Виды дробей
Основные виды дробей - это обычные дроби, которые могут быть правильными и неправильными, десятичные дроби, алгебраические дроби. Рассмотрим каждый вид дробей.
Обыкновенные дроби
Обыкновенная дробь состоит из числителя, знаменателя и дробной черты. Например $\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{17}{5}$. Числителем называется число, стоящее над дробной чертой, знаменателем - число, стоящее под дробной чертой. В дроби$\frac{3}{4}$ числитель равен $3$, а знаменатель равен $4$. Знаменатель показывает, на сколько частей делят целое, а числитель - сколько из полученных частей взяли. То есть дробь $\frac{5}{8}$ показывает, что целое разделили на $8$ частей, и $5$ из них взяли.
Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
Обыкновенную дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной дробью, дробь, у которой числитель больше знаменателя, называют неправильной. Например, правильными дробями будут дроби $\frac{1}{2}\ \ ,\ \frac{13}{24}\ ,\ \frac{99}{100}$ и т.д,, неправильными дробями являются дроби $\frac{10}{8},\ \ \ \frac{32}{5},\ \ \ \frac{100}{99}$ и т.д.
Любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна $1$:
Любую дробь, у которой числитель кратен знаменателю, можно записать целым числом:
Любую дробь, числитель которой не делится нацело на знаменатель, можно представить в виде смешаного числа, которое состоит из целой и дробной части. Целая часть - это неполное частное, полученное при делении числителя на знаменатель, дробная часть должна быть правильной дробью, числитель которой является остатком, полученным при делении числителя на знаменатель. Например $\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}$ ,$\ \frac{28}{3}=9\frac{1}{3}$ и т.д.
В свою очередь, любое смешаное число можно представить в виде неправильной дроби. Для этого находят сумму произведения целой части и числителя дробной части и полученный результат будет числителем неправильной дроби, знаменатель оставляют без изменений.
Например, $5\frac{1}{3}=\frac{5\cdot 3+1}{3}=\frac{16}{3}$
Десятичные дроби
Дроби со знаменателем, кратным $10$, т.е.$10,100,1000$ и т.д., записывают в десятичной форме записи, отделяя целую часть от дробной запятой. Например,
$\frac{3}{10}=0,3$
$55\frac{17}{100}=55,17$.
Такую форму записи дробей называют десятичной.
Сначала пишут целую часть, потом ставят запятую и записывают числитель дробной части. Если число не содержит целой части, то при десятичной форме записи пишут $0$ целых.
$\frac{6}{100}=0,06$
$3\frac{6}{100}=3,06$
В записи дробной части десятичной дроби содержится столько цифр, сколько нулей содержит число, стоящее в знаменателе дроби. То есть если в знаменателе дроби число $10$, то при десятичной форме записи после запятой $1$ цифра, если в знаменателе $100$, то при десятичной форме записи после запятой $2$ цифры и т.д.
Уникальное свойство десятичной формы записи дроби заключается в том, что если к десятичной дроби справа приписать любое количество нулей, то получится дробь, равная данной
\[\frac{16}{100}=0,16=0,16000000\]Верно и обратное: если в десятичной форме записи дроби последние нули в записи отбросить, то значение дроби не изменится
$0,34000000=0,34$
Это свойство используется для различных действий с десятичными дробями, например, при сравнении десятичных дробей, сложении и вычитании, т.к. для выполнения указанных действий необходимо уравнивать количество знаков после запятой.
Десятичные дроби можно округлять, но необходимо помнить, что при округлении полученный результат будет лишь приближенным значением дроби. Для округления десятичной дроби до единиц, десятых, сотых и т.д., надо все следующие за указанным разрядом цифры отбросить. Если при этом первая из отбрасываемых цифр меньше $5$, то последняя из оставшихся цифр не изменится, если же первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя из оставшихся цифр увеличивается на $1$.
На примере показано округление десятичной дроби последовательно до ста тысячных, десятитысячных, тысячных и т.д.
Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Периодом называется повторяющееся группа цифр после запятой.
Алгебраические дроби
Алгебраической дробью называется выражение, в котором в числителе и знаменателе стоят некоторые многочлены. Например, алгебраическими будут дроби $\frac{х+5}{х}$ , $\frac{2х^2}{2х^2-2х}$,$\ \frac{х-у}{у-х}$ и т.д.
Допустимыми значениями переменной в алгебраических дробях называют значения, которые могут принимать переменные, стоящие в знаменателе, которые не обращают знаменатель в $0$. Так, например, допустимы будут все значения $x$, кроме $5$ в дроби $\frac{х}{х-5}$ т,к при $x=5$ знаменатель дроби будет равен $0$.
Для того чтобы найти допустимые значения переменной, необходимо рассмотреть знаменатель дроби и найти значения, при которых он становится равен $0$.
Действия с дробями
Основным свойством дробей является то, что числитель и знаменатель обыкновенной или алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен или число, отличное от $0$. Это свойство позволяет приводить дроби к общему знаменателю, что часто необходимо для выполнения математических действий, таких как сравнение, сложение и вычитаие дробей.
С любыми дробями можно проводить любые математические операции, такие как сравнение, сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.
