Обратной матрицей матрицы $A$ называют такую матрицу $A^{-1}$, при умножении которой на исходную матрицу в качестве результата получается единичная диагональная матрица $E$, то есть матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а вокруг нули.
$A \cdot A^{-1} = E$
Обратные матрицы существуют только для квадратных и невырожденных матриц.
Квадратная матрица – это матрица, у которой количество строк и столбцов одинаково.
Вырожденной называют квадратную матрицу, определитель которой $det(A)$ равен нулю.
Свойства обратных квадратных невырожденных матриц
- Определитель матрицы $A$ равен обратному значению определителя для матрицы $A^{-1}$: $det(A) = \frac {1}{det(A^{-1})}$;
- Обратное значение произведения двух квадратных обратимых матриц $A$ и $B$ равно произведению двух обратных им матриц: $(A \cdot B)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$;
- Обратная матрица транспонированной матрицы равна транспонированной обратной матрице: $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$;
- Единичная обратная матрица равна единичной матрице: $E = E^{-1}$;
- Обратная матрица матрицы $A$, умноженной на коэффициент $k$, не равный нулю, равна произведению обратной матрицы $A^{-1}$ и обратного значения коэффициента $k$:
$(k \cdot A)^{-1} = k^{-1} A^{-1}$.
Нахождение обратной матрицы методом Гаусса
Получение обратной матрицы методом Гаусса относится к одному из точных (прямых) методов.
Алгоритм для поиска и нахождения обратной матрицы $A$ методом Гаусса:
$A = \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 \\ 3 & 5 \\ \end{array} \right)$
Сначала записывается матрица, от которой необходимо найти обратную, а рядом с ней через черту записывается единичная диагональная матрица того же размера, вот так:
$ \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) $.
Теперь с помощью метода Гаусса находим верхнюю треугольную матрицу. Для этого, сначала, как правило, либо необходимо разделить верхнюю строку на её старший коэффициент, либо поменять верхнюю строку местами с какой-либо другой, у которой первый коэффициент равен единице, в нашем случае просто меняем местами верхнюю и нижнюю строки:
$ \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) $.
Теперь верхнюю строку умножаем на $3$ и вычитаем из нижней:
$ \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -3 \\ \end{array} \right) $.
Теперь для получения единичной диагонали нужно обнулить элементы, находящиеся справа сверху, также эта часть метода зовётся методом Жордана-Гаусса. Для этого верхнюю строку складываем с нижней, умноженной на $2$:
$ \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 2 & -5 \\ 0 & -1 & 1 & -3 \\ \end{array} \right) $.
Делим нижнюю строку на $-1$, получаем:
$ \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 2 & -5 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ \end{array} \right) $.
Обратная исходной матрица будет:
$ \left( \begin{array}{cc|cc} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{array} \right) $.
Найти обратную матрицу методом Гаусса.
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 0.5 \end{array} \right) $
Запишем нашу матрицу рядом с единичной:
$A = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 5 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $
Теперь найдём верхнюю треугольную матрицу, для этого сначала из средней строчки вычтем удвоенную верхнюю:
$A = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $.
Вычитаем из верхней строчки удвоенную вторую, а из третьей строчки просто вторую строку:
$A = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 7 & 5 & -2 & 0\\ 0 & 1 & -2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2frac{1}{2} & 2 & -1 & 1 \end{array} \right) $.
Делим нижнюю строчку на $2\frac{1}{2}$:
$A = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 7 & 5 & -2 & 0\\ 0 & 1 & -2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0.8 & -0.4 & 0.4 \end{array} \right) $.
Теперь обнуляем элементы, находящиеся выше главной диагонали, для этого вычитаем из верхней строки третью, умноженную на $7$, а к средней строке добавляем третью, помноженную на $2$:
$A = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -0.6 & 0.8 & -2.8\\ 0 & 1 & 0 & -0.4 & 0.2 & 0.8 \\ 0 & 0 & 1 & 0.8 & -0.4 & 0.4 \end{array} \right) $.
Обратная исходной матрице равна:
$A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} -0.6 & 0.8 & -2.8\\ -0.4 & 0.2 & 0.8 \\ 0.8 & -0.4 & 0.4 \end{array} \right) $.
