Модель логистического роста - это математическая функция, которая в начальный период характеризуется увеличением роста, а на более поздней стадии, по мере приближения к максимуму – его снижением.
Сущность модели логистического роста
На данный момент одной из самых известных математических моделей является модель логистического роста. Модель логистического роста впервые была предложена бельгийским математиком Пьером Франсуа Ферхюльстом. Это произошло в 1838 году. По его мнению, данная модель могла быть использована для описания развития популяции (динамики народонаселения) в условиях ограниченных ресурсов питания.
В случае графического изображения модель логистического роста описывается S-образной кривой. Это говорит о том, что в начальный период происходит увеличение роста. Однако по мере приближения функции к своему максимуму рост снижается.
Иными словами, применяя модель логистического роста к описанию демографической ситуации (как это делал Ферхюльст), можно сказать, что в реальных условиях численность популяции после начального периода экспоненциального роста выходит на плато, которые характеризуется как стационарный режим, т. е. по мере увеличения численности линейно снижается мгновенная удельная скорость роста. В то же время нельзя игнорировать тот факт, что модель логистического роста не основана и не вытекает из особенностей самих организмов.
Однако описание изменения численности популяции S-образной кривой может быть оправдано в силу следующих черт, которые присущи популяции:
- во-первых, все особи могут быть одинаковыми, что соответствующим образом проявляется в одинаковой потребность, в одинаковом количестве ресурса, в одинаковых условиях относительно смертности и рождаемости;
- во-вторых, реакция на увеличение численности популяции (и, соответственно, увеличение плотности) со стороны особей должна быть мгновенной, следствием чего должно стать снижение рождаемости и увеличение смертности.
Логистическое уравнение как способ описания логистического роста
Для описания S-образной кривой было предложено достаточно большое количество уравнений. Но наибольшую известность приобрело логистическое уравнение, которое предложил сам Ферхюльст в 1838 году. В 1920 году это уравнение было переоткрыто независимо друг от друга американским биологом Раймондом Пирлом и американским биостатистиком Лоуэллом Ридом.
Логистическое уравнение обычно представляют в следующем виде (модель фактически сводится к дифференциальному уравнению):
dP / dt = r • P • (1 – P / K)
В данном случае используются следующие обозначения:
- P - это численность популяции;
- t - это время;
- r - это параметр, который характеризует скорость роста (размножения);
- K — это параметр, который характеризует поддерживающую емкость среды (т.е. максимально возможную численность популяции).
Если учесть лаг-эффект (т. е. запаздывание), то окажется, что модели логистического роста будет свойственен колебательный режим. В случае увеличения времени запаздывания и роста величины максимальной скорости роста (размножения) популяции произойдет увеличение амплитуды и частоты таких колебаний.
Использование моделей логистического роста для описания конкуренции
Модель логистического роста может быть использована экономистами в качестве основания для создания различных математических моделей, которые призваны описать состояние конкуренции на рынке. Это связано с тем, что модель логистического роста изначально предназначена для характеристики динамики численности популяции при ограниченных ресурсах. В подобных условиях (т. е. при ресурсном ограничении) функционируют предприятия, чья численность может измениться при усилении или ослаблении конкуренции.
Логистическое уравнение является математической моделью роста, который зависит от плотности. Данная модель описывают процесс внутривидовой конкуренции, при котором по мере увеличения численности особей усиливается ограничивающее действие ресурсов. Следствием этого является уменьшение удельной скорости роста популяции.
На основе логистического уравнения в 1925-1926 годах усилиями американского математика Альфреда Джеймса Лотки и итальянского математика Вито Вольтерра была построена модель межвидовой конкуренции. Данная модель является наиболее простым и с исторической точки зрения очень важным способом выявления основных факторов, которые определяют исход конкурентного взаимодействия двух видов.
На основе моделей логистического роста выделяют следующие потенциально возможные комбинации результатов конкурентной борьбы:
- сильный межвидовой конкурент побеждает слабого межвидового конкурента;
- если межвидовая конкуренция оказывается важнее, чем внутривидовая конкуренция, то исход первой зависит от начальной плотности вида;
- если межвидовая конкуренция оказывается слабее, чем внутривидовая конкуренция, то виды продолжают сосуществовать друг с другом.
Модель логистического роста и транспортная логистика
Математическая модель процесса изменения биомассы популяций, которой по сути является модель логистического роста, активно используется в рамках транспортной логистики. Современные логистические транспортные системы призваны удовлетворить возрастающие потребности общества в осуществлении грузовых и пассажирских перевозок с меньшими затратами.
Однако увеличивающиеся объемы транспортировок неблагоприятным образом сказываются на состоянии окружающей среды. А это, в свою очередь, способствует сдерживанию роста численности населения. Следовательно, интенсивно продолжающееся в настоящее время развитие транспортной логистики в некотором смысле тоже можно рассматривать как частный случай действия модели логистического роста.
