Понятие дроби. Виды дробей

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Виды дробей

Основные виды дробей - это обычные дроби, которые могут быть правильными и неправильными, десятичные дроби, алгебраические дроби. Рассмотрим каждый вид дробей.

Обыкновенные дроби

Определение 1

Обыкновенная дробь состоит из числителя, знаменателя и дробной черты. Например $\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{17}{5}$ . Числителем называется число, стоящее над дробной чертой, знаменателем - число, стоящее под дробной чертой. В дроби $\frac{3}{4}$ числитель равен $3$ , а знаменатель равен $4$ . Знаменатель показывает, на сколько частей делят целое, а числитель - сколько из полученных частей взяли. То есть дробь $\frac{5}{8}$ показывает, что целое разделили на $8$ частей, и $5$ из них взяли.

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Обыкновенную дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной дробью, дробь, у которой числитель больше знаменателя, называют неправильной. Например, правильными дробями будут дроби $\frac{1}{2}\ \ ,\ \frac{13}{24}\ ,\ \frac{99}{100}$ и т.д,, неправильными дробями являются дроби $\frac{10}{8},\ \ \ \frac{32}{5},\ \ \ \frac{100}{99}$ и т.д.

Любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна $1$ :

Любую дробь, у которой числитель кратен знаменателю, можно записать целым числом:

Любую дробь, числитель которой не делится нацело на знаменатель, можно представить в виде смешаного числа, которое состоит из целой и дробной части. Целая часть - это неполное частное, полученное при делении числителя на знаменатель, дробная часть должна быть правильной дробью, числитель которой является остатком, полученным при делении числителя на знаменатель. Например $\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}$ , $\ \frac{28}{3}=9\frac{1}{3}$ и т.д.

Замечание 1

В свою очередь, любое смешаное число можно представить в виде неправильной дроби. Для этого находят сумму произведения целой части и числителя дробной части и полученный результат будет числителем неправильной дроби, знаменатель оставляют без изменений.

Например, $5\frac{1}{3}=\frac{5\cdot 3+1}{3}=\frac{16}{3}$

«Понятие дроби. Виды дробей» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Десятичные дроби

Определение 2

Дроби со знаменателем, кратным $10$ , т.е. $10,100,1000$ и т.д., записывают в десятичной форме записи, отделяя целую часть от дробной запятой. Например,

$\frac{3}{10}=0,3$

$55\frac{17}{100}=55,17$ .

Такую форму записи дробей называют десятичной.

Сначала пишут целую часть, потом ставят запятую и записывают числитель дробной части. Если число не содержит целой части, то при десятичной форме записи пишут $0$ целых.

$\frac{6}{100}=0,06$

$3\frac{6}{100}=3,06$

В записи дробной части десятичной дроби содержится столько цифр, сколько нулей содержит число, стоящее в знаменателе дроби. То есть если в знаменателе дроби число $10$ , то при десятичной форме записи после запятой $1$ цифра, если в знаменателе $100$ , то при десятичной форме записи после запятой $2$ цифры и т.д.

Замечание 2

Уникальное свойство десятичной формы записи дроби заключается в том, что если к десятичной дроби справа приписать любое количество нулей, то получится дробь, равная данной

\frac{16}{100} = 0, 16 = 0, 16000000

$\frac{16}{100}=0,16=0,16000000$

Верно и обратное: если в десятичной форме записи дроби последние нули в записи отбросить, то значение дроби не изменится

$0,34000000=0,34$

Это свойство используется для различных действий с десятичными дробями, например, при сравнении десятичных дробей, сложении и вычитании, т.к. для выполнения указанных действий необходимо уравнивать количество знаков после запятой.

Замечание 3

Десятичные дроби можно округлять, но необходимо помнить, что при округлении полученный результат будет лишь приближенным значением дроби. Для округления десятичной дроби до единиц, десятых, сотых и т.д., надо все следующие за указанным разрядом цифры отбросить. Если при этом первая из отбрасываемых цифр меньше $5$ , то последняя из оставшихся цифр не изменится, если же первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя из оставшихся цифр увеличивается на $1$ .

На примере показано округление десятичной дроби последовательно до ста тысячных, десятитысячных, тысячных и т.д.

Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Периодом называется повторяющееся группа цифр после запятой.

Алгебраические дроби

Определение 3

Алгебраической дробью называется выражение, в котором в числителе и знаменателе стоят некоторые многочлены. Например, алгебраическими будут дроби $\frac{х+5}{х}$ , $\frac{2х^2}{2х^2-2х}$ , $\ \frac{х-у}{у-х}$ и т.д.

Допустимыми значениями переменной в алгебраических дробях называют значения, которые могут принимать переменные, стоящие в знаменателе, которые не обращают знаменатель в $0$ . Так, например, допустимы будут все значения $x$ , кроме $5$ в дроби $\frac{х}{х-5}$ т,к при $x=5$ знаменатель дроби будет равен $0$ .

Для того чтобы найти допустимые значения переменной, необходимо рассмотреть знаменатель дроби и найти значения, при которых он становится равен $0$ .

Действия с дробями

Основным свойством дробей является то, что числитель и знаменатель обыкновенной или алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен или число, отличное от $0$ . Это свойство позволяет приводить дроби к общему знаменателю, что часто необходимо для выполнения математических действий, таких как сравнение, сложение и вычитаие дробей.

С любыми дробями можно проводить любые математические операции, такие как сравнение, сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.