Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа Законы Кирхгофа Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при постоянных и переменных напряжениях и токах Первый закон Кирхгофа Для любого узла цепи алгебраическая сумма токов равна нулю ± i = ∑ k Например: i1 i2 а i 3 Узел a: i1 − i2 − i3 = 0 i2 + i3 − i1 = 0 i2 + i3 = i1 Физически первый закон Кирхгофа – это закон непрерывности электрического тока Второй закон Кирхгофа Для любого контура цепи алгебраическая сумма падений напряжений на пассивных элементах равна алгебраической сумме напряжений на источниках тока и ЭДС Со знаком “+” принимаются те слагаемые, положительные направления которых совпадают с направлением обхода контура ∑ ±i R = ∑ ± e + ∑ ±u k k k Jk Например: i1 R1 + J u R2 e i2 Физически второй закон Кирхгофа характеризует u J равновесие напряжений в любом контуре цепи −i1R1 + i2 R2 = e + u − u J e + u − u J + i1R1 − i2 R2 = 0 Метод законов Кирхгофа n1 = n у − 1 n2 = nв − n1 Рассмотрим схему R1 R2 d I2 2к 1к R3 E1 a I1 R4 I3 I4 E2 R5 c b I5 3к J UJ Количество уравнений nу = 4 nв = 6 n1 = n у − 1 = 3 n2 = nв − n1 = 3 R1 R2 d 2к 1к По первому закону Кирхгофа I2 R3 E1 a I1 R4 I3 I4 E2 R5 c b I5 3к J UJ a: I1 − I 4 − J = 0 b : − I3 + I 4 + I5 = 0 c: I 2 − I5 + J = 0 R1 R2 d По второму E2 закону Кирхгофа I2 2к 1к R3 E1 a I1 R4 I3 I4 R5 c b I5 3к J UJ 1к : R1I1 + R3 I 3 + R4 I 4 = E1 2к : − R2 I 2 − R3 I 3 − R5 I 5 = − E2 3к : − R4 I 4 + R5 I 5 = U J В матричной форме I1 I 2 a 1 0  b 0 0  c 0 1 R 0 1к  1 2к 0 − R2  3к 0 0 I3 −1 R3 I4 I5 −1 0 1 1 0 −1 R4 0 UJ 0  I1   J     0 I2  0       0  I3  − J  ⋅  =   0  I4  E  1 − R3 0 − R5 0  I5  − E2      0 − R4 R5 −1 UJ   0  Пример в MathCad Теорема Телледжена Для любого момента времени сумма вырабатываемых мощностей источников равна сумме потребляемых мощностей во всех пассивных элементах рассматриваемой цепи ∑ ±e i + ∑ ±U k k или Jq J q = ∑ uni n PВ = PП Эта теорема является законом сохранения энергии в электрической цепи и применяется как баланс мощностей для проверки правильности расчетов Баланс мощностей Составим баланс мощностей для резистивной цепи с постоянными напряжениями и токами предыдущего примера Pв = Е1I1 + Е2 I 2 + U J J = ... Вт 2 1 1 2 2 2 3 2 4 2 5 Pп = I R + I R2 + I R3 + I R4 + I R5 = ... Вт Pв − Рп δр% = ⋅ 100 ≤ 3% Pв Пример в MathCad Свойства линейных цепей Свойства линейных цепей рассмотрим на примере резистивных цепей с постоянными напряжениями и токами, причем эти свойства могут быть доказаны при помощи законов Ома и Кирхгофа 1. Принцип наложения Ik = (n ) ∑ ± Ik Ток (напряжение) в любой ветви можно рассматривать как алгебраическую сумму составляющих от действия каждого источника в отдельности При этом со знаком “+” пишутся те составляющие, направления которых совпадает с направлением результирующих величин Метод наложения Метод наложения основывается на принципе наложения I к = ∑ ±I (n) к U к = ∑ ±U (n) к При этом для расчета составляющих токов и напряжений исходная схема разбивается на подсхемы, в каждой из которых действует один источник ЭДС или тока, причем остальные источники ЭДС закорочены, а ветви с остальными источниками тока разорваны 23 Пример R3 с R4 R2 I4 а Е2 Определить J в R1 Е1 I4 = ? d 24 а) подсхема с Е1 : с R3 R4 R2 I а (1) 4 R1 в Е1 I (1) 1 d 25 (1) 1 I = I E1 R2 R4 ( R1 + R3 ) + R2 + R4 (1) 4 (1) 1 =I R2 R2 + R4 26 б) подсхема с Е2 : R3 с R4 R2 (2) 4 I Е2 а в R1 d 27 I (2) 4 Е2 = R2 ( R1 + R3 ) R4 + R2 + ( R1 + R3 ) 28 в) подсхема с J : R3 с R4 R2 I а I (3) 4 J (3) 3 в R1 d 29 I (3) 3 =J I R1 R2 R4 ) R1 + ( R3 + R2 + R4 (3) 4 =I (3) 3 R2 R2 + R4 30 г) окончательный результат I 4 = ∑ ±I (n) 4 = −I (1) 4 +I (2) 4 −I (3) 4 31 2. Принцип взаимности I (m) n =I (n) m Перестановка единственного источника ЭДС из ветви m в ветвь n создает в ветви m ток, равный току в ветви n до перестановки источника Например: R2 R1 E R3 (1) I2 (1) I2 R2 R1 ( 2) I1 = ( 2) I1 R3 E По правилу разброса для первой схемы получим: E R3 I = ⋅ = R2 ⋅ R3 R R + 2 3 + R1 R2 + R3 1 2 Е ⋅ R3 = R1 ⋅ R2 + R2 ⋅ R3 + R1 ⋅ R3 34 Аналогично для второй схемы: E R3 ⋅ = I = R1 ⋅ R3 R + R 1 3 + R2 R1 + R3 " 1 Е ⋅ R3 = R1 ⋅ R2 + R2 ⋅ R3 + R1 ⋅ R3 Таким образом: 1 1 " 1 I =I 35 36 3. Свойство линейности y=ax+b где y и x - напряжения или токи, а, b - постоянные коэффициенты 37 При изменении в цепи одного параметра (ЭДС, ток источника тока, сопротивление резистивного элемента) между двумя токами (напряжениями) существует линейная зависимость Например: R2 R1 E1 R3 I2 E1 = var E2 I3 R2 E2 I3 = I2 + = aI 2 + b R3 R3 R2 a= R3 b= E2 R3