Метод математической индукции
В общем смысле метод математической индукции состоит в переходе от частного к общему, то есть от частных математических утверждений к универсальным утверждениям. С помощью этого метод можно доказывать равенства, неравенства, кратность выражений содержащих натуральную переменную и многое другое.
Данный метод для доказательства утверждения A(n) заключается в выполнении двух следующих пунктов:
- Проверить выполнение утверждения A(n) для значения n=1.
- Введем предположение, что при n=l утверждение A(l) будет верно.
- Докажем, что вместе с условием 2, утверждение A будет выполнено при n=l+1.
Если 1 и 3 пункт доказаны, то следовательно будет доказано выполнение утверждения A(n) для любого значения натуральной переменной.
Введем понятие базиса и перехода индукции.
Базисом индукции будем называть доказательство выполнения утверждения A(1).
То есть базисом является первый пункт метода математической индукции, описанного выше.
Индукционным переходом будем называть доказательство выполнения утверждения A(l+1), при условии выполнения утверждения A(l).
То есть индукционным переходом является второй и третий пункты метода математической индукции, описанного выше.
Иначе также индукционный переход называют шагом индукции.
Индукционный переход включает в себя посылку или иначе предположение (второй пункт метода) и заключение (третий пункт метода).
Далее будем рассматривать задачи на применение метода математической индукции.
Примеры задач
Доказать равенство
13⋅5+15⋅7+⋯+1(2n+1)(2n+3)=12(13−12n+3)
Решение.
Решение будем проводить по описанной выше схеме.
Докажем равенство при n=1.
Найдем для этой переменной значение правой части:
12(13−12n+3)=12(13−15)=12⋅215=115
То есть равенство при этом значении переменной выполняется (так как левая част равняется 13⋅5=115. Доказано.
Предположим, что выражение
13⋅5+15⋅7+⋯+1(2l+1)(2l+3)=12(13−12l+3)
то есть
13⋅5+15⋅7+⋯+1(2l+1)(2l+3)=6−14l+6=l6l+9
верно.
Докажем, что
13⋅5+15⋅7+⋯+1(2l+1)(2l+3)+1(2l+3)(2l+5)=12(13−12l+5)
то есть
13⋅5+15⋅7+⋯+1(2l+1)(2l+3)+1(2l+3)(2l+5)=l+13(2l+5)
Рассмотрим левую часть этого равенства. Из условия 2, получим что
13⋅5+15⋅7+⋯+1(2l+1)(2l+3)+1(2l+3)(2l+5)=l6l+9+1(2l+3)(2l+5)
Преобразуем
l3(2l+3)+1(2l+3)(2l+5)=2l2+5l+33(2l+3)(2l+5)=
=(l+1)(2l+3)3(2l+3)(2l+5)=l+13(2l+5)
То есть левая часть совпадает с правой. Доказано.
Вывод: по методу математической индукции данное равенство верно при всех натуральных переменных.
Доказать неравенство
(1+q)n≥1+qn,q=const,q>−1
Решение.
Решение будем проводить по описанной выше схеме.
Докажем неравенство при n=1.
Подставим это значение в неравенство:
(1+q)1≥1+q⋅1
q≥q
То есть выполняется равенство q=q, значит неравенство верно. Доказано.
Предположим, что неравенство
(1+q)k≥1+ql
верно.
Докажем, что
(1+q)(l+1)≥1+q(l+1)
Рассмотрим предложение условия 2. Умножим его на число (1+q). Так как q>−1, то 1+q>0, следовательно, знак неравенства при этом меняться не будет
(1+q)l(1+q)≥(1+ql)(1+q)
(1+q)(l+1)≥1+q+ql+q2l
(1+q)(l+1)≥1+(q+1)l+q2l
Так как l – натуральное число, то
1+(q+1)l+q2l≥1+(q+1)l
То есть
(1+q)(l+1)≥1+q(l+1)
Доказано.
Вывод: по методу математической индукции данное неравенство верно при всех натуральных переменных.
Доказать, что 23m+1 делится на 3m+1.
Решение.
Решение будем проводить по описанной выше схеме.
Докажем это при m=1.
Подставим это значение в выражения 23m+1 и 3m+1:
23m+1=23+1=9 и 32=9
9 делится на 9, то есть данное утверждение будет верно Доказано.
Предположим, что 23l+1 делится на 3l+1.
Докажем, что 23l+1+1 делится на 3l+2.
3l+2=3⋅3l+1
Значит, нужно доказать, что выражение 23l+1+1 делится на 3 и 3l+1
Преобразуем его
23l+1+1=23⋅3l+1=(23l+1)((23l)2−23l+1)=
(23l+1)((23l)2+2⋅23l+1−3⋅23l)=(23l+1)((23l+1)2−3⋅23l)
Очевидно, что 23l+1 и 3⋅23l делятся на 3, следовательно, и
((23l+1)2−3⋅23l) также делится на 3.
Из пункта два, получаем, что 23l+1 делится на 3l+1.
Следовательно, 23l+1+1 делится на 3l+2
Доказано.
Вывод: по методу математической индукции данное утверждение верно при всех натуральных переменных.
