Производная: корень из х

Найдём производную от функции игрек, равной квадратному корню из икс $y=\sqrt{x}$.

Для этого проведём стандартную процедуру вывода формулы производной.

Сначала дадим функции y, равной $f(x)$ в точке x, приращение $Δx$:

$f(x+ Δx)=\sqrt{x+ Δx}$.

Теперь рассмотрим, чему равно приращение $y$:

$Δy=f(x+Δx)-f(x)=\sqrt{x+ Δx}- \sqrt{x}$;

Из этого следует, что:

$\frac{Δy}{ Δx}=\frac{\sqrt{x+ Δx}- \sqrt{x}}{Δx}$.

Домножим всё полученное выражение на $(\sqrt{x+ Δx}+ \sqrt{x})$, в результате чего в числителе получается разность квадратов, равная $(x+ Δx)-x= Δx$, а дробь преображается до следующей формы:

$\frac{Δy}{Δx}=\frac{1}{\sqrt{x+ Δx}+ \sqrt{x}}$.

Теперь возьмём предел полученного отношения при $Δx \to 0$:

$\lim_{ Δx \to 0}= \frac{Δy}{Δx}=\lim_{ Δx \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+ Δx}+ \sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Таким образом, мы осуществили доказательство того, что производная корня из $x$ равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$:

$(\sqrt{x})’=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}$.

Формула для производной от икса под знаком кубического корня выглядит подобным образом:

$(\sqrt[3]{x})’=\frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{x^2}}$.