Обратная матрица -- это матрица $A^{-1} $, для которой выполняется следующее равенство $A^{-1} \cdot A=A\cdot A^{-1} =E$.
Обратную матрицу можно определить только для невырожденной матрицы.
Невырожденная матрица -- это матрица, для которой определитель отличен от нуля. В случае, если определитель равен нулю, имеем вырожденную матрицу.
Обратная матрица для матрицы $A=\left(a_{ij} \right)_{n\times n} $ вычисляется по следующей формуле
\[A^{-1} =\frac{1}{\det A} \cdot \left(\begin{array}{cccc} {A_{11} } & {A_{12} } & {...} & {A_{1n} } \\ {A_{21} } & {A_{22} } & {...} & {A_{2n} } \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ {A_{n1} } & {A_{n2} } & {...} & {A_{nn} } \end{array}\right)^{T} =\frac{1}{\det A} \cdot \left(\begin{array}{cccc} {A_{11} } & {A_{21} } & {...} & {A_{n1} } \\ {A_{12} } & {A_{22} } & {...} & {A_{n2} } \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ {A_{1n} } & {A_{2n} } & {...} & {A_{nn} } \end{array}\right),\]где $A_{ij} =(-1)^{i+j} M_{ij} $ - алгебраическое дополнение к элементу $a_{ij} $.
Дана матрица: $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right)$. Обратить матрицу А, используя формулу.
Решение:
\[\begin{array}{l} {\det A=\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3\cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0} \end{array}\] \[A_{11} =(-1)^{1+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {2} & {0} \end{array}\right|=0-2=-2; A_{12} =(-1)^{1+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {-1} & {1} \\ {3} & {0} \end{array}\right|=-(0-3)=3;\] \[A_{13} =(-1)^{1+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {-1} & {2} \\ {3} & {2} \end{array}\right|=-2-6=-8; A_{21} =(-1)^{2+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {0} & {3} \\ {2} & {0} \end{array}\right|=-(0-6)=6; \] \[A_{22} =(-1)^{2+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {3} & {0} \end{array}\right|=0-9=-9; A_{23} =(-1)^{2+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {3} & {2} \end{array}\right|=-(2-0)=-2;\] \[A_{31} =(-1)^{3+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {0} & {3} \\ {2} & {1} \end{array}\right|=0-6=-6; A_{32} =(-1)^{3+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {-1} & {1} \end{array}\right|=-(1+3)=-4;\] \[A_{33} =(-1)^{3+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {-1} & {2} \end{array}\right|=2-0=2\]Искомая обратная матрица:
\[A^{-1} =\frac{1}{-26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {-2} & {6} & {-6} \\ {3} & {-9} & {-4} \\ {-8} & {-2} & {2} \end{array}\right)=\frac{1}{26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {2} & {-6} & {6} \\ {-3} & {9} & {4} \\ {8} & {2} & {-2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{2}{26} } & {\frac{-6}{26} } & {\frac{6}{26} } \\ {\frac{-3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{4}{26} } \\ {\frac{8}{26} } & {\frac{2}{26} } & {\frac{-2}{26} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right).\]При обращении матрицы 2-го порядка удобно пользоваться следующей формулой:
\[A^{-1} =\left(\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right)^{-1} =\frac{1}{\det A} \cdot \left(\begin{array}{cc} {a_{22} } & {-a_{12} } \\ {-a_{21} } & {a_{11} } \end{array}\right).\]Дана матрица: $A=\left(\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right)$. Обратить матрицу А.
Решение:
\[\det A=1\cdot 4-3\cdot 2=4-6=-2\ne 0\] \[A^{-1} =\frac{1}{-2} \cdot \left(\begin{array}{cc} {4} & {-2} \\ {-3} & {1} \end{array}\right)=\frac{1}{2} \cdot \left(\begin{array}{cc} {-4} & {2} \\ {3} & {-1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {-2} & {1} \\ {\frac{3}{2} } & {-\frac{1}{2} } \end{array}\right)\]Перечислим свойства обратной матрицы:
- $\det A^{-1} =\frac{1}{\det A} $;
- $(A\cdot B)^{-1} =B^{-1} \cdot A^{-1} $;
- $(A^{T} )^{-1} =(A^{-1} )^{T} $;
- $(k\cdot A)^{-1} =k^{-1} \cdot A^{-1} \, \, (k\ne 0)$;
- $E^{-1} =E$.
Для нахождения обратной матрицы для данной матрицы можно использовать метод Гаусса. Алгоритм метода Гаусса включает следующие шаги:
- Построение вспомогательной матрицы путем приписывания к столбцам исходной матрицы столбцы единичной матрицы того же порядка.
- С помощью выполнения элементарных преобразований привести правую часть матрицы к единичной.
- Матрица в правой части, полученная в результате элементарных преобразований, является искомой обратной матрицей.
Дана матрица: $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right)$. Обратить матрицу А, используя метод Гаусса.
Решение:
Построим вспомогательную матрицу:
\[M=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right. \right)\]Выполним элементарные преобразования:
Сложим первую и вторую строки матрицы. Затем первую строку умножим на -3 и сложим с третьей строкой:
\[M=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {2} & {4} \\ {0} & {2} & {-9} \end{array}\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {1} & {1} & {0} \\ {-3} & {0} & {1} \end{array}\right. \right)\]Вторую строку умножим на -1 и сложим с третьей строкой:
\[M=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {2} & {4} \\ {0} & {0} & {-13} \end{array}\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {1} & {1} & {0} \\ {-4} & {-1} & {1} \end{array}\right. \right)\]Разделим вторую строку на 2:
\[M=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {2} \\ {0} & {0} & {-13} \end{array}\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } & {0} \\ {-4} & {-1} & {1} \end{array}\right. \right)\]Умножим третью строку на $\frac{3}{13} $ и сложим с первой строкой:
\[M=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {2} \\ {0} & {0} & {-13} \end{array}\left|\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } & {0} \\ {-4} & {-1} & {1} \end{array}\right. \right)\]Разделим третью строку на -13:
\[M=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {2} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\left|\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {\frac{1}{2} } & {\frac{1}{2} } & {0} \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right. \right)\]Умножим третью строку на -2 и сложим со второй строкой:
\[M=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\left|\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right. \right)\]Запишем искомую обратную матрицу:
\[A^{-1} =\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right)\]
