Нахождение обратной матрицы методом Гаусса

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Обратной матрицей матрицы $A$ называют такую матрицу $A^{-1}$ , при умножении которой на исходную матрицу в качестве результата получается единичная диагональная матрица $E$ , то есть матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а вокруг нули.

$A \cdot A^{-1} = E$

Обратные матрицы существуют только для квадратных и невырожденных матриц.

Квадратная матрица – это матрица, у которой количество строк и столбцов одинаково.

Вырожденной называют квадратную матрицу, определитель которой $det(A)$ равен нулю.

Свойства обратных квадратных невырожденных матриц

Определитель матрицы $A$ равен обратному значению определителя для матрицы $A^{-1}$ : $det(A) = \frac {1}{det(A^{-1})}$ ;
Обратное значение произведения двух квадратных обратимых матриц $A$ и $B$ равно произведению двух обратных им матриц: $(A \cdot B)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$ ;
Обратная матрица транспонированной матрицы равна транспонированной обратной матрице: $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ ;
Единичная обратная матрица равна единичной матрице: $E = E^{-1}$ ;
Обратная матрица матрицы $A$ , умноженной на коэффициент $k$ , не равный нулю, равна произведению обратной матрицы $A^{-1}$ и обратного значения коэффициента $k$ :

$(k \cdot A)^{-1} = k^{-1} A^{-1}$ .

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса

Получение обратной матрицы методом Гаусса относится к одному из точных (прямых) методов.

Пример 1

Алгоритм для поиска и нахождения обратной матрицы $A$ методом Гаусса:

$A = \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 \\ 3 & 5 \\ \end{array} \right)$

Сначала записывается матрица, от которой необходимо найти обратную, а рядом с ней через черту записывается единичная диагональная матрица того же размера, вот так:

$\left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$ .

Теперь с помощью метода Гаусса находим верхнюю треугольную матрицу. Для этого, сначала, как правило, либо необходимо разделить верхнюю строку на её старший коэффициент, либо поменять верхнюю строку местами с какой-либо другой, у которой первый коэффициент равен единице, в нашем случае просто меняем местами верхнюю и нижнюю строки:

$\left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 0 \\ \end{array} \right)$ .

Теперь верхнюю строку умножаем на $3$ и вычитаем из нижней:

$\left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -3 \\ \end{array} \right)$ .

Теперь для получения единичной диагонали нужно обнулить элементы, находящиеся справа сверху, также эта часть метода зовётся методом Жордана-Гаусса. Для этого верхнюю строку складываем с нижней, умноженной на $2$ :

$\left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 2 & -5 \\ 0 & -1 & 1 & -3 \\ \end{array} \right)$ .

Делим нижнюю строку на $-1$ , получаем:

$\left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 2 & -5 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ \end{array} \right)$ .

Обратная исходной матрица будет:

$\left( \begin{array}{cc|cc} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\ \end{array} \right)$ .

«Нахождение обратной матрицы методом Гаусса» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 2

Найти обратную матрицу методом Гаусса.

$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 0.5 \end{array} \right)$

Запишем нашу матрицу рядом с единичной:

$A = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 5 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Теперь найдём верхнюю треугольную матрицу, для этого сначала из средней строчки вычтем удвоенную верхнюю:

$A = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$ .

Вычитаем из верхней строчки удвоенную вторую, а из третьей строчки просто вторую строку:

$A = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 7 & 5 & -2 & 0\\ 0 & 1 & -2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2frac{1}{2} & 2 & -1 & 1 \end{array} \right)$ .

Делим нижнюю строчку на $2\frac{1}{2}$ :

$A = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 7 & 5 & -2 & 0\\ 0 & 1 & -2 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0.8 & -0.4 & 0.4 \end{array} \right)$ .

Теперь обнуляем элементы, находящиеся выше главной диагонали, для этого вычитаем из верхней строки третью, умноженную на $7$ , а к средней строке добавляем третью, помноженную на $2$ :

$A = \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -0.6 & 0.8 & -2.8\\ 0 & 1 & 0 & -0.4 & 0.2 & 0.8 \\ 0 & 0 & 1 & 0.8 & -0.4 & 0.4 \end{array} \right)$ .