Площадь фигуры, ограниченной линиями

Интегральное исчисление очень часто используется для различных прикладных целей, и одним из таких применений является вычисление площадей плоских фигур.

Как следует из определения интеграла, площадь фигуры, расположенной над осью абсцисс и иначе называемой криволинейной трапецией, вычисляется как её определённый интеграл:

$S=\int_a^b f(x)dx$

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную функцией $f(x)≥0$, а также прямыми $x=a$, $x=b$ и $y=0$.

Криволинейная трапеция" />

Рисунок 1. Криволинейная трапеция

Для того чтобы найти площадь всей трапеции, рассмотрим произвольное значение $x$, принадлежащее отрезку $[a;b]$, при этом площадь всей трапеции будем рассматривать как функцию от аргумента $x$ — $S(x)$.

Далее осуществим приращение $∆x=dx(x+∆x)$ такое, что $∆x$ принадлежит рассматриваемому отрезку $[a;b]$. Площадь также получит приращение, равное $∆S$, которое можно рассматривать как элементарный сегмент трапеции.

При $x \to 0$ $dS$ является частью, вносящей главный вклад в приращение функции $∆S$, эта часть равна площади элементарного прямоугольника, отмеченного на рисунке штриховкой.

Площадь этого прямоугольника равна:

$dS=y \cdot dx$.

Проинтегрируем это выражение, и получим:

$S=\int_a^b ydx$

Также возможны случаи, когда необходимо найти площадь фигуры, расположенной под осью абсцисс, тогда эта формула примет следующий вид:

$S=-\int_a^b ydx$

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$ b и двумя прямыми $x=a$ и $x=b$ находится по следующей формуле:

В случае же если исследуемая фигура имеет более сложную форму, то для вычисления её площади прибегают к разбиению отрезка на несколько частей и затем последующему сложению полученных площадей. Это возможно благодаря такому свойству площади, как аддитивность.