Очень часто при вычислении пределов функций в какой-либо точке в результате упрощения получаются выражения, не несущие какой-либо информации об этой функции. Такие выражения носят название неопределённостей.
Виды неопредлённостей
00 — деление нуля на нуль;
∞∞ — деление бесконечности на бесконечность;
0⋅∞ — умножение нуля на бесконечность;
1∞ — единица, возведённая в степень бесконечности;
(∞−∞) — разность бесконечностей;
00 — нуль в нулевой степени;
∞0 — бесконечность в степени 0.
Неопределённости вида 00 и ∞∞ называются основными и для их раскрытия применяется правило Лопиталя, тогда как остальные неопределённости сводятся путём тождественных преобразований также к основным или решаются иными способами.
Раскрытие неопределенностей
Сам по себе термин «неопределённость» не означает, что предела не существует. Во многих случаях для того чтобы прийти к конечному ответу можно использовать упрощения, правило Лопиталя и другие способы раскрытия математических неопределенностей.
Например, выражение вида x2x можно упростить до просто x при любых значениях x, кроме нуля. Таким образом, предел этого выражения при приближении x к нулю есть не что иное как x, а сам x стремится к нулю, следовательно:
limx→0x2x=limx→0x=0.
Наиболее универсальным способом для раскрытия неопределённостей является правило Лопиталя, но к нему не всегда возможно прибегнуть. Как было упомянуто выше, его возможно применять лишь к двум видам неопределённостей, тогда как остальные необходимо для начала привести к одной из форм основных неопределённостей.
В целом, при раскрытии неопредлённостей возможно использовать различные тождественные преобразования, замечательные пределы и замену одного бесконечно малого выражения на другое, подобное ему.
Рассмотрим подробнее замену бесконечно малых выражений на аналогичное.
Таблица эквивалентных бесконечно малых выражений
Если две переменные α и β сходятся к нулю в одной точке и предел их отношения в этой точке равен единице, то эти переменные называются эквивалентными бесконечно малыми переменными.
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций:
x sinx;
x arcsinx;
x tgx;
x arctgx;
x ln(1+x);
1−cosx x22;
ax−1 xlna;
ex−1 x;
(1+x)a−1 ax.
Вычислите предел: limx→01x3⋅(2+cosx3)x−1).
Решение:
limx→01x3⋅(2+cosx3)x−1)=limx→0exln2+cosx3−1x3=limx→01x2ln2+cosx3=limx→01x2ln(cosx−13+1=limx→0cosx−13x2=−16
Раскрытие неопределённости, содержащей бесконечность в числителе и знаменателе
Для того чтобы раскрыть такую неопределённость, сначала находят в выражении старшую степень при переменной, а затем делят на эту переменную числитель и знаменатель.
Раскрытие неопределённости, содержащей нуль в числителе и знаменателе
При возникновении такого случая сначала производят разложение на множители числителя и знаменателя, а затем осуществляют сокращение дроби.
Правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей
Данное правило является главным методом для вычисления неопределённостей вида 00 и ∞∞. Суть метода состоит в том, чтобы вместо предела отношения двух функций находить предел производных двух функций:
limx→cf(x)g(x)=limx→cf′(x)g′(x)
Использование производных позволяет упростить выражения и найти, к чему стремится данный предел.
С помощью этого правила можно находить не только неопределённости, про которые сказано выше, но также и другие. Ниже приведена таблица, с помощью которой можно непределённости других видов приводить к форме, которую возможно упростить с помощью правила Лопиталя.
Рисунок 1. Преобразования неопределенностей пределов для применения правила Лопиталя
Вычислите предел, используя правило Лопиталя:
limx→0x2+5x3x
Решение:
limx→0x2+5x3x=limx→0(x2+5x)′(3x)′=limx→02x+53=53
Разложение неопределённостей в ряд Тейлора
Для оценки выражений, в результате вычисления которых образовались неопределённости вида 00, 1∞, и ∞0 вычисляют предел натурального логарифма исследуемого выражения, а затем после получения результата от него берут экспоненту:
00=e0⋅(−∞)
1∞=e∞⋅ln1=e∞⋅0
∞0=e0ln∞=e0⋅∞
Выражения, не являющиеся неопределённостями
Выражения вида 10 не считаются неопределённостями, также как неопределённости не рассматриваются все случаи, где знаменатель равен нулю, а числитель — любое число, отличное от нуля.
Другое выражение, не являющееся неопределённостью — это 0∞. Выражение вида 0+∞ стремится к нулю, тогда как выражение 0−∞ эквивалентно выражению 10.