Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Неопределенности пределов

Очень часто при вычислении пределов функций в какой-либо точке в результате упрощения получаются выражения, не несущие какой-либо информации об этой функции. Такие выражения носят название неопределённостей.

Виды неопредлённостей

  • 00 — деление нуля на нуль;

  • — деление бесконечности на бесконечность;

  • 0умножение нуля на бесконечность;

  • 1 — единица, возведённая в степень бесконечности;

  • () — разность бесконечностей;

  • 00 — нуль в нулевой степени;

  • 0 — бесконечность в степени 0.

Неопределённости вида 00 и называются основными и для их раскрытия применяется правило Лопиталя, тогда как остальные неопределённости сводятся путём тождественных преобразований также к основным или решаются иными способами.

Раскрытие неопределенностей

Сам по себе термин «неопределённость» не означает, что предела не существует. Во многих случаях для того чтобы прийти к конечному ответу можно использовать упрощения, правило Лопиталя и другие способы раскрытия математических неопределенностей.

Например, выражение вида x2x можно упростить до просто x при любых значениях x, кроме нуля. Таким образом, предел этого выражения при приближении x к нулю есть не что иное как x, а сам x стремится к нулю, следовательно:

limx0x2x=limx0x=0.

Наиболее универсальным способом для раскрытия неопределённостей является правило Лопиталя, но к нему не всегда возможно прибегнуть. Как было упомянуто выше, его возможно применять лишь к двум видам неопределённостей, тогда как остальные необходимо для начала привести к одной из форм основных неопределённостей.

В целом, при раскрытии неопредлённостей возможно использовать различные тождественные преобразования, замечательные пределы и замену одного бесконечно малого выражения на другое, подобное ему.

«Неопределенности пределов» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Рассмотрим подробнее замену бесконечно малых выражений на аналогичное.

Таблица эквивалентных бесконечно малых выражений

Если две переменные α и β сходятся к нулю в одной точке и предел их отношения в этой точке равен единице, то эти переменные называются эквивалентными бесконечно малыми переменными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций:

x sinx;

x arcsinx;

x tgx;

x arctgx;

x ln(1+x);

1cosx x22;

ax1 xlna;

ex1 x;

(1+x)a1 ax.

Пример 1

Вычислите предел: limx01x3(2+cosx3)x1).

Решение:

limx01x3(2+cosx3)x1)=limx0exln2+cosx31x3=limx01x2ln2+cosx3=limx01x2ln(cosx13+1=limx0cosx13x2=16

Раскрытие неопределённости, содержащей бесконечность в числителе и знаменателе

Для того чтобы раскрыть такую неопределённость, сначала находят в выражении старшую степень при переменной, а затем делят на эту переменную числитель и знаменатель.

Раскрытие неопределённости, содержащей нуль в числителе и знаменателе

При возникновении такого случая сначала производят разложение на множители числителя и знаменателя, а затем осуществляют сокращение дроби.

Правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей

Данное правило является главным методом для вычисления неопределённостей вида 00 и . Суть метода состоит в том, чтобы вместо предела отношения двух функций находить предел производных двух функций:

limxcf(x)g(x)=limxcf(x)g(x)

Использование производных позволяет упростить выражения и найти, к чему стремится данный предел.

С помощью этого правила можно находить не только неопределённости, про которые сказано выше, но также и другие. Ниже приведена таблица, с помощью которой можно непределённости других видов приводить к форме, которую возможно упростить с помощью правила Лопиталя.

Преобразования неопределенностей пределов для применения правила Лопиталя

Рисунок 1. Преобразования неопределенностей пределов для применения правила Лопиталя

Пример 2

Вычислите предел, используя правило Лопиталя:

limx0x2+5x3x

Решение:

limx0x2+5x3x=limx0(x2+5x)(3x)=limx02x+53=53

Разложение неопределённостей в ряд Тейлора

Для оценки выражений, в результате вычисления которых образовались неопределённости вида 00, 1, и 0 вычисляют предел натурального логарифма исследуемого выражения, а затем после получения результата от него берут экспоненту:

00=e0()

1=eln1=e0

0=e0ln=e0

Выражения, не являющиеся неопределённостями

Выражения вида 10 не считаются неопределённостями, также как неопределённости не рассматриваются все случаи, где знаменатель равен нулю, а числитель — любое число, отличное от нуля.

Другое выражение, не являющееся неопределённостью — это 0. Выражение вида 0+ стремится к нулю, тогда как выражение 0 эквивалентно выражению 10.

Дата последнего обновления статьи: 25.02.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Неопределенности пределов"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant