Элементы логического квадрата
Логический квадрат – это диаграмма, которая представляет отношения между базовыми категориальными пропозициями.
Авторство логического квадрата часто приписывают Аристотелю. Однако он не строил никаких схем; заслугой древнегреческого философа было разделение двух оппозиций: противоречия и противоположности. Теоретическую основу логического квадрата разработали Боэций и Абеляр, а современный логический квадрат построил византийский ученый Михаил Пселл.
Под пропозицией в традиционной логике понимают устное утверждение, а в современной философии логики и языка – значение утверждения.
Для понимания сути логического квадрата важно понятие категорического предложения.
Категорическим предложением называют простое предложение, в составе которого имеется два термина – субъект (S) и предикат (P), причем предикат может утверждаться или отрицаться относительно субъекта.
Все категориальные пропозиции сводятся к одной из четырех логических форм, называемых гласными буквами латинского алфавита – A, E, I, O (для утвердительных пропозиций A и I, входящие в латинское слово affirmo – подтверждаю, для отрицательных E и O, входящие в латинское слово nego – отрицаю):
- пропозиция A представляет собой универсальное утвердительное суждение: «Каждый S является P» («omne S est P»);
- пропозиция E представляет собой универсальное отрицание: «Ни один S не является P» («nullum S est P»);
- пропозиция I представляет собой частное утвердительное суждение: «Некоторые S являются P» («quoddam S est P»);
- пропозиция O представляет собой частное отрицание: «Некоторые S не являются P» («quoddam S non est P»).
Рисунок 1. Логический квадрат. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Правила логического квадрата
Основные отношение в логическом квадрате были описаны Аристотелем. Он утверждал, что между четырьмя разновидностями пропозиций имеются логические отношения: каждой пропозиции в соответствие ставится ровно одно отрицание, причем пропозиция с отрицанием противоположны (это значит, что всегда одна из них истинна, а другая ложна). Пару из утвердительной и отрицательной пропозиции он называет «противоречие». Например:
- «каждое яблоко красное» и «некоторые яблоки не красные»;
- «ни одно яблоко не красное» и «некоторые яблоки красные».
При этом субпротиворечия выступают в роли отрицания универсального утверждения (в средневековой логике они получили называние частных утверждений).
Следующая логическая оппозиция, прям не описанная Аристотелем, но подразумеваемая – это альтерация. Выделяют субальтерацию и суперальтерацию.
Под альтерацией понимают отношение между универсальной и конкретной пропозициями одного качества, при которой одно подразумевается другим.
Частное по отношению к универсальному является субальтерацией, а универсальное – суперальтерацией частного. Например, если верно, что «каждое яблоко красное», то противоположное «ни одно яблоко не красное» ложно. Следовательно, противоречивое утверждение «какое-то яблоко красное» истинно. Точно так же, если истинно универсальное «ни одно яблоко не красное», подразумевается истинность конкретного «не каждое яблоко красное» («некоторые яблоки не красные»).
Таким образом:
- универсальные пропозиции находятся в противоположности (контрарности) друг с другом. «Все треугольники маленькие» и «Ни один треугольник не маленький» не могут быть одновременно истинными. Возможно, что одна из этих пропозиций истинна, а другая ложна – или ложны одновременно обе из них (если бывают и маленькие, и большие треугольники);
- частные утверждения находятся в отношении субконтрарности (частичного совпадения). «Какой-то треугольник маленький» и «Какой-то треугольник не маленький» не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными или иметь разный истинностный статус;
- конкретная пропозиция одного качества – это субальтерация универсального утверждения того же качества, а универсальное утверждение – это суперальтерация частного утверждения того же качества. В аристотелевской семантике подразумевается, что истинность «каждый А есть В» автоматически влечет истинность «некоторый А есть В»; точно так же истинность «ни один А не является В» влечет истинность «некоторый А есть не В». Однако современная формальная интерпретация рассматривает утверждение «все А есть В» как «для любого х тот факт, что х является А подразумевает, что х является В» - это не означается, что вообще существуют х, являющиеся А. Однако подобная семантическая интерпретация не делает логику Аристотеля ошибочной;
- универсальное утвердительное находится во взаимном противоречии с частным отрицательным – и наоборот. Если некий А не является В, не может быть истинным утверждение о том, что каждый А является В. Если каждый А является В, не может быть истиной, что некий А не является В. Здесь также возникает дискуссия относительно интерпретации, принятой в современной семантике.
Далее приведены все варианты соотношений между истинностной характеристикой простых сравнимых суждений в рамках логического квадрата:
- Если суждение вида А является истинным, то также истинным является суждение вида I, а суждения вида Е и О являются ложными.
- Если суждение вида А ложно, то истинность суждения вида I не определена (т. е. суждение может быть как истинным, так и ложным). Также не определена истинность суждения вида Е, а суждение вида О является истинным. Например: ложно суждение «Все треугольники синие». Это может означать, что некоторые треугольники синие, а некоторые красные (E ложно, I и O истинны), а может означать, что все треугольники красные (E и O истинны, I ложно).
- Если Е истинно, то А ложно, I ложно, О истинно.
- Если Е ложно, то А неопределенно по истинности, I истинно, О неопределенно по истинности.
- Если I истинно, то А неопределенно по истинности, Е ложно, О неопределенно по истинности.
- Если I ложно, то А ложно, Е истинно, О истинно.
- Если О истинно, то А ложно, Е неопределенно по истинности, I неопределенно по истинности.
- Если О ложно, то А истинно, Е ложно, I истинно.
