Обыкновенные дроби. Делимость чисел, делители и кратные

Понятие делимости

Понятие делимости является одним из основных в арифметике и теории чисел.

Также принято говорить «$b$ делит $a$» или «$a$ делится на $b$ нацело».

Не для каждой пары целых чисел $a$ и $b$ существует такое целое число $q$, когда выполняется равенство $a=b\cdot q$. Тогда говорят «$a$ не делится на $b$» (при этом имеют в виду, что $a$ не делится на $b$ нацело). В таких случаях можно прибегнуть к делению целых чисел с остатком.

Рассмотрим понятие делимости на примерах.

В данном случае целое число $39$ является кратным числа $13$, а число $13$ – делителем числа $39$.

Т.е. в данном случае число $27$ не является кратным числа $4$, а число $4$ – делителем числа $27$.

Для удобства описания делимости принято использовать некоторые обозначения:

• $«⋮»$ – $3$ точки, расположенные по вертикали – обозначает тот факт, что $a$ кратно $b$. Записывают $a⋮b$. Например, запись $51⋮3$ означает, что целое число $51$ делится на $3$.
• $«|»$, «\» – вертикальная черта или левый слэш – обозначает тот факт, что число $b$ делит число $a$. Записывают $b|a$ или $b$\$a$. Например, запись $3|51$ означает, что число $3$ делит $51$.

• зачеркнутые $3$ точки, расположенные по вертикали

  
  
  Рисунок 1.

  – обозначают тот факт, что $a$ не кратно $b$. Например,

  
  
  Рисунок 2.

  – «$38$ не делится на $5$, $38$ не является кратным числа $5$, $38$ не кратно $5$».

• 
  
  Рисунок 3.

  – зачеркнутая вертикальная черта – обозначают, что $b$ не делит $a$. Например,

  
  
  Рисунок 4.

  – «$5$ не делит число $38$».

Свойства делимости

1. Любое целое число делится само на себя, на противоположное себе, на $1$ и $–1$:

   • $a⋮a$ – свойство рефлексивности

   • $a⋮(-a)$

   • $a⋮1$

   • $a⋮(-1)$

2. Нуль делится на любое целое число:

   • $0⋮a$

   Частным случаем также является делимость нуля на нуль:

   • $0⋮0$
   Замечание 1

   Необходимо отметить, что другое целое число, не равное нулю, на нуль не делится:

   
   
   Рисунок 5.

3. Если целое число $a$ делится на целое число $b$ и выполняется условие $\left|a\right|

4. Если целое число $a\ne 0$ и $a\vdots b$, то $\left|a\right|\ge \left|b\right|$. Данное свойство делимости вытекает из предыдущего.

5. Единица имеет только два делителя -- целые числа $(1)$ и $(-1)$.

6. Чтобы целые числа $a\vdots b$ необходимо и достаточно, чтобы $\left|a\right|\vdots \left|b\right|$.

   Следствие 1.

   Если $a\vdots b$, то $a\vdots \left(-b\right);$

   $a$, $b$-- целые числа.

   Следствие 2.

   Если $a\vdots b$, то $\left(-a\right)\vdots b;$

   $a$, $b$-- целые числа.

7. Свойство транзитивности:

   Если $a\vdots m$ и $m\vdots b$, то $a\vdots b$;

   $a, b, m$-- целые числа.

8. Свойство антисимметричности:

   Если $a\vdots b$ и $b\vdots a$, то $a=b$ или $a=-b$;

   $a, b$-- целые числа.

9. Для любого целого числа $b\ne 0$ найдется такое целое число $a\ne b$, которое делится на $b$.

10. Если $a\vdots c$ и $b\vdots c$, то $\left(a+b\right)\vdots c$,

    $a, b, c$ -- целые числа.

11. Если $a\vdots b$, то $a\cdot k\vdots b$,

    $a, b, k$-- целые числа.

Делители

Целое число $b$ называют делителем целого числа $a$, если число $a$ делится на $b$ без остатка.

Целое число $b$ называют делителем целого числа $a$, если существует такое целое число $q$, что выполняется равенство $a=b\cdot q$.

Кратные

Целое число $a$ называется кратным целого числа $b$, если оно делится на $b$ без остатка.

Целое число $a$ называется кратным целого числа $b$, если существует такое целое число $q$, что выполняется равенство $a=b\cdot q$.