Иррациональные уравнения
Рассмотрим теперь понятие рационального неравенства.
Уравнение, в котором неизвестная величина находится под радикалами или в дробных степенях будем называть иррациональным.
Здесь надо всегда помнить о том, что не под любым корнем может быть отрицательное число. В связи с этим здесь будет появляться понятие области определения уравнения (ООУ). Оно заключается в том, что под корнями с четными степенями не может быть отрицательных величин.
Решение классических иррациональных уравнений заключается в следующем: Вначале мы находим ООУ, с помощью простейших преобразований приводим уравнение к виду n√P(x)=n√Q(x). Возводим в n-ю степень и находим корни получившегося уравнения. Выкидываем корни, не попадающие в ООУ.
Пример решения иррационального уравнения
Решить
5√x2−4x+4−5√x−2=2
Решение.
Применяя формулу квадрата суммы, получим:
5√(x−2)2−5√x−2−2=0
Так как степень корня нечетна, то нам здесь не требуется нахождения ООУ.
Сделаем замену 5√x−2=t, получим
t2−t+2=0
Это уравнение имеет своими корнями числа −1 и −2.
Получим два уравнения:
5√x−2=−1 и 5√x−2=−2
x−2=−1 и x−2=−32
x=1 и x=−30
Ответ: 1 и −30.
Иррациональные неравенства
Рассмотрим теперь понятие иррационального неравенства.
Неравенство, которое имеет вид n√P(x)>(≥)n√Q(x) будем называть иррациональным неравенством.
Чаще всего неравенства решаются методом промежутков (интервалов). В основе этого метода лежит следующее рассуждение.
Пусть нам дана функция f(x)=(x−n)(x−m)(x−l)(x−k), причем $n
x∈(−∞,n): Используя неравенство (1) будем получать:
$(x-n)
Четыре минуса, в общем, нам дадут плюсовое значение, то есть f(x)>0.
x∈(n,m):
Используя неравенство (1) будем получать:
$(x-n)>0,(x-m)
Три минуса, в общем, нам дадут минусовое значение, то есть $f(x)
x∈(m,l):
Используя неравенство (1) будем получать:
(x−n)>0,(x−m)>0,(x−l)0.
x∈(l,k):
Используя неравенство (1) будем получать:
$(x-n)>0,(x-m)>0,(x-l)>0,(x-k)
Один минус дает нам минусовое значение, то есть $f(x)
x∈(k,+∞):
Используя неравенство (1) будем получать:
(x−n)>0,(x−m)>0,(x−l)>0,(x−k)>0.
Все плюсы нам дадут плюсовое значение, то есть f(x)>0
Это рассуждение можно иллюстрировать на числовой прямой (рис. 1).
Эта иллюстрация называется кривой знаков и используется для решения рациональных и других неравенств q(x)>(≥)0 методом промежутков.
На самом деле знаки на такой кривой не всегда чередуются. К примеру такое может быть при наличии в уравнение квадратного множителя.
Суммируя, получим:
Метод промежутков (интервалов)
- Вначале необходимо найти все корни уравнения q(x)=0 и значения, в которых область определения имеет разрыв.
- И всех полученных в пункте 1 числовых значений составляем кривую знаков для данного уравнения.
- Записываем ответ из кривой знаков, с учетом знака неравенства.
Пример решения иррационального неравенства методом промежутков
Решить
4√z−1≤8√z+5
Решение.
Найдем ООУ:
z−1≥0 и z+5≥0
z≥1 и z≥−5
ООУ: [1,∞).
Решим для начала следующее уравнение и найдем точки разрыва ее области определения:
4√z−1−8√z+5=0
4√z−1=8√z+5
z2−2z+1=z+5
z2−3z−4=0
Корни: z=−1 и z=4
Изобразим все полученные точки и ООУ на числовой прямой и построим кривую знаков:
Так как у нас знак неравенства «меньше или равно», то нам нужно выбрать промежуток со знаком минус.
Ответ: [1,4].