Дисперсия и ее свойства

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Дисперсией $D\xi \,$ случайной величины $\xi$ называется математическое ожидание квадрата ее отклонения, то есть $D\xi =M(\xi -M\xi )^{2} \,$ (если соответствующее математическое ожидание существует).

Пользуясь свойствами математического ожидания случайной величины и преобразуем формулу:

то есть, получаем

Тогда дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:

$D\xi =\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{2} \cdot p_{i} -M^{2} \xi$ , если $\xi$ - дискретная случайная величина;

$D\xi =\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{2} \cdot \rho (x) dx-M^{2} \xi$ , если $\xi$ - непрерывная случайная величина.

Свойства дисперсии

$D\xi \ge 0\,$ для любой случайной величины $\xi$ .
$Dc=0\,$ , если $c=const\,$ .
$D(c\cdot \xi )=c^{2} \cdot D\xi \,$ , если $c=const\,$ .
$D(\xi \pm \eta )=D\xi +D\eta \,$ , если $\xi$ , $\eta$ - независимые случайные величины.

Применение на практике

Пример 1

В ящике среди $20$ деталей находится $8$ стандартных. Извлекается $3$ детали. Случайная величина $\xi$ - число нестандартных деталей в выборке. Требуется:

построить ряд распределения величины $\xi$ ;
найти функцию распределения $F_{\xi } (x)$ , построить ее график;
найти $M\xi$ , $D\xi$ .

Решение. Так как случайная величина $\xi$ -- число нестандартных деталей в выбранных $3-х$ деталях, то она может принимать только значения $0, 1, 2, 3$ . Составим ряд распределения (рис. 1) этой случайной величины

Рисунок 1.

$p_{1} +p_{2} +p_{3} +p_{4} =1\,$

Вычислим вероятности, входящие в ряд распределения:

$p_{1} =P(\xi =0)=\frac{C_{8}^{3} \cdot C_{12}^{0} }{C_{20}^{3} } =\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 3!}{3!\cdot 20\cdot 19\cdot 18} =\frac{14}{285} ;$

$p_{2} =P(\xi =1)=\frac{C_{8}^{2} \cdot C_{12}^{1} }{C_{20}^{3} } =\frac{8\cdot 7\cdot 12\cdot 3!}{2!\cdot 20\cdot 19\cdot 18} =\frac{84}{285} ;$

$p_{3} =P(\xi =2)=\frac{C_{8}^{1} \cdot C_{12}^{2} }{C_{20}^{3} } =\frac{8\cdot 12\cdot 11\cdot 3!}{2!\cdot 20\cdot 19\cdot 18} =\frac{132}{285} ;$

$p_{4} =P(\xi =3)=\frac{C_{8}^{0} \cdot C_{12}^{3} }{C_{20}^{3} } =\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 3!}{3!\cdot 20\cdot 19\cdot 18} =\frac{55}{285} .$

Ряд распределения (рис. 2) случайной величины $\xi$ имеет вид

Рисунок 2.

$\frac{14}{285} +\frac{84}{285} +\frac{132}{285} +\frac{55}{285} =1$

Найдем функцию распределения $F_{\xi } (x)\,$ . По определению имеем

\[F_{\xi } (x)=P(\xi Значения случайной величины

$\xi$ разбивают действительную ось на 5 интервалов. Будем фиксировать x в каждом из этих интервалов.

Пусть $x\le 0$ , тогда $F_{\xi } (x)=P(\xi

$0 \[F_{\xi } (x)=P(\xi$ 1 \[F_{\xi } (x)=P(\xi $2

$F_{\xi } (x)=P(\xi

$=P(\xi =0)+P(\xi =1)+P(\xi =2)=\frac{14}{285} +\frac{84}{285} +$

$\frac{132}{285} =\frac{230}{285} \, ;$

$x>3\,$ , тогда $F_{\xi } (x)=P(\xi

$\xi =3)=P(\xi =0)+P(\xi =1)+P(\xi =2)+$

$+P(\xi =3)=\frac{14}{285} +\frac{84}{285} +\frac{132}{285} +\frac{55}{285} =1\, .$

Окончательно получаем (рис. 3)

$F_{\xi } (x)=\left\{\begin{array}{l} {0,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }x\le 0;} \\ {14/285,{\rm \; \; \; \; }03.} \end{array}\right. \,$

Рисунок 3.

Найдем (по определению) математическое ожидание и дисперсию

$M\xi =\sum \limits _{i=1}^{4}x_{i} \cdot p_{i} =0\cdot \frac{14}{285} +1\cdot \frac{84}{285} +2\cdot \frac{132}{285} +3\cdot \frac{55}{285} =\frac{513}{285} =\,$

$=\frac{3\cdot 19\cdot 9}{3\cdot 19\cdot 5} =\frac{9}{5} =1,8\, ;$

$D\xi =\sum \limits _{i=1}^{4}x_{i} ^{2} \cdot p_{i} -M^{2} \xi =0\cdot \frac{14}{285} +1\cdot \frac{84}{285} +4\cdot \frac{132}{285} +9\cdot \frac{55}{285} -\,$

$-\left(\frac{9}{5} \right)^{2} =\frac{1107}{285} -\frac{81}{25} =\frac{3\cdot 41\cdot 9}{3\cdot 19\cdot 5} -\frac{81}{25} =\frac{41\cdot 9}{19\cdot 5} -\frac{81}{5\cdot 5} =\,$