Перемножение скобок

При математических вычислениях операции над числами и переменными часто для удобства или наглядности группируют с помощью круглых скобок. Случаются и противоположные ситуации, когда выражение в скобках необходимо преобразовать к тождественному выражению, не содержащему скобок.

Одним из наиболее сложных случаев раскрытия скобок является перемножение двух или более заключенных в скобки выражений.

Чтобы получать корректные результаты при перемножении скобок, необходимо придерживаться определенных математических алгоритмов.

Во-первых, следует помнить, когда при раскрытии скобок знак меняется:

• когда перед скобками стоит знак плюс, его можно опустить вместе со скобками;
• когда перед скобками стоит знак минус, его можно опустить вместе со скобками, однако все заключавшиеся в них слагаемые поменяют знак на противоположный.

Во-вторых, следует иметь в виду распределительный закон умножения: при умножении числа на сумму чисел следует это число умножить по отдельности на каждое слагаемое, а полученные произведения сложить. Например:

$5 \cdot (3 + 4) \implies 5 \cdot 3+5 \cdot 4 \implies 35$.

Распределительный закон умножения является частным случаем математической дистрибутивности.

В общем случае раскрытие скобок выглядит как

$(a_1 ± a_2 ± … ± a_n) \cdot b = a_1 \cdot b ± a_2 \cdot b ± … ±a_n \cdot b$

Понятно, что выражение в скобках и множитель $b$ можно поменять местами, результат раскрытия будет такой же. Множитель при скобках (в данном случае $b$) называют общим множителем.

Когда перед скобками отсутствуют числа или переменные, общим множителем являются $1$ или $−1$, в зависимости от знака перед скобками:

• в случае, если перед скобками находится плюс, общим множителем считается $1$;
• если перед скобками находится минус, то общий множитель равен $−1$.

Еще одним приемом, помогающим раскрывать скобки, является приведение подобных слагаемых, то есть таких, в которых участвуют однотипные переменные, например:

$-4 \cdot (2b + 1) - 2b + 3$

После раскрытия скобок окажется, что переменная $b$ дважды встречается в получившемся выражении, равно как и свободные члены:

$-4 \cdot (2b + 1) - 2b + 3 = -8b + (-4) + (-2b) + 3 = (-8 + (-2)) \cdot b + (-4 + 3)$

Таким образом, мы получили две группы подобных слагаемых, которые можно безопасно складывать и вычитать в рамках своих скобок. Применяя правило смены знака, получим

$-10b + (-1) = -10b - 1$

Переменные, возведенные в степень, рассматриваются как подобные слагаемые. Рассмотрим выражение

$3 \cdot x^2 \cdot \left( 1 - x + \frac{1}{x + 2} \right)$.

После раскрытия скобок получаем:

$3 \cdot x^2 \cdot 1 - 3 \cdot x^2 \cdot x + 3 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x + 2}$.

При умножении скобки на скобку одно из выражений рассматривается как общий множитель. Рассмотрим произведение

$(a_1 + a_2) \cdot (b_1 + b_2)$.

Обозначим выражение $(b_1 + b_2)$ переменной $b$, превратив его в общий множитель, после чего задачу можно свести к уже знакомому виду:

$(a_1 + a_2) \cdot (b_1 + b_2) = (a_1 + a_2) \cdot b = (a_1 \cdot b + a_2 \cdot b) = a_1 \cdot b + a_2 \cdot b$.

Заменив везде $b$ на $(b_1 + b_2)$, повторно воспользуемся правилом умножения выражения на скобку:

$a_1 \cdot b + a_2 \cdot b=a_1 \cdot (b_1 + b_2) + a_2 \cdot (b_1 + b_2) = \\ (a_1 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_2) + (a_2 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2) = \\ a_1 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$.

В результате данного преобразования выражение из произведения двух скобок стало суммой произведений каждого слагаемого из первого выражения-скобки на каждое слагаемое второго.

В виде формулы это можно записать так:

$(a_1 + a_2 + ... + a_n) \cdot (b_1 + b_2 + ... + b_n) = \\ + a_1 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_2 + ... + a_1 \cdot b_n + \\ + a_2 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + ... + a_2 \cdot b_n + \\ + ... + \\ + a_n \cdot b_1 + a_n \cdot b_2 + ... + a_n \cdot b_n \\ $

Для иллюстрации этого правила раскрытия скобок при умножении, раскроем их в выражении

$(1 + x) \cdot (x^2 + x + 6)$.

Запишем сумму произведений первого слагаемого $1$ из первой части на каждое слагаемое $x^2$, $x$ и $6$ из второй, затем аналогично поступим со вторым слагаемым:

$(1 + x) \cdot (x^2 + x + 6) = \\ (1 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 6 + x \cdot x^2 + x \cdot x + x \cdot 6) = \\ 1 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 6 + x \cdot x^2 + x \cdot x + x \cdot 6$.

Если в скобках присутствуют отрицательные члены (со знаками минус), то прежде, чем применять этот способ следует преобразовать выражения в скобках в суммы. Например, избавимся от скобок в выражении

$(1 − x) \cdot (3 \cdot x \cdot y − 2 \cdot x \cdot y^3)$.

Представим его в виде сумм:

$(1 + (−x)) \cdot (3xy + (−2xy^3))$.

Теперь можно применять вышеприведенное правило перемножения слагаемых:

$(1 + (−x)) \cdot (3xy + (−2xy^3)) = (1 \cdot 3xy + 1 \cdot (−2xy^3) + (−x) \cdot 3xy + (−x) \cdot (−2xy^3))$.

Раскроем оставшиеся скобки, помня правила перемножения положительных и отрицательных чисел:

$1 \cdot 3xy − 1 \cdot 2xy^3 − x \cdot 3 \cdot xy + x \cdot 2xy^3$.

В выражениях, в которых перемножаются три и больше выражений в скобках, проводится по тому же принципу последовательно: сначала обрабатываются два первых множителя, результат заключается в дополнительные скобки, внутри которых раскрытие производится по стандартному алгоритму. Например, раскроем скобки в выражении

$(2 + 4) \cdot 3 \cdot (5 + 7 \cdot 8)$.

Оно представляет собой произведение трех множителей $(2 + 4)$, $3$ и $(5 + 7 \cdot 8)$. Первые два множителя для наглядности заключим в дополнительные скобки:

$(2+4) \cdot 3 \cdot (5 + 7 \cdot 8) = ((2+4) \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8)$.

Произведем умножение скобки на число:

$((2 + 4) \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8) = (2 \cdot 3 + 4 \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8)$.

Перемножим выражения в скобках:

$(2 \cdot 3 + 4 \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8) = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 8 + 4 \cdot 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 8$.

Вместо чисел внутри скобок могут присутствовать переменные, а также другие выражения.