Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$ в данной области.
Обозначение: $z=f(x,y)$.
Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.
Так как переменные $(x,y)$ являются независимыми, то одна из них может изменяться, а другая при этом сохранять постоянное значение.
Дадим переменной $x$ приращение $\Delta x$, при этом сохраним значение переменной $y$ неизменным.
Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $x$.
Обозначение:
\[\Delta _{x} z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\]Частная производная по переменной $x$ от заданной функции $z=f(x,y)$ - это предел отношения частного приращения $\Delta _{x} z$ заданной функции к приращению $\Delta x$ при $\Delta x\to 0$.
Обозначение: $z'_{x} ,\, \, f'_{x} (x,y),\, \, \frac{\partial z}{\partial x} ,\, \, \frac{\partial f}{\partial x} $.
По определению частной производной имеем:
\[\frac{\partial z}{\partial x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta _{x} z}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x} .\]Дадим переменной $y$ приращение $\Delta y$, при этом сохраним значение переменной $x$ неизменным.
Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $y$.
Обозначение:
\[\Delta _{y} z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y).\]Частная производная по переменной $y$ от заданной функции $z=f(x,y)$ - это предел отношения частного приращения $\Delta _{y} z$ заданной функции к приращению $\Delta y$ при $\Delta y\to 0$.
Обозначение: $z'_{y} ,\, \, f'_{y} (x,y),\, \, \frac{\partial z}{\partial y} ,\, \, \frac{\partial f}{\partial y} $.
По определению частной производной имеем:
\[\frac{\partial z}{\partial y} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta y\to 0} \frac{\Delta _{y} z}{\Delta y} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta y\to 0} \frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y} .\]Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z)$.
Если для каждой совокупности $(x,y,z,...,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,...,t)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z,...,t)$.
Для функции от трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются частные производные по каждой из переменных:
-
$\frac{\partial w}{\partial z} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta z\to 0} \frac{\Delta _{z} w}{\Delta z} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta z\to 0} \frac{f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)}{\Delta z} $;
-
$\dots$ ;
-
$\frac{\partial w}{\partial t} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta _{t} w}{\Delta t} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} \frac{f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)}{\Delta t} $.
Рассматривая частные производные функции двух переменных, можно отметить, что они являются функциями от переменных $x$ и $y$.
В таком случае от каждой частной производной $z'_{x} $ и $z'_{y} $ можно по определениям, приведенным выше, найти частные производные по каждой переменной, которые называются частными производными второго порядка.
Обозначение:
-
$\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2} } =z''_{xx} =f''_{xx} (x,y)$;
-
$\frac{\partial ^{2} z}{\partial x\partial y} =z''_{xy} =f''_{xy} (x,y)$;
-
$\frac{\partial ^{2} z}{\partial y\partial x} =z''_{yx} =f''_{yx} (x,y)$;
-
$\frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2} } =z''_{yy} =f''_{yy} (x,y)$.
Пусть заданная функция $z=f(x,y)$ и ее частные производные 1-го порядка определены в некоторой точке $M(x,y)$ (включая некоторую окрестность точки) и непрерывны в ней. Тогда имеет место равенство:
$\frac{\partial ^{2} z}{\partial x\partial y} =\frac{\partial ^{2} z}{\partial y\partial x} $ ($z''_{xy} =z''_{yx} ;f''_{xy} (x,y)=f''_{yx} (x,y)$).
Определить частные производные 2-го порядка заданной функции:
\[z=x^{2} +y^{3} .\]Показать выполнение равенства теоремы.
Решение:
По определению частных производных 1-го порядка получим:
$\frac{\partial z}{\partial x} =(x^{2} +y^{3} )'_{x} =2x$ (по переменной $x$),
$\frac{\partial z}{\partial y} =(x^{2} +y^{3} )'_{y} =3y^{2} $ (по переменной $y$).
По определению частных производных 2-го порядка получим:
$\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2} } =(x^{2} +y^{3} )''_{xx} =2$ (по переменным $x$ и $x$),
$\frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2} } =(x^{2} +y^{3} )''_{yy} =6y$ (по переменным $y$ и $y$),
$\frac{\partial ^{2} z}{\partial x\partial y} =(x^{2} +y^{3} )''_{xy} =0$ (по переменным $x$ и $y$),
$\frac{\partial ^{2} z}{\partial y\partial x} =(x^{2} +y^{3} )''_{yx} =0$ (по переменным $y$ и $x$).
Так как
$\frac{\partial ^{2} z}{\partial x\partial y} =0$ и $\frac{\partial ^{2} z}{\partial y\partial x} =0$,
то
\[\frac{\partial ^{2} z}{\partial x\partial y} =\frac{\partial ^{2} z}{\partial y\partial x} .\]Частные производные 2-го порядка можно продифференцировать по каждой переменной и получить частные производные 3-го порядка.
Обозначение:
Определить частные производные 2-го порядка заданной функции:
\[z=x^{4} y^{3} +y^{3} e^{x} .\]Решение:
По определению частных производных 1-го порядка получим:
$\frac{\partial z}{\partial x} =(x^{4} y^{3} +y^{3} e^{x} )'_{x} =4x^{3} y^{3} +y^{3} e^{x} $ (по переменной $x$),
$\frac{\partial z}{\partial y} =(x^{4} y^{3} +y^{3} e^{x} )'_{y} =3y^{2} $ (по переменной $y$).
По определению частных производных 2-го порядка получим:
$\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2} } =(x^{4} y^{3} +y^{3} e^{x} )''_{xx} =12x^{2} y^{3} +y^{3} e^{x} $ (по переменным $x$ и $x$),
$\frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2} } =(x^{4} y^{3} +y^{3} e^{x} )''_{yy} =6y$ (по переменным $y$ и $y$),
$\frac{\partial ^{2} z}{\partial x\partial y} =(x^{4} y^{3} +y^{3} e^{x} )''_{xy} =12x^{3} y^{2} +3y^{2} e^{x} $ (по переменным $x$ и $y$),
$\frac{\partial ^{2} z}{\partial y\partial x} =(x^{4} y^{3} +y^{3} e^{x} )''_{yx} =0$ (по переменным $y$ и $x$).
По определению частных производных 3-го порядка получим:
\[\frac{\partial ^{3} z}{\partial x^{3} } =(12x^{2} y^{3} +y^{3} e^{x} )'_{x} =24xy^{3} +y^{3} e^{x} , \frac{\partial ^{3} z}{\partial y^{3} } =(6y)'_{y} =6,\] \[\frac{\partial ^{3} z}{\partial x\partial y\partial x} =(12x^{3} y^{2} +3y^{2} e^{x} )'_{x} =36x^{2} y^{2} +3y^{2} e^{x} , \frac{\partial ^{3} z}{\partial x\partial y^{2} } =(12x^{3} y^{2} +3y^{2} e^{x} )'_{y} =24x^{3} y+6ye^{x} ,\] \[\frac{\partial ^{3} z}{\partial y\partial x^{2} } =0, \frac{\partial ^{3} z}{\partial y\partial x\partial y} =0,\] \[\frac{\partial ^{3} z}{\partial x^{2} \partial y} =(12x^{2} y^{3} +y^{3} e^{x} )'_{y} =36x^{2} y^{2} +3y^{2} e^{x} , \frac{\partial ^{3} z}{\partial y^{2} \partial x} =(6y)'_{x} =0.\]Поочередно выполняя дифференцирование частных производных далее, можно получить частные производные порядка $n$.
Обозначение:
