Очень часто при вычислении пределов функций в какой-либо точке в результате упрощения получаются выражения, не несущие какой-либо информации об этой функции. Такие выражения носят название неопределённостей.
Виды неопредлённостей
$\frac{0}{0}$ — деление нуля на нуль;
$\frac{\infty}{\infty}$ — деление бесконечности на бесконечность;
$0 \cdot \infty$ — умножение нуля на бесконечность;
$1^{\infty}$ — единица, возведённая в степень бесконечности;
$(\infty-\infty$) — разность бесконечностей;
$0^0$ — нуль в нулевой степени;
$\infty^0$ — бесконечность в степени 0.
Неопределённости вида $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$ называются основными и для их раскрытия применяется правило Лопиталя, тогда как остальные неопределённости сводятся путём тождественных преобразований также к основным или решаются иными способами.
Раскрытие неопределенностей
Сам по себе термин «неопределённость» не означает, что предела не существует. Во многих случаях для того чтобы прийти к конечному ответу можно использовать упрощения, правило Лопиталя и другие способы раскрытия математических неопределенностей.
Например, выражение вида $\frac{x^2}{x}$ можно упростить до просто $x$ при любых значениях $x$, кроме нуля. Таким образом, предел этого выражения при приближении $x$ к нулю есть не что иное как $x$, а сам $x$ стремится к нулю, следовательно:
$lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=lim_{x\to 0} x=0$.
Наиболее универсальным способом для раскрытия неопределённостей является правило Лопиталя, но к нему не всегда возможно прибегнуть. Как было упомянуто выше, его возможно применять лишь к двум видам неопределённостей, тогда как остальные необходимо для начала привести к одной из форм основных неопределённостей.
В целом, при раскрытии неопредлённостей возможно использовать различные тождественные преобразования, замечательные пределы и замену одного бесконечно малого выражения на другое, подобное ему.
Рассмотрим подробнее замену бесконечно малых выражений на аналогичное.
Таблица эквивалентных бесконечно малых выражений
Если две переменные $α$ и $β$ сходятся к нулю в одной точке и предел их отношения в этой точке равен единице, то эти переменные называются эквивалентными бесконечно малыми переменными.
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций:
$x~sin x$;
$x~arcsin x$;
$x ~ tg x$;
$x ~ arctg x$;
$x ~ ln(1+x)$;
$1-cos x ~ \frac{x^2}{2}$;
$ a^x-1 ~ x ln a$;
$e^x-1 ~ x$;
$(1+x)^a-1 ~ ax$.
Вычислите предел: $lim_{x \to 0}\frac{1}{x^3} \cdot (\frac{2+cosx}{3})^x-1)$.
Решение:
$lim_{x \to 0}\frac{1}{x^3} \cdot (\frac{2+cosx}{3})^x-1)=lim_{x \to 0}\frac{e^{xln \frac{2+cosx}{3}}-1}{x^3}= lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} ln \frac{2+cosx}{3}= lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} ln (\frac{cosx-1}{3}+1=lim_{x \to 0}\frac{cosx-1}{3x^2}=-\frac{1}{6}$
Раскрытие неопределённости, содержащей бесконечность в числителе и знаменателе
Для того чтобы раскрыть такую неопределённость, сначала находят в выражении старшую степень при переменной, а затем делят на эту переменную числитель и знаменатель.
Раскрытие неопределённости, содержащей нуль в числителе и знаменателе
При возникновении такого случая сначала производят разложение на множители числителя и знаменателя, а затем осуществляют сокращение дроби.
Правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей
Данное правило является главным методом для вычисления неопределённостей вида $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$. Суть метода состоит в том, чтобы вместо предела отношения двух функций находить предел производных двух функций:
$lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x\to c} \frac{f’(x)}{g’(x)}$
Использование производных позволяет упростить выражения и найти, к чему стремится данный предел.
С помощью этого правила можно находить не только неопределённости, про которые сказано выше, но также и другие. Ниже приведена таблица, с помощью которой можно непределённости других видов приводить к форме, которую возможно упростить с помощью правила Лопиталя.
Рисунок 1. Преобразования неопределенностей пределов для применения правила Лопиталя
Вычислите предел, используя правило Лопиталя:
$lim_{x \to 0} \frac{x^2+5x}{3x}$
Решение:
$lim_{x \to 0} \frac{x^2+5x}{3x}= lim_{x \to 0} \frac{(x^2+5x)’}{(3x)’}=lim_{x \to 0}\frac{2x+5}{3}=\frac{5}{3}$
Разложение неопределённостей в ряд Тейлора
Для оценки выражений, в результате вычисления которых образовались неопределённости вида $0^0$, $1^{\infty}$, и $\infty^0$ вычисляют предел натурального логарифма исследуемого выражения, а затем после получения результата от него берут экспоненту:
$0^0=e^{0 \cdot (- \infty)}$
$1^{\infty}= e^{\infty \cdot ln1}= e^{\infty \cdot 0}$
$\infty^0=e^{0 ln \infty}= e^ { 0 \cdot \infty}$
Выражения, не являющиеся неопределённостями
Выражения вида $\frac{1}{0}$ не считаются неопределённостями, также как неопределённости не рассматриваются все случаи, где знаменатель равен нулю, а числитель — любое число, отличное от нуля.
Другое выражение, не являющееся неопределённостью — это $0^{\infty}$. Выражение вида $0^{+\infty}$ стремится к нулю, тогда как выражение $0^{-\infty}$ эквивалентно выражению $\frac{1}{0}$.
