Что такое бесконечно малая величина
Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.
Бесконечно малой величиной называют числовые функции или последовательности, бесконечно стремящиеся к нулю.
Проследим изменение бесконечно малых на рисунках 1 и 2.
Рисунок 1. Функция y = f (x) пересекает ось Ох
Рисунок 2. Функция y = f (x) касается оси Ох в точке х = а
Что такое исчисление бесконечно малых величин
Вычисления с бесконечно малыми величинами, при которых результатом является бесконечно непрерывная сумма бесконечно малых, называют исчислением бесконечно малых величин.
Бесконечно малой последовательностью является такая последовательность an, для которой выполняется равенство:
\[\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =0\]Рассмотрим последовательность
\[\frac{1}{n} =\frac{1}{2} ,\frac{1}{3} ,\frac{1}{4} ...\frac{1}{n} \]Последовательность бесконечно убывает, а значит, является бесконечно малой величиной.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки х0, если выполняется условие:
\[\mathop{\lim }\limits_{n\to x_{0} } f(x)=0\]Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если выполняется одно из условий:
\[\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } f(x)=0; \mathop{\lim }\limits_{n\to -\infty } f(x)=0\]Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если:
$\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } f(x)=a$, то $f(x)-a=a(x)$ , $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left(f(x)-a\right)=0$Бесконечно малая величина является переменной величиной, которая будет меньше числа $\varepsilon $ лишь в результате своего стремления х к а.
\[\mathop{\lim }\limits_{n\to a} f(x)=0\]Функция y = f (x) называется бесконечно малой (при $x>+∞$), если каково бы ни было ${\mathbf \varepsilon } > 0$, можно найти такое число N, что при всех $x > N$ выполняется неравенство:
\[\left|f(x)\right|Доказать, что функция
\[y=\frac{1}{x^{2} } \]является бесконечно малой при $x>+∞$.
Доказательство: Определим, что при $x>+∞$ предел функции b=0, т.е. что для любого $\varepsilon > 0$ можно найти такое N, что при $x > N$ выполняется неравенство:
\[\left|f(x)\right|=\left|\frac{1}{x^{2} } \right|=\frac{1}{x^{2} } Данное неравенство справедливо только если \[x>\frac{1}{\sqrt{\varepsilon } } =N\]Аналогично для функции вида
$y=\frac{1}{x^{a} } $ (а -- любое положительное число)
Справедливо утверждение, что функция бесконечно малая.
Докажем, что функция $y = x^3$ является бесконечно малой при $x > 0$.
Доказательство: Зададим $\varepsilon $ $>$ 0. Неравенство |f(x)| = |x3| $ \[\left|x\right|Таким образом, неравенство $|x^3| \[N=-\sqrt[{3}]{\varepsilon } \begin{array}{cc} {} & {\begin{array}{cc} {8} & {M=\sqrt[{3}]{\varepsilon } } \end{array}} \end{array}\]
Это значит, что
\[\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} x^{3} =0\]т.е. функция $y = x^3$ бесконечно малая при $x > 0$.
Определим, является ли бесконечно малой при $x > +∞$ функция:
\[y=2-\frac{1}{x} \]Решение:
\[\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(2-\frac{1}{x} \right)=2-0=2\ne 0\]Ответ: Функция не является бесконечно малой при $x > +∞$.
Свойства бесконечно малых
- Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
- Произведение бесконечно малых --- бесконечно малая.
- Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную (или константу) --- бесконечно малая.
- Если $a_n$ --- бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то $b_n=1 / a_n$ --- бесконечно большая последовательность.
Докажем, что функция
\[y=\frac{1}{x} +\frac{1}{\sqrt{x} } +\frac{1}{x^{2} } \]Является бесконечно малой функцией при $x > +∞$.
Доказательство: Так как каждое слагаемое функции является бесконечно малой при $x > +∞$ (см. пример 2), по свойству 1 -- функция является бесконечно малой величиной.
