Все теоремы дифференциального исчисления применяют свойство непрерывности функции на отрезке $[а, b]$ и дифференцируемости на интервале $(а, b)$.
Теорема Ролля
Пусть функция $f(x)$ непрерывна на $[а, b]$, дифференцируема в (а, b) и на концах отрезка принимает значения $f(a) = f(b)$. Тогда существует точка с принадлежащая $(а, b)$ и $f'(c) =0$.
Рисунок 1. Функция f(x)
Таким образом, теорема утверждает, что на графике существует такая точка, в которой касательная параллельна оси ОХ.
Доказательство
Поскольку функция непрерывна на отрезке $[а, b]$ она имеет наименьшее значение m и наибольшее значение М на данном промежутке.
Рассмотрим два возможных исхода. Пусть m = M. Тогда очевидно, что функция f(x)=const и ее производная равна 0 на всех точках заданного промежутка.
Если минимальное и максимальное значение не совпадают, т.е. $m ≠ M$ то функция принимает наименьшее или наибольшее значение только внутри интервала (а, b). Пусть в точке с принадлежащей отрезку $(а, b), f(c) = m$, тогда левая и правая производные имеют в данной точке конечную производную и равны между собой значению $f '(с)$.
Следовательно,
По свойству пределов следует, что $f'(c)\ge 0$. Рассуждая аналогично, можно сделать вывод, что $f'(c)\le 0$. Но поскольку $f'_{-} (c)=f'_{+} (c)=f'_{} (c)$ то $f'_{} (c)=0$.
Показать, что функция
\[f(x)=x^{2} -3x+2\]Удовлетворяет условиям теоремы Ролля на промежутке [1,2] и найти точку с принадлежащую данному отрезку, если $f'(c) = 0$.
Решение.
Функция дифференцируема на промежутке [1,2] и как слева, так и справа равна 0
$f(1) = f(2) = 0$
Найдем точку, в которой производная равна 0.
\[f'(x)=\left(x^{2} -3x+2\right)^{{'} } =2x-3\]Из полученной производной выразим х
$2х -- 3 = 0$
$х = 1,5$
Т.е. точка, с в которой производная равна 0, равна 1,5
Теорема Лагранжа
Если функция f(x) непрерывна на промежутке [а, b] и дифференцируема в (а, b), то найдется такая точка принадлежащая (а, b), в которой
\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
График функции" />
Рисунок 2. График функции
Рассмотрим $\Delta $ABD: AD = b -- a, BD = f(b) -- f(a)
Теорема Лагранжа утверждает, что на графике функции y=f(x) найдется точка с, такая, что касательная в ней имеет угловой коэффициент
и будет параллельна секущей AB.
Проверить справедливость теоремы Лагранжа на отрезке [1,4] для функции
\[f(x)=x^{2} -3x+5\]Решение.
Заданная квадратичная функция непрерывна и дифференцируема на всем множестве действительных чисел. Следовательно, к ней применима теорема Лагранжа. Производная функции имеет вид:
\[f'(x)=\left(x^{2} -3x+5\right)^{{'} } =2x-3\]Найдем координаты точки с:
\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Rightarrow \frac{(4^{2} -3\cdot 4+5)-(1^{2} -3\cdot 1+5)}{4-1} =2,5\]Найденная точка находится на интервале [1,4] а потому для функции справедлива теорема Лагранжа.
Теорема Коши
Если две функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a. b] и дифференцируемы в (a, b), причем $g `(x) ≠ 0$ в интервале (a, b), то существует точка c принадлежащая отрезку (a, b), такая что
\[\frac{f'(c)}{g'(c)} =\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]Теорема доказывается аналогично теореме Лагранжа. Для этого достаточно рассмотреть вспомогательную функцию
Проверить, выполняется ли теорема Коши на отрезке [0, 1] для функций $f(x) = x2-1 и g(x) = x+2$
Решение.
Найдем значения функций на концах отрезка
\[f(0)=0^{2} -1=-1\] \[f(1)=1^{2} -1=0\] \[g(0)=0+2=2\] \[g(1)=1+2=3\]Далее найдем производные этих функций:
\[f'(x)=2x\] \[g'(x)=1\]По теореме Коши, существует точка с, удовлетворяющая условию:
\[\frac{2c}{1} =\frac{0+1}{3-2} \]с = 0,5
