Минор и алгебраическое дополнение

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Для квадратной матрицы в теории матриц вводятся понятия «минор элемента» и «алгебраическое дополнение».

Определение 1

Минор $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A=\left(a_{ij} \right)_{n\times n}$ - это определитель матрицы, которая образована после вычеркивания из исходной матрицы строки с номером $i$ и столбца с номером $j$ .

Пример 1

Выписать и вычислить миноры элементов $a_{11}$ и $a_{22}$ матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {9} & {-2} \\ {0} & {-3} & {2} \\ {1} & {3} & {4} \end{array}\right)$ .

Решение:

$M_{11} =\left|\begin{array}{cc} {-3} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right|=-3\cdot 4-3\cdot 2=-12-6=-18;$

$M_{22} =\left|\begin{array}{cc} {1} & {-2} \\ {1} & {4} \end{array}\right|=1\cdot 4-1\cdot (-2)=4+2=6.$

Определение 2

Алгебраическое дополнение $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A=\left(a_{ij} \right)_{n\times n}$ определяется следующей формулой:

$A_{ij} =(-1)^{i+j} \cdot M_{ij} ,$

где $M_{ij}$ - минор соответствующего элемента матрицы.

Пример 2

Найти алгебраические дополнения элементов $a_{11}$ и $a_{22}$ матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {9} & {-2} \\ {0} & {-3} & {2} \\ {1} & {3} & {4} \end{array}\right)$ .

Решение:

$A_{11} =(-1)^{1+1} \cdot M_{11} =1\cdot \left|\begin{array}{cc} {-3} & {2} \\ {3} & {4} \end{array}\right|=-3\cdot 4-3\cdot 2=-12-6=-18;$

$A_{22} =(-1)^{2+2} \cdot M_{22} =1\cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {-2} \\ {1} & {4} \end{array}\right|=1\cdot 4-1\cdot (-2)=4+2=6.$

Для прямоугольной матрицы вводится понятие «минор k-го порядка».

«Минор и алгебраическое дополнение» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Определение 3

Минор k-го порядка матрицы $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ - это определитель матрицы, которая образована из исходной матрицы путем выписывания элементов, находящихся на пересечении k строк и k столбцов.

Схема формирования минора 3-го порядка изображена на рисунке.

Схема формирования минора 3-го порядка

Пример 3

Найти миноры 1-го и 2-го порядков матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {9} & {-2} \\ {0} & {-3} & {2} \\ {1} & {3} & {4} \end{array}\right)$ .

Решение:

$M=\left|1\right|=1$ (пересечение первой строки с первым столбцом);

$M=\left|\begin{array}{cc} {1} & {9} \\ {1} & {3} \end{array}\right|=1\cdot 3-1\cdot 9=3-9=-6$ (пересечение первой и третьей строк с первым и вторым столбцами).

Из примера видно, что миноры первого порядка совпадают с элементами исходной матрицы.

Определение 4

Главный минор -- это минор k-го порядка матрицы $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ , в котором на главной диагонали расположены только элементы главной диагонали исходной матрицы.

Пример 4

Найти главные миноры 2-го порядков матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {9} & {-2} \\ {0} & {-3} & {2} \\ {1} & {3} & {4} \end{array}\right)$ .

Решение:

$M=\left|\begin{array}{cc} {1} & {9} \\ {0} & {-3} \end{array}\right|=1\cdot (-3)-0\cdot 9=-3$ (пересечение первой и второй строки, первого и второго столбца).

$M=\left|\begin{array}{cc} {1} & {-2} \\ {1} & {4} \end{array}\right|=1\cdot 4-1\cdot (-2)=4+2=6$ (пересечение первой и третьей строки, первого и третьего столбца).

Определение 5

Базисный минор k-го порядка матрицы $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ - это такой не равный нулю минор, что все миноры порядка выше k обращаются в ноль.

Пример 5

Найти базисный минор 2-го порядка матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {-2} \\ {0} & {0} & {2} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)$ .

Решение:

$M=\left|\begin{array}{cc} {1} & {-2} \\ {0} & {2} \end{array}\right|=1\cdot 2-0\cdot (-2)=2-0=2$ (пересечение первой и второй строки, первого и третьего столбца).

Любой минор 3-го порядка совпадает с исходной матрицей. Так как матрица имеет нулевой столбец, то ее определитель равен нулю. Следовательно, найденный минор является базисным.

Определение 6

Дополнительный минор (n-k)-го порядка матрицы $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ - это такой минор, элементы которого выписаны из исходной матрицы после вычеркивания строк и столбцов, содержащих минор М.

Пример 6

Найти дополнительный минор для минора 2-го порядка матрицы $A=\left(\begin{array}{cccc} {1} & {2} & {0} & {-3} \\ {4} & {2} & {1} & {-5} \\ {0} & {2} & {-1} & {3} \\ {0} & {1} & {0} & {3} \end{array}\right)$ .

Решение:

$M=\left|\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {4} & {2} \end{array}\right|=1\cdot 2-4\cdot 2=2-8=-6$ (пересечение первой и второй строки, первого и второго столбца).