Директрисой параболы называют такую прямую, кратчайшее расстояние от которой до любой точки $M$, принадлежащей параболе точно такое же, как и расстояние от этой же точки до фокуса параболы $F$.
Рисунок 1. Фокус и директриса параболы
Основные понятия параболы
Отношение расстояний от точки $M$, лежащей на параболе, до этой прямой и от этой же точки до фокуса $F$ параболы называют эксцентриситетом параболы $ε$.
Чтобы найти эксцентриситет параболы, достаточно воспользоваться следующей формулой из определения эксцентриситета: $ε =\frac{MF}{MM_d}$, где точка $M_d$ - точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c прямой $d$.
Каноническая парабола задается уравнением вида $y^2 = px$, где $p$ обязательно должно быть больше нуля.
Более часто приходится иметь дело с параболой, вершина которой не находится в точке начала координатных осей, и тогда уравнение параболы приобретает следующий вид:
$y = ax^2 + bx + c$, при этом коэффициент $a$ не равен нулю.
Чтобы найти директрису такой параболы, необходимо от такой формы перейти к канонической, ниже в примерах показано, как это сделать.
Расстояние от фокуса до директрисы параболы называется её фокальным параметром $p$. Уравнение директрисы канонической параболы имеет следующий вид: $x=-p/2$
Алгоритм составления уравнения директрисы параболы, заданной не каноническим уравнением
Чтобы составить уравнение директрисы параболы, вершина которой не находится на пересечении осей координат, достаточно воспользоваться следующим алгоритмом:
- Перенесите все слагаемые с $y$ в левую часть уравнения, а с $x$ - в правую.
- Упростите полученное выражение.
- Введите дополнительные переменные чтобы прийти к каноническому виду уравнения.
Составьте уравнение директрисы параболы, описанной уравнением $4x^2 + 24 x – 4y + 36 = 0$
Переносим все слагаемые с $y$ в левую часть и избавляемся от множителя, получаем:
$y^2 = x^2 + 6x – y + 9$
Приводим в форму квадрата:
$(x + 3)^2 = y$
Вводим дополнительные переменные $t = x + 3$ и $y = z$
- Получаем следующее уравнение: $t^2 = z$
- Выражаем $p$ из канонического уравнения параболы, получаем $p = \frac{y^2}{2x}$, следовательно, в нашем случае $p = \frac{1}{2}$.
- Уравнение директрисы приобретает следующий вид: $t = -\frac{1}{4} \cdot t$. Подставляем $t$ и получаем следующее уравнение директрисы $x = -3\frac{1}{4}$.
