Тригонометрические формулы понижения степени — это формулы, используемые для того чтобы осуществлять перевод тригонометрического выражения, содержащего степень, в тождественное ему, содержащее меньшую степень.
Формулы понижения степени косинуса и синуса выводятся из формул двойного аргумента, выведем их для практики. Сделаем это сначала для синуса:
$\sin2x= \sin(x+x)$
К данному выражению можно применить формулу синуса суммы вида
$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \cdot \sin y$, имеем:
$\sin2x = 2\sin x \cdot \cos x$ — данная формула называется формулой двойного аргумента для синуса.
Выразим также формулу двойного аргумента для косинуса:
$\cos2x= \cos(x+x)$
Применим к полученному выражению формулу косинуса суммы, она выглядит так — $\cos(x+y)= \cos x \cdot \cos y-\sin x \cdot \sin y$:
$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x\left(1\right)$ — формула двойного аргумента для косинуса.
Теперь для того чтобы перейти к понижению степени, применим формулу двойного аргумента к выражению $\cos x$, получим:
$\cos x= \cos^2(\frac{x}{2})-\sin^2(\frac{x}{2})\left(2\right)$
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и выразим через него квадрат косинуса половинного угла:
$\cos(\frac{x}{2})=1-\sin(\frac{x}{2})\left(3\right)$
Подставим выражение $(3)$ в $(2)$ вместо квадрата косинуса половинного аргумента:
$\cos x= 1 – \sin^2(\frac{x}{2})- \sin^2(\frac{x}{2})$
$\cos x= 1 – 2\sin^2(\frac{x}{2})$
Выразим квадрат синуса:
$\sin^2(\frac{x}{2})=\frac{1-\cos x}{2}\left(4\right)$
Полученная формула называется формулой понижения степени синуса.
Сделаем тоже самое для косинуса, для этого выразим из тригонометрического тождества квадрат синуса половинного аргумента $\sin^2(\frac{x}{2})=1-\cos^2(\frac{x}{2})$ и затем подставим в выражение $(2)$, имеем:
$\cos x=\cos^2(\frac{x}{2})-1+\cos^2(\frac{x}{2})$
$\cos x=2\cos^2(\frac{x}{2})-1$
Теперь выразим квадрат косинуса половинного аргумента:
$\cos^2(\frac{x}{2})=\frac{\cos x+1}{2}\left(5\right)$
Данная формула носит название формулы понижения степени косинуса.
Формулы $(4)$ и $(5)$ также иногда называют формулами половинного аргумента. Используя их, можно вывести формулы понижения степени для квадратов тангенса и котангенса половинного аргумента:
$tg^2(\frac{x}{2})=\frac{\sin^2(\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$;
$ctg^2\frac{x}{2}=\frac{\cos^2(\frac{x}{2}0}{\sin^2(\frac{x}{2})}=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}$.
В случае тангенса и котангенса стоит помнить о том, что данные записи имеют смысл лишь в том случае, если в знаменателе не получается нуль.
Докажите, что выражение верное:
$\sin^2(\frac{π}{4}+x)=\frac{1+\sin2x}{2}$
Применим к левой части равенства формулу понижения степени для синуса:
$\sin^2(\frac{π}{4}+x)=\frac{1-\cos(2 \cdot (\frac{π}{4}+x))}{2}$
Используем формулу разложения косинуса суммы к куску $\cos(2 \cdot (\frac{π}{4}+x)$:
$\cos(2 \cdot (\frac{π}{4}+x)=\cos (\frac{π}{2}+ 2x)=\cos\frac{π}{2} \cdot \cos2x - \sin\frac{π}{2} \cdot \sin2x =0-1 \cdot \sin2x= - \sin2x$
Используем полученное и подставим в наше равенство:
$\sin^2(\frac{π}{4}+x)=\frac{1+sin2x}{2}$
Равенство выполняется, что и требовалось доказать.
