Одночлен
Выражения, являющиеся произведением чисел, переменных и их степеней, называются одночленами. Например, ${6х}^2,-11\ \sqrt{у,\ }{34a}^5b^4$. Также одночленами являются и сами числа, например $-243$, и переменные, например, y и их степени, например $x^{23}$.
Стандартным видом записи одночлен является такая, в которой на первом месте произведения стоит число, далее в произведении записаны переменные по их следовании в алфавите.
Например, одночлен ${34a}^5b^4$ записан в стандартном виде, а одночлен ${b^434a}^5$ -- нет.
Число, стоящее на первом месте при стандартной записи одночлена, называется коэффициентом одночлена. Коэффициент одночлена ${34a}^5b^4$ равен $34$, а у одночлена $,-11\ \sqrt{y\ }$ равен $-11$.
Наибольший общий делитель
Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа $a$ и $b$, называется наибольшим общим делителем и часто обозначается НОД.
Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, необходимо:
1) разложить числа на простые множители
2) выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел
3) найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
Найти НОД чисел $121$ и $132$.
Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого
-
разложить числа на простые множители
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
-
Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
-
Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
$НОД=2\cdot 11=22$
Наибольший общий делитель одночленов
Одночлен, на который делится каждый из исходных одночленов, называется общим одночленом.
Например, для одночленов $a^2b^3$ и abc общим одночленом будет одночлен $ab$.
Наибольшим общим делителем одночленов будет являться одночлен, содержащий общие переменные с наибольшими показателями степеней.
Например, для одночленов $a^4b^3$ и $a^2b^5c^3$ наибольшим общим делителем будет $a^2b^3$.
Чтобы найти наибольший общий делитель двух одночленов, необходимо:
1) найти переменные, входящие в состав каждого из исходных одночленов;
2) выбрать из показателей степеней выбранных переменных наименьшие и НОД коэффициентов исходных одночленов;
3) найти произведение переменных и чисел, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наибольшим общим делителем одночленов.
Найти НОД одночленов ${\ \ 63a}^2b^6c^{11}\ $ и ${81a}^3b^4c^9$
Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого
-
найти переменные, входящие в состав исходных одночленов
${a}^2b^6c^{11}\ $ и $a^3b^4c^9$
-
выбрать из показателей степеней выбранных переменных наименьшие и НОД коэффициентов исходных одночленов
${a}^2b^6c^{11}\ $ и $a^3b^4c^9$
Найдем НОД коэффициентов одночленов, т.е. чисел $63$ и $81$
Разложим числа на простые множители
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Найдем произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
$НОД=3\cdot 3=9$
-
Найти произведение переменных и чисел, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наибольшим общим делителем одночленов
$НОД({63a}^2b^6c^{11}\ $ и ${81a}^3b^4c^9)=9a^2b^4c^9$
Наименьшее общее кратное двух чисел
Общими кратными чисел называются числа, которые делятся на исходные без остатка. Например, для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д.
Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК
Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:
-
Разложить числа на простые множители
-
Выписать множители, входящие в состав первого числа, и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;
-
Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным
Найти НОК чисел $9$ и $77$.
Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого
-
Разложить числа на простые множители:
$99=3\cdot 3\cdot 11$
$77=7\cdot 11$
-
Выписать множители, входящие в состав первого:
$3,3,11 $
Добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого:
$7$
-
Найти произведение чисел, найденных на шаге $2$. Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным
$НОК=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Наименьшее общее кратное двух одночленов
Общим кратным двух одночленов называется одночлен, который делится на исходные без остатка. Например, для одночленов $b^6c^{11}$ и ${\ b}^4c^9$ общими кратными будут одночлены $b^6c^{11}$, $b^7c^{22}$ и т.д. Наименьший из них и будет наименьшим общим кратным двух одночленов.
Чтобы найти НОК двух одночленов, необходимо:
1) Найти переменные, входящие в состав каждого из исходных одночленов;
2) Выбрать из показателей степеней выбранных переменных наибольшие степени и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;
3) Найти произведение переменных, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наименьшим общим кратным одночленом.
Найти НОК${3a}^4b^7c^{12}d\ $ и ${8a}^3b^5c^9d^{12}$
Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого
-
Найти переменные, входящие в состав каждого из исходных одночленов
${a}^4b^7c^{12}d\ $ и $a^3b^5c^9d^{12}$
-
Выбрать из показателей степеней выбранных переменных наибольшие степени и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого
${a}^4b^7c^{12}d\ $ и $a^3b^5c^9d^{12}$
-
Найти произведение переменных, найденных на шаге $2$. Полученный одночлен и будет искомым наименьшим общим кратным одночленом
$НОК{3a}^4b^7c^{12}d\ $;${8a}^3b^5c^9d^{12}= {a}^4b^7c^{12}d^{12}$
