Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения

Рассмотрим теперь понятие рационального неравенства.

Определение 1

Уравнение, в котором неизвестная величина находится под радикалами или в дробных степенях будем называть иррациональным.

Здесь надо всегда помнить о том, что не под любым корнем может быть отрицательное число. В связи с этим здесь будет появляться понятие области определения уравнения (ООУ). Оно заключается в том, что под корнями с четными степенями не может быть отрицательных величин.

Решение классических иррациональных уравнений заключается в следующем: Вначале мы находим ООУ, с помощью простейших преобразований приводим уравнение к виду nP(x)=nQ(x). Возводим в n-ю степень и находим корни получившегося уравнения. Выкидываем корни, не попадающие в ООУ.

Пример решения иррационального уравнения

Пример 1

Решить

5x24x+45x2=2

Решение.

Применяя формулу квадрата суммы, получим:

5(x2)25x22=0

Так как степень корня нечетна, то нам здесь не требуется нахождения ООУ.

Сделаем замену 5x2=t, получим

t2t+2=0

Это уравнение имеет своими корнями числа 1 и 2.

Получим два уравнения:

5x2=1 и 5x2=2

x2=1 и x2=32

x=1 и x=30

Ответ: 1 и 30.

Иррациональные неравенства

Рассмотрим теперь понятие иррационального неравенства.

Определение 2

Неравенство, которое имеет вид nP(x)>()nQ(x) будем называть иррациональным неравенством.

Чаще всего неравенства решаются методом промежутков (интервалов). В основе этого метода лежит следующее рассуждение.

«Иррациональные уравнения и неравенства» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Пусть нам дана функция f(x)=(xn)(xm)(xl)(xk), причем $n

x(,n): Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)

Четыре минуса, в общем, нам дадут плюсовое значение, то есть f(x)>0.

x(n,m):

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)>0,(x-m)

Три минуса, в общем, нам дадут минусовое значение, то есть $f(x)

x(m,l):

Используя неравенство (1) будем получать:

(xn)>0,(xm)>0,(xl)0.

x(l,k):

Используя неравенство (1) будем получать:

$(x-n)>0,(x-m)>0,(x-l)>0,(x-k)

Один минус дает нам минусовое значение, то есть $f(x)

x(k,+):

Используя неравенство (1) будем получать:

(xn)>0,(xm)>0,(xl)>0,(xk)>0.

Все плюсы нам дадут плюсовое значение, то есть f(x)>0

Это рассуждение можно иллюстрировать на числовой прямой (рис. 1).

рис. 1

Эта иллюстрация называется кривой знаков и используется для решения рациональных и других неравенств q(x)>()0 методом промежутков.

Замечание 1

На самом деле знаки на такой кривой не всегда чередуются. К примеру такое может быть при наличии в уравнение квадратного множителя.

Суммируя, получим:

Метод промежутков (интервалов)

  1. Вначале необходимо найти все корни уравнения q(x)=0 и значения, в которых область определения имеет разрыв.
  2. И всех полученных в пункте 1 числовых значений составляем кривую знаков для данного уравнения.
  3. Записываем ответ из кривой знаков, с учетом знака неравенства.

Пример решения иррационального неравенства методом промежутков

Пример 2

Решить

4z18z+5

Решение.

Найдем ООУ:

z10 и z+50

z1 и z5

ООУ: [1,).

Решим для начала следующее уравнение и найдем точки разрыва ее области определения:

4z18z+5=0

4z1=8z+5

z22z+1=z+5

z23z4=0

Корни: z=1 и z=4

Изобразим все полученные точки и ООУ на числовой прямой и построим кривую знаков:

Так как у нас знак неравенства «меньше или равно», то нам нужно выбрать промежуток со знаком минус.

Ответ: [1,4].

Дата последнего обновления статьи: 17.06.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Иррациональные уравнения и неравенства"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant