Вычисление двойных интегралов

2. Вычисление двойных интегралов Двойной интеграл вычисляется путем сведения его к повторному. Рассмотрим сначала двойной интеграл по прямоугольнику D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} со сторонами, параллельными осям координат (рис. 1.3). y 6 d r D c r r r a O - x b Рис. 1.3 Теорема 1. Пусть функция f (x, y) интегрируема в прямоугольнике D и для каждого Zd f (x, y)dy . Тогда имеет фиксированного x ∈ [a, b] существует определенный интеграл c место равенство Zb ZZ f (x, y)dxdy = dx a D Zd f (x, y)dy. (1) c В формуле (1) интегрирование сначала производится по y при постоянном x , а затем полученный результат интегрируется по x , т. е. последовательно вычисляются два определенных интеграла. Замечание 1. Если в теореме 2 поменять x и y ролями, то будет справедливо равенство ZZ Zd Zb f (x, y)dxdy = dy f (x, y)dx. (2) c D a Правые части в формулах (1) и (2) Zназываются повторными интегралами. Z Пример 1. Вычислить интеграл xy dxdy , где D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2} . РЕШЕНИЕ. По формуле (1) имеем ZZ Z1 xy dxdy = D D Z2 dx Z1 xy dy = 1 1 ¯2 y 2 ¯¯ x · ¯ dx = 2 1 Z1 · = ¯1 ¸ Z1 1 3 3 2 ¯¯ 3 2x − x dx = x dx = · x ¯ = . 2 2 4 4 Рассмотрим теперь случай криволинейной области. Пусть область D , лежащая в плоскости xOy , такова, что всякая прямая, параллельная координатной оси Oy (или Ox ) и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу этой области в двух точках. Такую область мы будем называть правильной в направлении оси Oy (или Ox ). Например, область, изображенная на (рис. 1.4), является правильной в направлении оси Oy . Область, правильную как в направлении оси Ox , так и в направлении оси Oy , мы будем называть просто правильной областью. Рис. 1.4. Теорема 2. Пусть функция f (x, y) относительно оси Oy области определена и интегрируема в правильной D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}, где ϕ1 (x) и ϕ2 (x) — непрерывные функции, причем ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x) при a ≤ x ≤ b (рис. 1.4). Пусть также для каждого x ∈ [a, b] существует определенный интеграл ϕZ2 (x) f (x, y)dy . Тогда имеет место равенство ϕ1 (x) ZZ Zb f (x, y)dxdy = dx a D ϕZ2 (x) f (x, y)dy. (3) ϕ1 (x) ZZ Пример 2. (x2 + y 2 ) dxdy по области D , ограниченной Вычислить интеграл линиями y = 0 , y = x2 , x = 1 . D 2 РЕШЕНИЕ. Область D снизу ограничена прямой y = 0 , а сверху — параболой y = x2 , 0 ≤ x ≤ 1 (рис. 1.5). По формуле (3) имеем ZZ Z1 (x2 + y 2 ) dxdy = D Z1 µ x6 x + 3 ¶ µ 4 = ¸¯y=x2 Zx2 Z1 · y 3 ¯¯ 2 2 2 dx (x + y )dy = dx = x y+ 3 ¯y=0 dx = ¶¯1 1 x5 x7 ¯¯ 1 26 = + + = . ¯ 5 21 0 5 21 105 y 6 r y = x2 H H D r O 1 - x Рис. 1.5 Может оказаться, что область D такова, что одну из функций y = ϕ1 (x) или y = ϕ2 (x) нельзя задать одним аналитическим выражением на всем промежутке [a, b] . Например, на рис. 1.6 ½ ψ(x) при a ≤ x ≤ c, ϕ1 (x) = χ(x) при c ≤ x ≤ b. Тогда повторный интеграл в формуле (3) записывается следующим образом Zb ϕZ2 (x) dx a ϕ1 (x) Zc ϕZ2 (x) dx f (x, y)dy = a Zb dx f (x, y)dy + c ψ(x) ϕZ2 (x) f (x, y)dy. χ(x) Здесь мы воспользовались свойством аддитивности двойного интеграла. А именно, первый интеграл в правой части последнего равенства представляет собой интеграл по области D1 = {(x, y) : a ≤ x ≤ c, ψ(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)} , а второй — по области D2 = {(x, y) : c ≤ x ≤ b, χ(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)} , и очевидно, что D1 и D2 не имеют общих внутренних точек. 3 Рис. 1.7. ZZ Пример 3. y dxdy, где D — треугольник, x Вычислить интеграл I = D ограниченный прямыми y = x/2 , y = 2x , x + y = 6 . РЕШЕНИЕ. Треугольник D изображен на рис. 1.7. Отрезком AB разделим D на два треугольника ∆1 и ∆2 . Тогда ZZ y dxdy = x I1 = = 1 x dx x ∆1 Z2 Z2 Z2x Z2 y dy = x/2 ¯2x dx y 2 ¯¯ · = x 2 ¯x/2 ¯2 µ ¶ Z2 Z2 ³ ´ 2 x x 15 15 x2 ¯¯ 15 2 2x − dx = 2x − dx = x dx = · ¯ = . 8 8 8 8 2 0 4 ZZ I2 = y dxdy = x = 1 x µ dx x 2 ∆2 Z4 Z4 x2 − 12x + 36 x2 − 2 8 ¯6−x Z6−x Z4 dx y 2 ¯¯ y dy = · = x 2 ¯x/2 ¶ Z4 µ dx = 2 3 = 8 2 x/2 18 x x −6+ − 2 x 8 ¶ dx = 2 Z4 Z4 x dx − 6 2 Z4 dx + 18 2 2 ¯4 3 x2 ¯¯ dx = · ¯ − 6x|42 + 18 ln |x| |42 = x 8 2 2 3 9 4 39 = (8 − 2) − 6(4 − 2) + 18(ln 4 − ln 2) = − 12 + 18 ln = 18 ln 2 − . 8 4 2 4 Следовательно, I = I1 + I2 = 15/4 + 18 ln 2 − 39/4 = 18 ln 2 − 6 . Рассмотрим теперь случай, когда область интегрирования D является правильной в направлении оси Ox . 4 Рис. 1.8. Теорема 3. Пусть функция f (x, y) относительно оси Ox области определена и интегрируема в правильной D = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)}, где ψ1 (y) и ψ2 (y) — непрерывные функции, причем ψ1 (y) ≤ ψ2 (y) при c ≤ y ≤ d (рис. 1.8). Пусть также для каждого y ∈ [c, d] существует определенный интеграл ψZ2 (y) f (x, y)dx . Тогда имеет место равенство ψ1 (y) Zd ZZ f (x, y)dxdy = ψZ2 (y) dy c D f (x, y)dx. (4) ψ1 (y) Пример 4. Вычислить интеграл ZZ y 2 dxdy, I= D где множество D ограничено линиями x = y 2 , y = x − 2 (рис. 1.9). РЕШЕНИЕ. В данном случае удобно применить формулу (4). Z2 Zy+2 2 I= y dy −1 Z2 −1 y2 Z2 Z2 y 2 (y + 2 − y 2 ) dy = · −1 y 2 dy · x|y+2 y2 = dx = ¸ 5 2 y 4 2y 3 y + − 4 3 5 µ = −1 1 4− 4 ¶ (y 3 + 2y 2 − y 4 ) dy = −1 + 5 µ 16 2 + 3 3 ¶ µ − 32 1 + 5 5 ¶ = 63 . 20 Рис. 1.9. Итак, для вычисления двойного интеграла его надо представить в виде повторного. Это можно сделать двумя способами: по формуле (3), если область интегрирования D является правильной в направлении оси Oy , либо по формуле (4) для области, правильной в направлении оси Ox . В случае, когда D — правильная область, можно выбирать любую из указанных формул. Пример 5. Изменить порядок интегрирования в интеграле Z1 I= √ Zx dx f (x, y)dy. x РЕШЕНИЕ. Область интегрирования D — правильная и ограничена прямой y = x √ и параболой y = x , 0 ≤ x ≤ 1 (рис. 1.10). Полагая ψ1 (y) = y 2 , ψ2 (y) = y , 0 ≤ y ≤ 1 , по формуле (4) получаем Z1 Zy I = dy f (x, y)dx. y2 Замечание 2. Если область D не является правильной (т. е. существуют вертикальные или горизонтальные прямые, которые пересекают границу области более, чем в двух точках), то необходимо эту область разбить на конечное число правильных частей, свести к повторному каждый из соответствующих двойных интегралов и сложить получившиеся результаты. На рис. 1.11 показан пример того, как неправильную область D можно разбить на три правильных области D1 , D2 и D3 . 6 Рис. 1.11. 7