Неопределенности пределов

Очень часто при вычислении пределов функций в какой-либо точке в результате упрощения получаются выражения, не несущие какой-либо информации об этой функции. Такие выражения носят название неопределённостей.

Виды неопредлённостей

• $\frac{0}{0}$ — деление нуля на нуль;

• $\frac{\infty}{\infty}$ — деление бесконечности на бесконечность;

• $0 \cdot \infty$ — умножение нуля на бесконечность;

• $1^{\infty}$ — единица, возведённая в степень бесконечности;

• $(\infty-\infty$) — разность бесконечностей;

• $0^0$ — нуль в нулевой степени;

• $\infty^0$ — бесконечность в степени 0.

Неопределённости вида $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$ называются основными и для их раскрытия применяется правило Лопиталя, тогда как остальные неопределённости сводятся путём тождественных преобразований также к основным или решаются иными способами.

Раскрытие неопределенностей

Сам по себе термин «неопределённость» не означает, что предела не существует. Во многих случаях для того чтобы прийти к конечному ответу можно использовать упрощения, правило Лопиталя и другие способы раскрытия математических неопределенностей.

Например, выражение вида $\frac{x^2}{x}$ можно упростить до просто $x$ при любых значениях $x$, кроме нуля. Таким образом, предел этого выражения при приближении $x$ к нулю есть не что иное как $x$, а сам $x$ стремится к нулю, следовательно:

$lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=lim_{x\to 0} x=0$.

Наиболее универсальным способом для раскрытия неопределённостей является правило Лопиталя, но к нему не всегда возможно прибегнуть. Как было упомянуто выше, его возможно применять лишь к двум видам неопределённостей, тогда как остальные необходимо для начала привести к одной из форм основных неопределённостей.

В целом, при раскрытии неопредлённостей возможно использовать различные тождественные преобразования, замечательные пределы и замену одного бесконечно малого выражения на другое, подобное ему.

Рассмотрим подробнее замену бесконечно малых выражений на аналогичное.

Таблица эквивалентных бесконечно малых выражений

Если две переменные $α$ и $β$ сходятся к нулю в одной точке и предел их отношения в этой точке равен единице, то эти переменные называются эквивалентными бесконечно малыми переменными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций:

$x~sin x$;

$x~arcsin x$;

$x ~ tg x$;

$x ~ arctg x$;

$x ~ ln(1+x)$;

$1-cos x ~ \frac{x^2}{2}$;

$a^x-1 ~ x ln a$;

$e^x-1 ~ x$;

$(1+x)^a-1 ~ ax$.

Раскрытие неопределённости, содержащей бесконечность в числителе и знаменателе

Для того чтобы раскрыть такую неопределённость, сначала находят в выражении старшую степень при переменной, а затем делят на эту переменную числитель и знаменатель.

Раскрытие неопределённости, содержащей нуль в числителе и знаменателе

При возникновении такого случая сначала производят разложение на множители числителя и знаменателя, а затем осуществляют сокращение дроби.

Правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей

Данное правило является главным методом для вычисления неопределённостей вида $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$. Суть метода состоит в том, чтобы вместо предела отношения двух функций находить предел производных двух функций:

$lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x\to c} \frac{f’(x)}{g’(x)}$

Использование производных позволяет упростить выражения и найти, к чему стремится данный предел.

С помощью этого правила можно находить не только неопределённости, про которые сказано выше, но также и другие. Ниже приведена таблица, с помощью которой можно непределённости других видов приводить к форме, которую возможно упростить с помощью правила Лопиталя.

Рисунок 1. Преобразования неопределенностей пределов для применения правила Лопиталя

Разложение неопределённостей в ряд Тейлора

Для оценки выражений, в результате вычисления которых образовались неопределённости вида $0^0$, $1^{\infty}$, и $\infty^0$ вычисляют предел натурального логарифма исследуемого выражения, а затем после получения результата от него берут экспоненту:

$0^0=e^{0 \cdot (- \infty)}$

$1^{\infty}= e^{\infty \cdot ln1}= e^{\infty \cdot 0}$

$\infty^0=e^{0 ln \infty}= e^ { 0 \cdot \infty}$

Выражения, не являющиеся неопределённостями

Выражения вида $\frac{1}{0}$ не считаются неопределённостями, также как неопределённости не рассматриваются все случаи, где знаменатель равен нулю, а числитель — любое число, отличное от нуля.

Другое выражение, не являющееся неопределённостью — это $0^{\infty}$. Выражение вида $0^{+\infty}$ стремится к нулю, тогда как выражение $0^{-\infty}$ эквивалентно выражению $\frac{1}{0}$.