Введение в теорию управления

МФТИ МФТИ Методы обработки информации и принятия решений в системах управления Кварацхелия Нина Георгиевна Кандидат технических наук, доцент Тел: +7-916-392-68-20 Эл.почта: ngkvara@gmail.com Московский физико-технический институт МФТИ Программа курса, часть 1 • Введение в теорию управления • Основные понятия • Классификация систем управления • Модели систем управления • Методы обработки информации • • • • • • 04.05.2021 Элементы теории вероятностей Элементы математической статистики Элементы теории информации Методы обработки измерений Фильтры Калмана Методы оценивания состояния объекта управления Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 2 МФТИ Программа курса, часть 2 • Методы принятия решений в системах управления • Оптимальное управление • Метод множителей Лагранжа • Метод Эйлера-Лагранжа • Принцип максимума Понтрягина • • • • 04.05.2021 Теорема разделения Линейный регулятор Игровые задачи управления Методы выбора (принятия решений) Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 3 МФТИ Оптимальное управление Оптимальное управление – достижение заданной цели способом, наилучшим по заданному критерию или совокупности критериев Решение задачи оптимального управления – поиск наилучшего способа достижения цели Этапы решения задачи оптимального управления: • Формализация цели управления = формирование количественных параметров желаемого результата • Формализация критериев = перевод в количественные показатели • Идентификация системы = построение адекватной модели объекта управления и внешних воздействий • Оценка текущего состояния объекта = определение положения относительно цели (рассогласования) • Поиск наилучшего пути достижения цели = определение функции управления 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 4 МФТИ Оптимальное управление • Формализация цели управления • Формализация критериев • Идентификация системы: • Параметрическая идентификация – известна структура системы, но неизвестны параметры • Структурная идентификация – структура системы неизвестна • Оценка текущего состояния объекта – методы фильтрации • Оптимальное управление: • Детерминированная система • Стохастическая система 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 5 МФТИ Детерминированная задача Y U F Х X, Y, F – известны Xц – цель управления задана J – критерий оптимизации задан Нужно найти оптимальное управление U* 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 6 МФТИ Стохастическая задача 𝑽 𝑾 F 𝑿 H 𝒁 U F, H – известны 𝑾, 𝑽 – случайные процессы J – критерий оптимизации задан Нужно найти оптимальное управление U* 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 7 МФТИ Вариационные методы • Для решения детерминированных задач оптимального управления часто используются вариационные методы • Методы вариационного исчисления = поиск экстремума критериальной функции при ограничениях в виде равенств: • Метод множителей Лагранжа • Метод Эйлера-Лагранжа • Принцип максимума Понтрягина 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 8 МФТИ Метод множителей Лагранжа U F Х 𝒙 - параметры состояния объекта управления 𝒖 - управление (управляющие воздействия) 𝑭 𝒙, 𝒖 = 𝟎 – модель системы 𝑱 = 𝜽 𝒙, 𝒖 → 𝒎𝒊𝒏 𝒎𝒂𝒙 - критерий оптимизации 𝒖* - оптимальное управление 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 9 МФТИ Метод множителей Лагранжа 𝑳 𝒙, 𝒖, 𝝀 = 𝜽 𝒙, 𝒖 + 𝝀т𝑭(𝒙, 𝒖) – лагранжиан 𝝏𝑳 𝝏𝑳 Условие экстремума: =0, =0 𝝏𝒙 𝝏𝒖 𝝏𝜽 𝝏𝑭т(𝒙,𝒖) + 𝝀=0 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝜽 𝝏𝑭т(𝒙,𝒖) + 𝝀=0 𝝏𝒖 𝝏𝒖 Вторая вариация 𝜹𝟐𝑳 > 𝟎, если 𝒎𝒊𝒏 𝑱, 𝜹𝟐𝑳 < 𝟎, если 𝒎𝒂𝒙 𝑱 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 10 МФТИ Метод множителей Лагранжа Пример 1: Оптимизация размеров h 2r 04.05.2021 Консервная банка h – высота, r – радиус Площадь поверхности фиксирована = S0 При каких h и r объем банки максимальный? Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 11 МФТИ Метод множителей Лагранжа Пример 1 𝑽 = 𝝅𝒓𝟐𝒉 – объем цилиндра 𝑺 = 𝟐𝝅𝒓𝟐 + 2𝝅𝒓𝒉 – площадь поверхности 𝑳 = 𝝅𝒓𝟐𝒉 +𝝀(𝟐𝝅𝒓𝟐 + 2𝝅𝒓𝒉 -S0 ) – лагранжиан h 2r 𝝏𝑳 = 𝟐𝛑𝒓𝒉 + 𝝀𝟒𝝅𝒓𝒉 + 𝝀𝟐𝝅𝒉 = 𝟎 𝝏𝒓 𝝏𝑳 = 𝛑𝒓𝟐 + 𝝀𝟐𝝅𝒓 = 𝟎 𝝏𝒉 𝝀= 𝒓𝒉 − 𝟐𝒓+𝒉 𝝀= 𝒓 − 𝟐 𝒉 = 𝟐𝒓 𝒉= 04.05.2021 𝟐𝑺𝟎 𝟑𝝅 𝒓= 𝑺𝟎 𝟔𝝅 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 12 МФТИ Метод множителей Лагранжа Пример 2: Оптимизация поставок с – закупочная цена единицы товара d – объем реализации за период (количество) Спрос постоянный = реализация равномерная s – затраты на доставку одной партии h – затраты на хранение единицы товара за период x – размер партии y – число поставок за период J – суммарные затраты Найти оптимальные x и y, при J→ 𝒎𝒊𝒏 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 13 МФТИ Метод множителей Лагранжа Пример 2: Оптимизация поставок J=С1+С2+С3 – суммарные затраты за период С1=сd – затраты на закупку за период С2= ys – затраты на доставку за период x/2 – средний уровень x запасов x/2 J=сd 𝒙 h– 𝟐 С𝟑 = затраты на хранение за период 𝒙 + ys + 𝟐h - критерий 𝒙𝒚 − 𝒅 = 𝟎 – модель поставок 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 14 МФТИ Метод множителей Лагранжа Пример 2: Оптимизация поставок 𝒙 L=сd + ys + 𝟐h −𝝀(𝒙𝒚 − 𝒅) – лагранжиан 𝝏𝑳 𝝏𝒙 𝝏𝑳 𝝏𝒚 = 𝒉 𝟐 − 𝝀𝒚 = 0 → 𝒚 = = 𝒔 − 𝝀𝒙 = 0 → 𝒙 = 𝒙𝒚 = 𝒅 → ∗ 𝒙 = 04.05.2021 𝟐𝒅𝒔 𝒉 𝒉𝒔 𝟐𝝀𝟐 ∗ 𝒉 𝟐𝝀 𝒔 𝝀 =𝒅 → 𝝀= 𝒚 = 𝒉𝒔 𝟐𝒅 𝒅𝒉 𝟐𝒔 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 15 МФТИ Метод множителей Лагранжа Пример 3: Оптимизация производства y – объем реализации p0 – цена продажи R = p0 y – выручка от реализации 𝒚 = 𝒇(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) – производственная функция x1, x2 – сырье p1, p2 – закупочные цены на сырье С = p1 x1+ p2 x2 – затраты на производство Пусть y = a x1+ b x2 При каком соотношении a и b прибыль максимальна, если объем реализации фиксирован (y = y*)? 04.05.2021 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 16 МФТИ Метод множителей Лагранжа Пример 3: Оптимизация производства Прибыль P = R – C = p0 y - p1 x1 - p2 x2 → max критерий a x1+ b x2 = y* - ограничение ∗ ∗ 𝑳 = 𝒑𝟎 𝒚 − 𝒑𝟏 𝒙𝟏 − 𝒑𝟐 𝒙𝟐 − 𝝀(𝒂 𝒙𝟏 + 𝒃 𝒙𝟐 − 𝒚 ) – лагранжиан 𝝏𝑳 𝝏𝒙𝟏 𝝏𝑳 𝝏𝒙𝟐 04.05.2021 = 𝒑𝟏 − 𝝀𝒂 = 0 → 𝝀 = = 𝒑𝟐 − 𝝀𝒃 = 0 → 𝝀 = 𝒂 𝒃 = 𝒑𝟏 𝒂 𝒑𝟐 𝒃 𝒑𝟏 𝒑𝟐 Методы обработки информации и принятия решений в системах управления. Лекция 12. 17