Направляющий вектор прямой

Рассмотрим прямую $L$, заданную точкой $M_0$, лежащей на ней, и направляющим вектором $\overline{S}$ с координатами $(l;m)$, при этом вектор $\overline{S}$ — ненулевой. Обозначим на прямой произвольную точку $M$ с координатами $(x, y)$, не совпадающую с точкой $M_0$. Радиус-векторы этих точек назовём $\overline{r_0}$ и $\overline{r}$. Вектор $\overline{MM_0}$ при этом будет колинеарен вектору $\overline{S}$.

Вектор $\overline{r}$ можно выразить через сумму векторов $\overline{MM_0}$:

$\overline{r} = \overline{r_0} + \overline{MM_0}\left(1\right).$

Вектор $\overline{MM_0}$ лежит на прямой $L$, поэтому он по условию является параллельным направляющему вектору $\overline{S}$ и связан с ним соотношением $\overline{MM_0}= t\overline{S}\left(2\right)$, где $t$ — множитель, являющийся скалярной величиной и зависящий от позиции точки $M$ на прямой.

Рисунок 1. Направляющий вектор прямой L

Учитывая равенство $(2)$, формулу $(1)$ можно переписать следующим образом:

Возможны следующие варианты задания уравнения прямой на плоскости:

• Общее уравнение прямой;
• Уравнение с угловым коэффициентом;
• Через параметрические уравнения;
• Каноническое уравнение;
• С помощью двух точек, через которые проходит прямая.

Для каждого из этих вариантов подходит свой способ нахождения направляющего вектора.

Направляющий вектор из канонического уравнения прямой и через две точки

Каноническое уравнение прямой выглядит так:

$\frac{x-x_0}{l}= \frac{y-y_0}{m}\left(4\right)$

Из канонического уравнения выразить координаты направляющего вектора проще всего: достаточно выписать знаменатели из уравнения следующим образом:

$\overline{S}=(l; m)$.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки, имеет вид, очень похожий на каноническое уравнение:

$\frac{x-x_1}{x_2 - x_1}= \frac{y-y_1}{y_2-y_1}\left(5\right)$, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — координаты точек, через которые проходит прямая.

В этом случае координаты направляющего вектора $\overline{S}$ равны $((x_2 – x_1); (y_2-y_1))$.

Направляющий вектор из параметрических уравнений

Параметрические уравнения имеют следующий вид: $\begin{cases} x=x_0 + lt \\ y=y_0 + mt \end{cases}$

Для того чтобы выразить координаты направляющего вектора из параметрических уравнений, нужно выписать коэффициенты, стоящие перед параметром $t$, т.е. $\overline{S}=(l; m)$.

Координаты направляющего вектора из общего уравнения

Общее уравнение имеет следующий вид:

$Ax + By + C = 0\left(6\right)$

Для того чтобы получить координаты направляющего вектора, нужно от общего уравнения прямой перейти к каноническому.

Сделаем это в общей форме.

Сначала перенесём часть $By + C$ в правую часть:

$Ax = - By – C$

Теперь разделим всё на $A$:

$x=-\frac{By}{A} - \frac{C}{A}$

А после этого всё уравнение разделим на $B$:

$\frac{x}{B}=-\frac{y}{A} - \frac{C}{AB}$

$\frac{x}{B} = \frac{y + \frac{C}{B}}{-A}\left(7\right)$

Из вышеизложенного следует, что координаты направляющего вектора $\overline{S}$ будут равны $(B; -A)$.

Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:

$y = kx + b$

Для того чтобы получить из него координаты направляющего вектора, необходимо сначала привести его к общему виду, для этого переносим всё в левую часть:

$y - kx – b= 0$

Затем нужно воспользоваться алгоритмом для общего уравнения.

Уравнение с угловым коэффициентом, приведённое к каноническому, выглядит так:

$\frac{x}{1}=\frac{y-b}{k}$,

то есть координаты направляющего вектора в данном случае будут $\overline{S}= (1;k)$.