение модуля числа: модуль числа – это расстояние.

Определение 3

Модуль числа a – это расстояние от точки отсчета (нуля) на числовой прямой до точки, которая соответствует числу $a$ .

Пример 2

Например, модуль числа $12$ равен $12$ , т.к. расстояние от точки отсчета до точки с координатой $12$ равно двенадцати:

$|12|=12$ .

Точка с координатой $−8,46$ расположена от начала отсчета на расстоянии $8,46$ , поэтому $|-8,46|=8,46$ .

«Модуль числа, сравнение чисел» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Модуль числа как арифметический квадратный корень

Определение 4

Модуль числа a является арифметическим квадратным корнем из $a^2$ :

$|a|=\sqrt{a^2}$ .

Пример 3

Вычислить модуль числа $–14$ с помощью определения модуля числа через квадратный корень.

Решение.

$|-14|=\sqrt{((-14)^2}=\sqrt{(-14) \cdot (-14)}=\sqrt{14 \cdot 14}=\sqrt{(14)^2}=14$ .

Ответ: $|-14|=14$ .

Сравнение отрицательных чисел

Сравнение отрицательных чисел основывается на сравнении модулей этих чисел.

Замечание 1

Правило сравнения отрицательных чисел:

Если модуль одного из отрицательных чисел больше, то такое число является меньшим;
если модуль одного из отрицательных чисел меньше, то такое число является большим;
если модули чисел равны, то отрицательные числа равны.

Замечание 2

На числовой прямой меньшее отрицательное число располагается левее большего отрицательного числа.

Пример 4

Сравнить отрицательные числа $−27$ и $−4$ .

Решение.

Согласно правилу сравнения отрицательных чисел найдем сначала модули чисел $–27$ и $–4$ , а затем сравним полученные положительные числа.

$|-27|=27$

$|-4|=4$

Сравним полученные натуральные числа:

$27 > 4$ .

Таким образом, получаем, что $–27 |-4|$ .

Ответ: $–27

При сравнении отрицательных рациональных чисел необходимо преобразовать оба числа к виду обыкновенных дробей или десятичных дробей.

Сравнение чисел с противоположными знаками

Замечание 3

Правило сравнения чисел с противоположными знаками:

Положительное число всегда больше отрицательного, а отрицательное число всегда меньше положительного.

Пример 5

Сравнить целые числа $−53$ и $8$ .

Решение.

Числа имеют противоположные знаки. Согласно правилу сравнения чисел с противоположными знаками получаем, что отрицательное число $−53$ меньше положительного числа $8$ .

Ответ: $−53

Пример 6

Сравнить числа $3 \frac{11}{13}$ и $–5,(123)$ .

Решение.

Согласно правилу сравнения чисел с противоположными знаками отрицательное число всегда меньше положительного. Следовательно, $–5,(123)

Ответ: $–5,(123)

По данному правилу можно сравнивать также и действительные числа с противоположными знаками.

Если числа заданы как числовые выражения, то сразу невозможно определить какие они имеют знаки. В таком случае нужно вычислить значение этих выражений и затем определить, какое из правил сравнения можно применить.

Дата последнего обновления статьи: 20.06.2024