Схема повторных независимых испытаний
Схема Бернулли -- последовательность испытаний с одинаковыми условиями, независимых по отношению к событию А, т.е. в каждом из которых вероятность появления события А не зависит от того, появилось ли оно в предыдущих испытаниях.
Вероятность того, что событие А произойдет в каждом из независимых испытаний, обозначают $P\left(A\right)=p$, а вероятность того, что оно не наступит $P\left(\bar{A}\right)=1-p=q$. Для решения задач на повторные независимые испытания используются следующие формулы и теоремы.
Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность Р(А) = р, событие А произойдет m раз, равна:
\[P_{n} \left(m\right)=C_{n}^{m} p^{m} q^{n-m} .\]Формула применяется при $n\le 10.$
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых Р(А) = р, событие А происходит m раз, при достаточно большом n приближенно вычисляется по следующей формуле:
\[P_{n} \left(m\right)\approx \frac{1}{\sqrt{npq} } \cdot \varphi \left(x\right),{\rm \; \; 345\; \; }\varphi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } e^{-\frac{x^{2} }{2} } ,{\rm \; \; }x=\frac{m-np}{\sqrt{npq} } .\]Локальная теорема Лапласа дает возможность вычислять вероятности $P_{n} \left(m\right)$, при n $>$ 10 и p $>$ 0,1.
Функция $\varphi$(х) называется функцией Гаусса, ее значения можно не вычислять, а найти в специальной таблице (при этом следует учесть, что $\varphi$(-х)=$\varphi$(х)).
Формула Пуассона. Если в каждом из n независимых повторных испытаний $P\left(A\right)=p{\rm \; \; 8\; \; }0 \[P_{n} \left(m\right)\approx \frac{\lambda ^{m} }{m!} e^{-\lambda } ,{\rm \; \; }\lambda =npИнтегральная теорема Муавра-Лапласа. Вероятность того, что событие А произойдет от $m_{1} $ до $m_{2} $ раз при проведении n независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью р, вычисляется по формуле:
\[P_{n} \left(m_{1} ,m_{2} \right)\approx \Phi \left(x_{2} \right)-\Phi \left(x_{1} \right)\]где $\Phi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int \limits _{0}^{x}e^{-\, \frac{t^{2} }{2} } dt $--- функция Лапласа; $x_{1} =\frac{m_{1} -np}{\sqrt{npq} } ,{\rm \; \; }x_{2} =\frac{m_{2} -np}{\sqrt{npq} } $
Значения функции Лапласа находятся по специальным таблицам.
Применение схем для решения задач
В коробке которой 12 заточенных и 4 сломанных карандаша. На удачу берут 3 карандаша с возвращением. Найти вероятность того, что среди взятых карандашей: 1) все три заточены; 2) не более чем один сломан; 3) хотя бы одна сломан.
Решение. Имеем схему трех независимых испытаний. Пусть событие А --- «взятый карандаш заточен», тогда $P\left(A\right)=p=\frac{16}{36} =0,75$. Искомые вероятности вычисляем по формуле Бернулли:
- $P_{3} \left(3\right)=C_{3}^{3} p^{3} q^{0} =0,75^{3} =0,421875$.
- Событие «из трех карандашей не более чем один сломан» можно представить в виде двух событий: взяли 3 заточенных карандаша или 2 заточенных и один сломанный карандаш: \[P_{3} \left(m\ge 2\right)=P_{3} \left(3\right)+P_{3} \left(2\right)=0,421875+C_{3}^{2} \cdot 0,75^{2} \cdot 0,25=0,84375\]
- Противоположным для события «хотя бы один карандаш сломан» будет событие «все три карандаша заточены», вероятность которого мы уже нашли в первой части. Поэтому: \[P_{3} \left(m
На каждые 40 отштампованных изделий в среднем приходится 4 дефектных. Из всей продукции наудачу взяли 400 изделий. Найти вероятность того, что среди ровно 350 изделий без дефекта.
Решение. Событие А --- «взятое изделие без дефекта». По условию Р(А) = р = 0,9. Проведено n = 400 независимых испытаний. Для решения задачи используем формулу локальной теоремы Муавра-Лапласа. Подставляя данные задачи, получим:
\[x=\frac{350-400\cdot 0,9}{\sqrt{400\cdot 0,9\cdot 0,1} } \approx -1,67.\]Из таблиц находим $\varphi \left(-1,67\right)=0,0989$, учитывая, что $\varphi \left(x\right)$ -- четная функция.
Окончательно, $P_{400} \left(350\right)\approx \frac{0,0989}{6} \approx 0,0165$.
Завод отправил на базу 1000 качественных изделий. За время перевозки каждое изделие может быть повреждено с вероятностью 0,003. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 поврежденных изделия.
Решение. Если событие А --- «изделие повреждено», то его вероятность р = 0,003. Рассматривается схема независимых испытаний, n = 1000. Вероятность события А достаточно мала, поэтому задачу решаем по формуле Пуассона:
\[\lambda =np=1000\cdot 0,003=3; P_{1000} \left(3\right)\approx \frac{3^{3} }{3!} e^{-3} \approx 0,229.\]Зерна пшеницы прорастают с вероятностью 0,95. Найти вероятность того, что из 2000 посеянных зерен взойдет от 880 до 1920.
Решение. Событие А --- «зерно пшеницы взошло». Его вероятность р = 0,95, количество независимых испытаний n = 2000. Используем формулу интегральной теоремы Лапласа.
\[x_{1} =\frac{1880-2000\cdot 0,95}{\sqrt{2000\cdot 0,95\cdot 0,05} } \approx -1,03;{\rm \; \; }x_{2} =\frac{1920-1900}{\sqrt{95} } \approx 2,06;\] \[P_{2000} \left(1880;1920\right)\approx \Phi \left(2,06\right)-\Phi \left(-1,03\right)=\] \[=\Phi \left(2,06\right)+\Phi \left(1,03\right)=0,4803+0,3485=0,8288\]Значения функции Лапласа берутся из соответствующей таблицы.
Пусть вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 1/3. Найти вероятность того, что из 6 выстрелов мишень поразят ровно 3.
Решение.
Пусть A -- поражение мишени 3 раза при 6 выстрелах, тогда, так как вероятность поражения цели при каждом выстреле постоянна ($p=1/3$, $q=1-p=1-1/3=2/3$), по формуле Бернулли имеем
\[P(A)=P_{6} (3)=C_{6}^{3} \cdot p^{3} \cdot q^{6-3} =C_{6}^{3} \cdot \left(\frac{1}{3} \right)^{3} \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^{3} =\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3!} \cdot \frac{1}{3^{3} } \cdot \frac{8}{3^{3} } =\] \[=\frac{160}{729} \approx 0,219.\]Вероятность того, что одно изделие будет бракованным равна 0,002. Найти вероятность того, что из 1000 выбранных изделий 5 будет бракованных.
Решение.
Пусть A -- из 1000 выбранных изделий бракованных 5, тогда по формуле Бернулли имеем
\[P(A)=P_{1000} (5)=C_{1000}^{5} \cdot 0,002^{5} \cdot (1-0,002)^{995} =\] \[=C_{1000}^{5} \cdot 0,002^{5} \cdot 0,998^{995} .\]
