Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Нормальное распределение, нормальная кривая

Определение нормального распределения.

Определение 1

Случайная величина X имеет нормальное распределение, если плотность её распределения определяется формулой:

φ(x)=12πσe(xa)22σ2

где a?R, а σ>0 -- константы.

Разберем теперь, какой смысл имеют константы a и σ.

Для этого попробуем найти числовые характеристики для данного распределения. Начнем с математического ожидания.

Сделаем замену: xaσ=t, x=σt+a, dx=σdt.

12π+et22dt - это функция плотности распределения некоторой случайной величины, следовательно:

Из этого сего получим:

!!! То есть константа a в определении 1 -- это математическое ожидание данного распределения.

Найдем теперь дисперсию:

Сделаем замену: xaσ=t, x=σt+a, dx=σdt.

Используя вычисления неопределенного интеграла и тот факт, что 12π+et22dt=1, то есть +et22dt=2π, получим:

Найдем теперь среднее квадратическое отклонение:

!!! То есть константа σ в определении 1 -- это среднее квадратическое отклонение данного распределения.

Нормальная кривая

Определение 2

Нормальной кривой (или кривой Гаусса) называется график функции плотности нормального распределения φ(x)

Исследуем данную функцию и определим вид ее графика:

  1. Область определения: (,+).

  2. Область значения: (0, 12πσ].

  3. φ(x)>0, график функции расположен выше оси Ox)

  4. При x=0, φ(0)=12πσe(0a)22σ2=12πσea22σ2.\

  5. φ(x) непрерывна на всей области определения.

  6. φ(x)=(12πσe(xa)22σ2)=xa2πσ3e(xa)22σ2

«Нормальное распределение, нормальная кривая» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Точка (a, 12πσ) -- точка максимума.

Функция φ(x) убывает, при x>a, и возрастает, при $x

  1. График симметричен относительно прямой x=a.

  2. φ

Функция \varphi \left(x\right) имеет точки перегиба при x=a\pm \sigma .

  1. Примерный вид кривой (рис. 1):

График плотности нормального распределения.

Рисунок 1. График плотности нормального распределения.

Пример задач на нормальное распределение вероятности

Пример 1

Нормальное распределение вероятности задана следующей функцией плотности распределения:

\varphi \left(x\right)=\frac{1}{0,3\sqrt{2\pi }}e^{\frac{-{(x-2)}^2}{2{\sigma }^2}}

Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Используя определение 1 сразу найдем

Математическое ожидание: M\left(X\right)=a=2.

Среднее квадратическое распределение: \sigma \left(X\right)=\sigma =0,3.

Тогда получим, что дисперсия: D\left(X\right)={\sigma }^2=0,09.

Пример 2

Длина стержня X представляет собой случайную непрерывную величину. X распределена по нормальному закону распределения среднее значение которого равно 30 мм, а среднее квадратическое отклонение равно 0,2 мм. Найти плотность распределения такой случайной величины и построить её график:

Решение:

Из условия имеем: a=30,\ \sigma =0,2.

Тогда по определению 1, получим:

\varphi \left(x\right)=\frac{1}{0,2\sqrt{2\pi }}e^{\frac{-{(x-30)}^2}{0,08}}

Найдем точку максимума: \left(a,\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\right)=\left(30,\frac{1}{0,2\sqrt{2\pi }}\right)

График имеет вид:



Рисунок 2.

Дата последнего обновления статьи: 20.02.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot