Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Формула интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид: , где и - две дифференцируемые функции. Применение этой формулы целесообразно в случаях, когда подынтегральное выражение представляет собой: 1. произведение многочлена на одну из следующих функций ; 2. произведение функций или на или ; 3. функцию вида . Существуют также некоторые специфические случаи, в которых применение других методов (например, метода подстановки) не дает эффекта. При использовании формулы интегрирования по частям необходимо разбить подынтегральную функцию на два сомножителя и руководствуясь правилом: за нужно обозначить ту часть подынтегрального выражения, которая сильнее упрощается при дифференцировании. Причем оставшееся выражение (принятое за ) должно легко интегрироваться. Рассмотрим типичные примеры: а) . Положим (т.к.существенно упрощается при дифференцировании), и (легко интегрируется). Тогда , . Применим формулу интегрирования по частям б) Положим (т.к.упрощается при дифференцировании, а табличного интеграла не имеет, значит, не принимается за ), и (легко интегрируется). Тогда , . Применим формулу интегрирования по частям 1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, и некоторые общие понятия При решении многих задач математики, физики и техники часто не удается установить непосредственную зависимость между иско­мыми и данными переменными величинами, но зато удается соста­вить уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такое уравнение называется дифферен­циальным. Решая его, находят зависимость уже между самими пе­ременными. Дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде независимую переменную и искомую функцию, но обя­зательно должно содержать одну или несколько производных иско­мой функции. Например, уравнения , (1) , (2) , (3) (4) будут дифференциальными уравнениями. Отметим, что производную функции у по переменной х мы будем обозначать либо , либо . Решением, или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция, подстановка которой в уравнение превращает его в тождество. С простейшим дифференциальным уравнением мы уже встреча­лись при решении задачи об отыскании первообразной функции. Действительно, если функция y=F(x) есть первообразная для функции f(x), то по определению первообразной (5) Уравнение (5), содержащее производную искомой функции, является простейшим дифференциальным уравнением. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение. Дифференциальное уравнение называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в уравнение в первой степени. Как мы увидим ниже, при нахождении решения дифференциаль­ного уравнения приходится в большинстве случаев выполнять операции интегрирования. Поэтому процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием диф­ференциального уравнения. Известно, что при интегрировании появляются некоторые произвольные постоянные, поэтому получаемая при решении дифференциального уравнения функция называется общим решением. Включение в задачу некоторых дополнительных условий позволяет конкретизировать значения этих постоянных и получить частное решение дифференциального уравнения. Рассмотрим некоторые простейшие дифференциальные уравнения первого порядка. Одними из них являются 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Это дифференциальные уравнения, которые после некоторых преобразований приводятся к виду: . (6) Интегрируя это уравнение, получаем: или , где . В некоторых случаях удается выразить из последних соотношений функцию в явном виде. Пример 1. Найти решение уравнения: . Представим данное дифференциальное уравнение в виде: . Разделив обе части на y умножив на dx, получим уравнение с разделяющимися переменными: . Проинтегрировав это уравнение, получаем: , или , где Отсюда . Потенцируя, получаем , или , или, окончательно, , где . Задание 1 Решить уравнение с разделяющимися переменными: , где значения a, f(x, y) определяются из таблицы. № a f(x,y) № a f(x,y) 1 ycos(1-2x) 16 (3x+1)lny y 2 cos2(3x+1) y+1 17 x2+x y 3 tgx y2sin2x 18 x+1 (y+1)x2 4 sinx y2(sinx+cosx) 19 x+1 (y+1)(x2-1) 5 y(x2+4) x 20 ey+1 6 1/x cos2(2y+1) 21 (x+1)ey 7 y lnx+1 22 - ysinx 8 x2-4 5xy3 23 y lnx+1 9 sin2(4x-3) 8y 24 x+1 x(y2+4) 10 e-2x xy2 25 x2+1 x(y+8) 11 e-x (x+1)y2 26 (y+2)( +1) 12 1 ysin2x 27 y x+1 13 x+1 (x+4)y 28 (+1)y 10(x-1) 14 xy (lnx+4) 29 (+1) y(x-1) 15 x (ln2x+8) 30 1 (y-1)tgx 3. Однородные уравнения Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно записать в виде , (7) где правая часть есть функция только от отношения переменных . Например, уравнение - од­нородное уравнение. Уравнение - также однородное, так как деля числитель и знаменатель правой части на x3, получим . В однородном уравнении (7) переменные, вообще говоря, не разделяются. Однако оно легко может быть преобразовано в урав­нение с разделяющимися переменными. С этой целью введем новую функцию z, положив z=y/x, или y=xz. Дифференцируя, находим . Подставляя последние выражения в уравнение (7), придадим ему вид . В полученном уравнении переменные разделяются. Действительно, , и предполагая, что , получаем . Выполняя интегрирование, получим . Вычисляя интеграл в правой части последнего равенства и возвращаясь к первоначаль­ному переменному у, получим общее решение однородного уравне­ния (7). Пример 2. Проинтегрировать уравнение . Решение. Запишем уравнение в виде , или . Делая подстановку , получаем , или . В полученном уравнении переменные разделяются: . Интегрируя, имеем , откуда где . Возвращаясь к функции у, получим . Задание 2 Решить однородные уравнения: 1. ; 16. ; 2. ; 17. ; 3. ; 18. ; 4. ; 19.; 5.; 20. ; 6. ; 21.; 7. ; 22.; 8. ; 23. ; 9. ; 24. ; 10. ; 25. ; 11. ; 26. ; 12. ; 27. ; 13. ; 28. ; 14. ; 29. ; 15. ; 30. . 4. Линейные уравнения Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде: , где — заданные функции. Предварительно отметим, что любую функцию y(x) можно представить в виде произведения двух функций, причем одну из них можно выбрать произвольно. Действительно, задавшись функцией p(x) всегда можно записать: y(x) = p(x)* y(x)/ p(x). Будем искать неизвестную функцию y в виде произведения двух функций u и v по формуле y=uv. Подставив это произведение в исходное уравнение, получим , или . (8) Выберем функцию v таким образом, чтобы выражение в квадратных скобках равнялось нулю ( как было сказано выше, одну из функций мы можем выбирать произвольно ). Это действие приводит к уравнению: , или . Интегрируя полученное уравнение с разделяющимися переменными и полагая равенство нулю произвольной постоянной, получим: , или . Уравнение (8) теперь принимает следующий вид: , или . Интегрируя полученное равенство, находим . Подставляя в формулу: y=uv, получаем искомую функцию. Пример 3. Найти общее решение уравнения: . Вводя обозначение: y=uv, получаем , или . Приравнивая квадратную скобку нулю, получаем уравнение: , или . Интегрируя, получим: , или . Тогда получаем: , или . Отсюда . Интегрируя по частям, получаем: Подставляя в формулу: y=uv, получаем искомую функцию: . При необходимости нахождения частного решения, например, при условии: y(0)=1, получаем: 1=С-1, откуда С=2. Тогда частное решение принимает вид: . Задание 3 Решить уравнение: a +by = f(x), где значения a, b, f(x) определяются из таблицы № a b f(x) № a b f(x) 1 x -1 x3+1 16 1 1/x sin5x 2 x2 -x x2+11 17 x2-1 -x 1 3 1 -сosx 5cosx 18 x2-1 2x cosx 4 1 2x 19 sinxcosx -1 sin3x 5 1 cosx sin2x 20 1 tgx cos2x 6 1 cosx e-sinx 21 1 -4 cosx 7 1 tgx sin2x 22 x 1 lnx+1 8 1 -tgx 3sin2x 23 x -1/(x+1) x 9 x 1 xsinx 24 1 -1/(1-x) x+1 10 x -1 x/lnx 25 4 2x 11 x -1 x2sinx 26 1 -3x2 x5+x2 12 x2 -1 27 1 -1/(x+2) x2+4x+5 13 x2+1 -x 1 28 x 1 ex 14 x2+1 -x x+1 29 x 1 x2ex 15 x2+1 x x(x2+1) 30 x2+1 2x 2x2