Понятие целого выражения
Из определения, очевидно, что одночлены и многочлены являются также целыми выражениями. Не целыми являются выражения, которые содержат в своей записи деление на переменную.
Выражение $xy+\frac{3}{x+1}+4$ не является целым, так как в знаменателе содержит переменную $x$.
Основными преобразованиями целых выражений является представление в виде многочлена и разложение на множители. Чаще всего при этом используются формулы сокращенного умножения. Напомним основные из них:
-
$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$
-
${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$
-
${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$
-
$\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3$
-
$\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3+b^3$
Рассмотрим теперь две эти операции отдельно.
Представление в виде многочлена
Любое целое выражение можно представить в виде многочлена.
Напомним, что такое многочлен.
Многочлен - это сумма одночленов.
Рассмотрим пример.
$\left(1-n\right)\left(1-n^2\right)+\left(1+n\right)\left(1+n^2\right)-2n\left(n+1\right)(n-1)$
Используя формулу сокращения 1, получим:
\[\left(1-n\right)\left(1-n^2\right)+\left(1+n\right)\left(1+n^2\right)-2n\left(n+1\right)\left(n-1\right)=\] \[=\left(1-n\right)\left(1-n^2\right)+\left(1+n\right)\left(1+n^2\right)-2n(n^2-1)\]Далее будем раскрывать скобки:
\[\left(1-n\right)\left(1-n^2\right)+\left(1+n\right)\left(1+n^2\right)-2n\left(n^2-1\right)=\] \[=1-n^2-n+n^3+1+n^2+n+n^3-2n^3+2n=2+2n\]Получили многочлен стандартного вида.
Разложение на множители
Для того чтобы разложить многочлен на множители, применяют такие приемы, как вынесение общего множителя за скобки, а также применяют формулы сокращенного умножения.
Рассмотрим разложение на множители на примере:
Для начала сгруппируем первый член с третьим, а второй член с четвертым:
Из первой скобки вынесем $y^2$, а из второй $2$:
Применим первую формулу сокращенного умножения:
Вынесем за скобки выражение $(x-y)$
!!! Здесь стоит отметить, что не каждый многочлен можно разложить на множители.
Примеры задач на преобразование целых выражений
Представить в виде многочлена:
а) $\left(a-3\right)\left(a^2+9\right)\left(a+3\right){-({2a}^2-a)}^2-19$
б) $\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x+1\right){-(x^2-1)}^2-2\left(x^2-3\right)+x$
Решение:
а) Воспользуемся формулами 1 и 3 сокращенного умножения, получим:
\[\left(a-3\right)\left(a^2+9\right)\left(a+3\right){-({2a}^2-a)}^2-19=\] \[=\left(a^2-9\right)\left(a^2+9\right)-\left({4a}^4-4a^3+a^2\right)-19=\] \[=a^4-81-{4a}^4+4a^3-a^2-19=4a^3-{3a}^4-a^2-100\]б) Воспользуемся формулами 1 и 3 сокращенного умножения, получим:
\[\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x+1\right){-(x^2-1)}^2-2\left(x^2-3\right)+x=\] \[=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)-\left(x^4-2x^2+1\right)-2x^2+6+x=\] \[=x^4-1-x^4+2x^2-1-2x^2+6+x=4+x\]Разложить на множители:
а) $4ab+12b-4a-12$
б) $60+6xy-30y-12x$
в) $-xyz-5xz-4xy-20x$
г) $n^3+n^2m+n^2+nm$
Решение:
а) $4ab+12b-4a-12$
Вынесем из первых двух членов $4b$, а из вторых $-4$:
\[4ab+12b-4a-12=4b\left(a+3\right)-4\left(a+3\right)\]Вынесем за скобки $4\left(a+3\right)$:
\[4b\left(a+3\right)-4\left(a+3\right)=4\left(a+3\right)(b-1)\]б) $60+6xy-30y-12x$
Вынесем из первого и третьего членов $30$, а из второго и четвертого $6x$:
\[60+6xy-30y-12x=30\left(2-y\right)+6x(y-2)\]Вынесем за скобки $6\left(y-2\right)$:
\[30\left(2-y\right)+6x(y-2)=6\left(x-5\right)(y-2)\]в) $-xyz-5xz-4xy-20x$
Вынесем из первого и третьего членов $xy$, а из второго и четвертого $5x$:
\[-xyz-5xz-4xy-20x=xy\left(-z-4\right)+5x(-z-4)\]Вынесем за скобки $-x\left(z+4\right)$:
\[xy\left(-z-4\right)+5x\left(-z-4\right)=-x\left(z+4\right)(y+5)\]г) $n^3+n^2m+n^2+nm$
Вынесем из первого и третьего членов $n^2$, а из второго и четвертого $nm$:
\[n^3+n^2m+n^2+nm=n^2\left(n+1\right)+nm(n+1)\]Вынесем за скобки $n\left(n+1\right)$:
\[n^2\left(n+1\right)+nm\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)(n+m)\]
