Преобразование Лапласа
Дадим определение интегральному преобразованию в общем случае.
Интегральное преобразование или образ $f(x)$:
$F(y)=\int\limits_a^b K(y,x)f(x)dx$, где $f(x)$, заданная на интервале $(a,b)$, - это оригинал $F(y)$, а $K(y,x)$ - ядро образа.
Одним из видов интегральных преобразований является преобразование Лапласа. Также часто используют преобразования Фурье и Фурье-Бесселя.
В интегральном преобразовании Лапласа выделяются две составляющие: оригинал и изображение:
Оригинал - это комплекснозначная функция $f(t)$ ($t$ - действительный аргумент), непрерывная на промежутке $[0,+\infty]$, за исключением возможных изолированных точек, и имеющая ограниченный рост.
Изображение (или преображение) по Лапласу оригинала $f(t): F(p)=\int\limits_0^\infty f(t)e^{-pt}dt$.
Преобразование Лапласа - это переход от оригинала $f(t)$ к изображению $F(p)$:
$f(t)=F(p)$ или $L(f(t))=F(p)$.
Таблицы Лапласа
Таблица с основными свойствами преобразования Лапласа:
Рисунок 1. Таблицы Лапласа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 2. Таблицы Лапласа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Таблица оригиналов и изображений:
Рисунок 3. Таблицы Лапласа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В рамках учебной программы задания на данную тему ограничиваются нахождением преобразований Лапласа заданных функций и вычислением изображения оригиналов, используя вышеприведённые таблицы.
