Понижение степени

Формулы понижения степени косинуса и синуса выводятся из формул двойного аргумента, выведем их для практики. Сделаем это сначала для синуса:

$\sin2x= \sin(x+x)$

К данному выражению можно применить формулу синуса суммы вида

$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \cdot \sin y$, имеем:

$\sin2x = 2\sin x \cdot \cos x$ — данная формула называется формулой двойного аргумента для синуса.

Выразим также формулу двойного аргумента для косинуса:

$\cos2x= \cos(x+x)$

Применим к полученному выражению формулу косинуса суммы, она выглядит так — $\cos(x+y)= \cos x \cdot \cos y-\sin x \cdot \sin y$:

$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x\left(1\right)$ — формула двойного аргумента для косинуса.

Теперь для того чтобы перейти к понижению степени, применим формулу двойного аргумента к выражению $\cos x$, получим:

$\cos x= \cos^2(\frac{x}{2})-\sin^2(\frac{x}{2})\left(2\right)$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и выразим через него квадрат косинуса половинного угла:

$\cos(\frac{x}{2})=1-\sin(\frac{x}{2})\left(3\right)$

Подставим выражение $(3)$ в $(2)$ вместо квадрата косинуса половинного аргумента:

$\cos x= 1 – \sin^2(\frac{x}{2})- \sin^2(\frac{x}{2})$

$\cos x= 1 – 2\sin^2(\frac{x}{2})$

Выразим квадрат синуса:

$\sin^2(\frac{x}{2})=\frac{1-\cos x}{2}\left(4\right)$

Полученная формула называется формулой понижения степени синуса.

Сделаем тоже самое для косинуса, для этого выразим из тригонометрического тождества квадрат синуса половинного аргумента $\sin^2(\frac{x}{2})=1-\cos^2(\frac{x}{2})$ и затем подставим в выражение $(2)$, имеем:

$\cos x=\cos^2(\frac{x}{2})-1+\cos^2(\frac{x}{2})$

$\cos x=2\cos^2(\frac{x}{2})-1$

Теперь выразим квадрат косинуса половинного аргумента:

$\cos^2(\frac{x}{2})=\frac{\cos x+1}{2}\left(5\right)$

Данная формула носит название формулы понижения степени косинуса.

Формулы $(4)$ и $(5)$ также иногда называют формулами половинного аргумента. Используя их, можно вывести формулы понижения степени для квадратов тангенса и котангенса половинного аргумента:

$tg^2(\frac{x}{2})=\frac{\sin^2(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$;

$ctg^2\frac{x}{2}=\frac{\cos^2(\frac{x}{2}0}{\sin^2(\frac{x}{2})}=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}$.