Преобразование Лапласа
Дадим определение интегральному преобразованию в общем случае.
Интегральное преобразование или образ f(x):
F(y)=b∫aK(y,x)f(x)dx, где f(x), заданная на интервале (a,b), - это оригинал F(y), а K(y,x) - ядро образа.
Одним из видов интегральных преобразований является преобразование Лапласа. Также часто используют преобразования Фурье и Фурье-Бесселя.
В интегральном преобразовании Лапласа выделяются две составляющие: оригинал и изображение:
Оригинал - это комплекснозначная функция f(t) (t - действительный аргумент), непрерывная на промежутке [0,+∞], за исключением возможных изолированных точек, и имеющая ограниченный рост.
Изображение (или преображение) по Лапласу оригинала f(t):F(p)=∞∫0f(t)e−ptdt.
Преобразование Лапласа - это переход от оригинала f(t) к изображению F(p):
f(t)=F(p) или L(f(t))=F(p).
Таблицы Лапласа
Таблица с основными свойствами преобразования Лапласа:
Рисунок 1. Таблицы Лапласа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 2. Таблицы Лапласа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Таблица оригиналов и изображений:
Рисунок 3. Таблицы Лапласа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В рамках учебной программы задания на данную тему ограничиваются нахождением преобразований Лапласа заданных функций и вычислением изображения оригиналов, используя вышеприведённые таблицы.