В данной статье мы будем рассматривать понятие центральной симметрии в трехмерном пространстве. Случай центральной симметрии на плоскость был рассмотрен нами в другой статье.
Понятие движения
Перед тем, как ввести понятие движения в пространстве, надо ввести определение отображения пространства на себя.
Отображением пространства на себя будем называть такое соответствие любой точке данного пространства какой-либо точке этого же пространства, в котором участвуют все точки из этого пространства.
Введем теперь, непосредственно, определение движения.
Движением пространства будем называть отображением пространства на себя, которое сохраняется расстояния между соответствующими точками.
Пример – рисунок 1.
Введем теперь несколько теорем, связанных с понятием движения без доказательства.
При движении треугольник будет отображаться на равный ему же треугольник.
При движении пирамида будет отображаться на равную ей пирамиду.
Центральная симметрия
Перед тем, как определить понятие центральной симметрии, введем понятие симметричности точки относительно другой точки.
Точки $X$ и $X_1$ будем называть симметричными относительно какой-либо точки $O$, если эта точка $O$ будет являться центром отрезка $[XX_1]$ (рис. 2).
Центральной симметрией фигуры относительно точки будем называть отображение, при котором получается фигура, составленная из точек, симметричных относительно данной точки каждой точке начальной фигуры.
Введем следующую теорему:
Центральная симметрия – движение.
Доказательство.
Пусть нам даны две точки $Z$ и $Z'$ – симметричные относительно точки $O$. Построит систему координат $O_{xyz}$, где точка $O$ - ее центр. Пусть точка $Z$ в этой системе координат имеет координаты $(α,β,γ)$, а точка $Z'$ имеет координаты $(α',β',γ')$. Так как эти точки симметричны относительно начала координат (то есть начало координат, по определению 3, является серединой отрезка $[ZZ']$, то верны равенства
$\frac{α+α'}{2}=0$, $\frac{β+β'}{2}=0$, $\frac{γ+γ'}{2}=0$
то есть
$α=-α'$, $β=-β'$, $γ=-γ'$
Возьмем две произвольные точки $X$ и $Y$ с координатами $(α_1,β_1,γ_1)$ и $(α_2,β_2,γ_2)$, соответственно. Расстояние между ними равно
$d=\sqrt{(α_1-α_2)^2+(β_1-β_2)^2+(γ_1-γ_2)^2}$
По формулам выше, получим, что симметричные им точки $X'$ и $Y'$ имеют координаты $(-α_1,-β_1,-γ_1)$ и $(-α_2,-β_2,-γ_2)$, соответственно. Расстояние между ними равно
$d'=\sqrt{(-α_1+α_2 )^2+(-β_1+β_2 )^2+(-γ_1+γ_2 )^2}=\sqrt{(α_1-α_2)^2+(β_1-β_2)^2+(γ_1-γ_2)^2}=d$
То есть центральная симметрия сохраняет расстояния, что и доказывает нашу теорему.
С понятием центральной симметрии также связано понятие симметричной фигуры:
Фигуру будем называть симметричной относительно какой-то своей точки $O$, если при такой центральной симметрии фигура перейдет в себя (рис. 3).
Пример задачи
Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки $O$, изображенных на рисунке 4.
Решение.
Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку $O$ (рис. 5).
Далее, для построения будем использовать определение 3. Точка $A$ перейдет в такую точку $A'$, которая будет принадлежать прямой $(AO)$. Точка $B$ перейдет в такую точку $B'$, которая будет принадлежать прямой $(BO)$. Точка $C$ перейдет в такую точку $C'$, которая будет принадлежать прямой $(CO)$. Аналогично, и точка $D$ перейдет в такую точку $D'$, которая будет принадлежать прямой $(DO)$. Причем, при этом выполняются равенства:
$|AO|=|A'O|$, $|BO|=|B'O|$, $|CO|=|C'O|$, $|DO|=|D'O|$
Таким образом, центральная симметрия этого тетраэдра изображена на рисунке 6.
