Нормальное распределение, нормальная кривая

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение нормального распределения.

Определение 1

Случайная величина $X$ имеет нормальное распределение, если плотность её распределения определяется формулой:

$\varphi \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(x-a)}^2}{2{\sigma }^2}}$

где $a?R$ , а $\sigma >0$ -- константы.

Разберем теперь, какой смысл имеют константы $a$ и $\sigma$ .

Для этого попробуем найти числовые характеристики для данного распределения. Начнем с математического ожидания.

Сделаем замену: $\frac{x-a}{\sigma }=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$ .

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{e^{\frac{-t^2}{2}}dt}$ - это функция плотности распределения некоторой случайной величины, следовательно:

Из этого сего получим:

!!! То есть константа $a$ в определении 1 -- это математическое ожидание данного распределения.

Найдем теперь дисперсию:

Сделаем замену: $\frac{x-a}{\sigma }=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$ .

Используя вычисления неопределенного интеграла и тот факт, что $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{e^{\frac{-t^2}{2}}dt}=1$ , то есть $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{e^{\frac{-t^2}{2}}dt}=\sqrt{2\pi }$ , получим:

Найдем теперь среднее квадратическое отклонение:

!!! То есть константа $\sigma$ в определении 1 -- это среднее квадратическое отклонение данного распределения.

Нормальная кривая

Определение 2

Нормальной кривой (или кривой Гаусса) называется график функции плотности нормального распределения $\varphi (x)$

Исследуем данную функцию и определим вид ее графика:

Область определения: $\left(-\infty ,+\infty \right)$ .
Область значения: $(0,\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }]$ .
$\varphi \left(x\right)>0,$ график функции расположен выше оси $Ox)$
При $x=0,$ $\varphi \left(0\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{(0-a)}^2}{2{\sigma }^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-a^2}{2{\sigma }^2}}$ .\
$\varphi \left(x\right)$ непрерывна на всей области определения.
$\varphi '\left(x\right)={\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{\frac{-{\left(x-a\right)}^2}{2{\sigma }^2}}\right)}'=-\frac{x-a}{\sqrt{2\pi }{\sigma }^3}\cdot e^{\frac{-{\left(x-a\right)}^2}{2{\sigma }^2}}$

«Нормальное распределение, нормальная кривая» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Точка $(a,\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma })$ -- точка максимума.

Функция $\varphi \left(x\right)$ убывает, при $x>a$ , и возрастает, при $x

График симметричен относительно прямой $x=a$ .
$\varphi ''\left(x\right)={\left(-\frac{x-a}{\sqrt{2\pi }{\sigma }^3}\cdot e^{\frac{-{\left(x-a\right)}^2}{2{\sigma }^2}}\right)}'=-\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }^3}\cdot e^{\frac{-{\left(x-a\right)}^2}{2{\sigma }^2}}\cdot \left(1-\frac{{\left(x-a\right)}^2}{{\sigma }^2}\right)$

Функция $\varphi \left(x\right)$ имеет точки перегиба при $x=a\pm \sigma$ .

Примерный вид кривой (рис. 1):

Рисунок 1. График плотности нормального распределения.

Пример задач на нормальное распределение вероятности

Пример 1

Нормальное распределение вероятности задана следующей функцией плотности распределения:

$\varphi \left(x\right)=\frac{1}{0,3\sqrt{2\pi }}e^{\frac{-{(x-2)}^2}{2{\sigma }^2}}$

Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение:

Используя определение 1 сразу найдем

Математическое ожидание: $M\left(X\right)=a=2$ .

Среднее квадратическое распределение: $\sigma \left(X\right)=\sigma =0,3$ .

Тогда получим, что дисперсия: $D\left(X\right)={\sigma }^2$ =0,09.

Пример 2

Длина стержня $X$ представляет собой случайную непрерывную величину. $X$ распределена по нормальному закону распределения среднее значение которого равно $30$ мм, а среднее квадратическое отклонение равно $0,2$ мм. Найти плотность распределения такой случайной величины и построить её график: