Справочник Автор24
Статьи от экспертов
Математика
Понятие дроби
Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Одночлен

Определение 1

Выражения, являющиеся произведением чисел, переменных и их степеней, называются одночленами. Например, ${6х}^2,-11\ \sqrt{у,\ }{34a}^5b^4$ . Также одночленами являются и сами числа, например $-243$ , и переменные, например, y и их степени, например $x^{23}$ .

Стандартным видом записи одночлен является такая, в которой на первом месте произведения стоит число, далее в произведении записаны переменные по их следовании в алфавите.

Например, одночлен ${34a}^5b^4$ записан в стандартном виде, а одночлен ${b^434a}^5$ -- нет.

Число, стоящее на первом месте при стандартной записи одночлена, называется коэффициентом одночлена. Коэффициент одночлена ${34a}^5b^4$ равен $34$ , а у одночлена $,-11\ \sqrt{y\ }$ равен $-11$ .

Наибольший общий делитель

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа $a$ и $b$ , называется наибольшим общим делителем и часто обозначается НОД.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, необходимо:

1) разложить числа на простые множители

2) выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

3) найти произведение чисел, найденных на шаге $2$ . Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 1

Найти НОД чисел $121$ и $132$ .

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

разложить числа на простые множители

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$ . Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=2\cdot 11=22$

Наибольший общий делитель одночленов

«Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) одночленов» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Определение 2

Одночлен, на который делится каждый из исходных одночленов, называется общим одночленом.

Например, для одночленов $a^2b^3$ и abc общим одночленом будет одночлен $ab$ .

Наибольшим общим делителем одночленов будет являться одночлен, содержащий общие переменные с наибольшими показателями степеней.

Например, для одночленов $a^4b^3$ и $a^2b^5c^3$ наибольшим общим делителем будет $a^2b^3$ .

Чтобы найти наибольший общий делитель двух одночленов, необходимо:

1) найти переменные, входящие в состав каждого из исходных одночленов;

2) выбрать из показателей степеней выбранных переменных наименьшие и НОД коэффициентов исходных одночленов;

3) найти произведение переменных и чисел, найденных на шаге $2$ . Полученный одночлен и будет искомым наибольшим общим делителем одночленов.

Пример 2

Найти НОД одночленов ${\ \ 63a}^2b^6c^{11}\$ и ${81a}^3b^4c^9$

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

найти переменные, входящие в состав исходных одночленов

${a}^2b^6c^{11}\$ и $a^3b^4c^9$
выбрать из показателей степеней выбранных переменных наименьшие и НОД коэффициентов исходных одночленов

${a}^2b^6c^{11}\$ и $a^3b^4c^9$

Найдем НОД коэффициентов одночленов, т.е. чисел $63$ и $81$

Разложим числа на простые множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Найдем произведение чисел, найденных на шаге $2$ . Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=3\cdot 3=9$
Найти произведение переменных и чисел, найденных на шаге $2$ . Полученный одночлен и будет искомым наибольшим общим делителем одночленов

$НОД({63a}^2b^6c^{11}\$ и ${81a}^3b^4c^9)=9a^2b^4c^9$

Наименьшее общее кратное двух чисел

Определение 3

Общими кратными чисел называются числа, которые делятся на исходные без остатка. Например, для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д.

Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

Разложить числа на простые множители
Выписать множители, входящие в состав первого числа, и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;
Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$ . Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

Пример 3

Найти НОК чисел $9$ и $77$ .

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

Разложить числа на простые множители:

$99=3\cdot 3\cdot 11$

$77=7\cdot 11$
Выписать множители, входящие в состав первого:

$3,3,11$

Добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого:

$7$
Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$ . Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

$НОК=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Наименьшее общее кратное двух одночленов

Определение 4

Общим кратным двух одночленов называется одночлен, который делится на исходные без остатка. Например, для одночленов $b^6c^{11}$ и ${\ b}^4c^9$ общими кратными будут одночлены $b^6c^{11}$ , $b^7c^{22}$ и т.д. Наименьший из них и будет наименьшим общим кратным двух одночленов.

Чтобы найти НОК двух одночленов, необходимо:

1) Найти переменные, входящие в состав каждого из исходных одночленов;

2) Выбрать из показателей степеней выбранных переменных наибольшие степени и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;

3) Найти произведение переменных, найденных на шаге $2$ . Полученный одночлен и будет искомым наименьшим общим кратным одночленом.

Пример 4

Найти НОК ${3a}^4b^7c^{12}d\$ и ${8a}^3b^5c^9d^{12}$

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

Найти переменные, входящие в состав каждого из исходных одночленов

${a}^4b^7c^{12}d\$ и $a^3b^5c^9d^{12}$
Выбрать из показателей степеней выбранных переменных наибольшие степени и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

${a}^4b^7c^{12}d\$ и $a^3b^5c^9d^{12}$
Найти произведение переменных, найденных на шаге $2$ . Полученный одночлен и будет искомым наименьшим общим кратным одночленом

$НОК{3a}^4b^7c^{12}d\$ ; ${8a}^3b^5c^9d^{12}= {a}^4b^7c^{12}d^{12}$