Метод математической индукции
В общем смысле метод математической индукции состоит в переходе от частного к общему, то есть от частных математических утверждений к универсальным утверждениям. С помощью этого метод можно доказывать равенства, неравенства, кратность выражений содержащих натуральную переменную и многое другое.
Данный метод для доказательства утверждения $A(n)$ заключается в выполнении двух следующих пунктов:
- Проверить выполнение утверждения $A(n$) для значения $n=1$.
- Введем предположение, что при $n=l$ утверждение $A(l)$ будет верно.
- Докажем, что вместе с условием 2, утверждение $A$ будет выполнено при $n=l+1$.
Если 1 и 3 пункт доказаны, то следовательно будет доказано выполнение утверждения $A(n)$ для любого значения натуральной переменной.
Введем понятие базиса и перехода индукции.
Базисом индукции будем называть доказательство выполнения утверждения $A(1)$.
То есть базисом является первый пункт метода математической индукции, описанного выше.
Индукционным переходом будем называть доказательство выполнения утверждения $A(l+1)$, при условии выполнения утверждения $A(l)$.
То есть индукционным переходом является второй и третий пункты метода математической индукции, описанного выше.
Иначе также индукционный переход называют шагом индукции.
Индукционный переход включает в себя посылку или иначе предположение (второй пункт метода) и заключение (третий пункт метода).
Далее будем рассматривать задачи на применение метода математической индукции.
Примеры задач
Доказать равенство
$\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+⋯+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2} (\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3})$
Решение.
Решение будем проводить по описанной выше схеме.
Докажем равенство при $n=1$.
Найдем для этой переменной значение правой части:
$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3})=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{15}=\frac{1}{15}$
То есть равенство при этом значении переменной выполняется (так как левая част равняется $\frac{1}{3\cdot 5}=\frac{1}{15}$. Доказано.
Предположим, что выражение
$\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+⋯+\frac{1}{(2l+1)(2l+3)}=\frac{1}{2} (\frac{1}{3}-\frac{1}{2l+3})$
то есть
$\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+⋯+\frac{1}{(2l+1)(2l+3)}=\frac{}{6}-\frac{1}{4l+6}=\frac{l}{6l+9}$
верно.
Докажем, что
$\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+⋯+\frac{1}{(2l+1)(2l+3)}+\frac{1}{(2l+3)(2l+5)}=\frac{1}{2} (\frac{1}{3}-\frac{1}{2l+5})$
то есть
$\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+⋯+\frac{1}{(2l+1)(2l+3)}+\frac{1}{(2l+3)(2l+5)}=\frac{l+1}{3(2l+5)}$
Рассмотрим левую часть этого равенства. Из условия 2, получим что
$\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+⋯+\frac{1}{(2l+1)(2l+3)}+\frac{1}{(2l+3)(2l+5)}=\frac{l}{6l+9}+\frac{1}{(2l+3)(2l+5)}$
Преобразуем
$\frac{l}{3(2l+3)}+\frac{1}{(2l+3)(2l+5)}=\frac{2l^2+5l+3}{3(2l+3)(2l+5)}=$
$=\frac{(l+1)(2l+3)}{3(2l+3)(2l+5)}=\frac{l+1}{3(2l+5)}$
То есть левая часть совпадает с правой. Доказано.
Вывод: по методу математической индукции данное равенство верно при всех натуральных переменных.
Доказать неравенство
$(1+q)^n≥1+qn,q=const,q>-1$
Решение.
Решение будем проводить по описанной выше схеме.
Докажем неравенство при $n=1$.
Подставим это значение в неравенство:
$(1+q)^1≥1+q\cdot 1$
$q≥q$
То есть выполняется равенство $q=q$, значит неравенство верно. Доказано.
Предположим, что неравенство
$(1+q)^k≥1+ql$
верно.
Докажем, что
$(1+q)^(l+1)≥1+q(l+1)$
Рассмотрим предложение условия 2. Умножим его на число $(1+q)$. Так как $q>-1$, то $1+q>0$, следовательно, знак неравенства при этом меняться не будет
$(1+q)^l (1+q)≥(1+ql)(1+q)$
$(1+q)^(l+1)≥1+q+ql+q^2 l$
$(1+q)^(l+1)≥1+(q+1)l+q^2 l$
Так как $l$ – натуральное число, то
$1+(q+1)l+q^2 l≥1+(q+1)l$
То есть
$(1+q)^(l+1)≥1+q(l+1)$
Доказано.
Вывод: по методу математической индукции данное неравенство верно при всех натуральных переменных.
Доказать, что $2^{3^{m+1}}$ делится на $3^{m+1}$.
Решение.
Решение будем проводить по описанной выше схеме.
Докажем это при $m=1$.
Подставим это значение в выражения $2^{3^{m+1}}$ и $3^{m+1}$:
$2^{3^{m+1}}=2^3+1=9$ и $3^2=9$
$9$ делится на $9$, то есть данное утверждение будет верно Доказано.
Предположим, что $2^{3^{l+1}}$ делится на $3^{l+1}$.
Докажем, что $2^{3^{l+1}}+1$ делится на $3^{l+2}$.
$3^{l+2}=3\cdot 3^{l+1}$
Значит, нужно доказать, что выражение $2^{3^{l+1}}+1$ делится на $3$ и $3^{l+1}$
Преобразуем его
$2^{3^{l+1}}+1=2^{3\cdot 3^l}+1=(2^{3^l}+1)((2^{3^l} )^2-2^{3^l}+1)=$
$(2^{3^l}+1)((2^{3^l} )^2+2\cdot 2^{3^l}+1-3\cdot 2^{3^l} )=(2^{3^l}+1)((2^{3^l}+1)^2-3\cdot 2^{3^l} )$
Очевидно, что $2^{3^l}+1$ и $3\cdot 2^{3^l}$ делятся на $3$, следовательно, и
$((2^{3^l}+1)^2-3\cdot 2^{3^l} )$ также делится на $3$.
Из пункта два, получаем, что $2^{3^l}+1$ делится на $3^{l+1}$.
Следовательно, $2^{3^{l+1}}+1$ делится на $3^{l+2}$
Доказано.
Вывод: по методу математической индукции данное утверждение верно при всех натуральных переменных.
