Введение. Основные понятия.

Введение. Основные понятия. Понятие «информация» используется в различных смыслах. Так, говорят об информации в смысле соответствия какого-либо высказывания действительности. К середине 20-го века в связи с бурным развитием науки и техники роль информации существенно возросла, что привело к принципиальным изменениям в трактовке понятия информации. Основные формы представления информации: – символьная (основана на использовании символов: букв, цифр, знаков); – текстовая (использует тексты, т.е. символы, расположенные в определенном порядке); 1 – – графическая (различные виды изображений); звуковая. 2 Информационные технологии Современное понятие «технология» применимо к любому процессу, имеющему искусственное происхождение. 3 1. Математические модели 1.1. Сущность математического моделирования 1.2. Статистическое моделирование. Метод Монте-Карло 4 1.3. Принципы моделирования случайных элементов 5 2. Моделирование процессов с заданными свойсвами 2.1. Моделирование коррелированных случайных процессов N-мерная плотность распределения вероятности wN(x1, x2, …xN) связывает каждый отсчет случайной последовательности со всеми остальными отсчетами. Такое описание очень сложно и на практике используются более простые модели случайного процесса с зависимыми отсчетами. Наиболее известны две: марковская модель и спектрально-корреляционная модель. В марковской модели каждый отсчет случайного процесса зависит только от одного предыдущего (марковский процесс первого порядка). Для него N-мерная плотность распределения вероятности wN(x1, x2, … xN) = w(x1)w(x2/x1) w(x3/,x2)*…* w(xN/ xN - 1) = w(x1)∏w(xi/xi – 1). Марковский процесс не является чисто теоретическим допущением, таким будет процесс на выходе интегрирующей цепи при подаче на ее вход белого шума. Спектрально-корреляционная модель оперирует с двумерной плотностью распределения вероятности w(x1, x2), связывающей отсчеты случайного процесса, взятые в разные моменты времени x1 = x(t1) и x2 = x(t2). Если изменять t1 и t2, то можно исследовать попарную связь всех отсчетов между собой и, в принципе, последовательно определить все связи, описываемые N-мерным законом распределения. В спектрально-корреляционной модели для описания этой связи используется корреляционный (второй смешанный центральный) момент: R(t1, t2) = M{x1, x2} = ∫∫(x1 – mx1) (x2 – mx2) w(x1, x2)dx1dx2. - Стационарные случайные процессы характеризуются неизменностью характеристик во времени, и для∞ таких процессов корреляционный момент не зависит от выбора начального момента времени t1, а определяется только величиной интервала τ = t2 – t1. Зависимость корреляционного момента от временного интервала τ между отсчетами называется корреляционной функцией R(τ) случайного процесса. При τ = 0 значение корреляционной функции максимально и равно дисперсии случайного процесса σ2. С увеличением |τ| корреляционная функция уменьшается до нуля монотонно или по колебательному закону. При моделировании всегда используется реализация случайного процесса конечной длины и в измеренной корреляционной функции появляются нескомпенсированные остатки. Уровень этих остатков тем меньше, чем больше длина реализации. Случайный процесс называется некоррелированным, если корреляционная функция равна нулю для любого τ, отличного от нуля. Для некоррелированного процесса R(τ) = σ2δк(τ), где δк(τ) – символ Кронекера: он равен 1 при τ = 0 и нулю при всех других τ. Вообще говоря, некоррелированность не означает независимости. Это можно пояснить следующим примером. Пусть случайная величина Y = 4X12 + X2, где X1 и X2 – независимые случайные величины, равномерно распределенные в интервале (– 1/2, 1/2). Ясно, что Y связана с X1 статистической зависимостью (см. рис.). 6 Однако для рис.2 корреляционный момент = 0, так как каждый из интегралов является интегралом от нечетной функции в симметричных пределах. Рассмотренная статистическая связь является нелинейной и никак не отражается в корреляционной функции. Корреляционная функция характеризует только линейную статистическую зависимость между отсчетами случайного процесса. Корреляционная функция связана с энергетическим спектром случайного процесса преобразованием Винера-Хинчина, которое по форме совпадает с двусторонним преобразованием Фурье. Энергетический спектр случайной последовательности, содержащей N отсчетов, рассчитывается как двустороннее дискретное преобразование Фурье (ДПФ) от дискретной корреляционной функции R(n): S(fk) = , где fk = k/N*Δt – частота спектральной составляющей, Δt – временной интервал между соседними отсчетами случайного процесса, или интервал дискретизации. 2.2. Генерирование коррелированных случайных последовательностей Для дискретных не центрированых случайных величин с математическими ожиданиями и коэффициент корреляции можно оценить как Оценка автокорреляционной функции записывается в виде: , где - оценка математического ожидания 7 - квадрат оценки среднеквадратического отклонения (СКО2 – дисперсия процесса). В пределе, при истинным значениям. приведенные оценки параметров стремятся к их Чаще всего для генерирования коррелированных случайных последовательностей используется метод формирующего фильтра. Если на вход линейного формирующего фильтра подать белый шум x(t), то на его выходе будет коррелированный случайный процесс y(t) с корреляционной функцией, определяемой характеристиками фильтра. Энергетический спектр случайного процесса связан с частотной характеристикой фильтра соотношением: Sy(ω) = σx2|K(jω)|2, а корреляционная функция определяется импульсной характеристикой фильтра. Задача определения характеристик фильтра по заданной корреляционной функции (задача синтеза) достаточно сложна, поэтому мы остановимся только на вопросах реализации фильтров и оценки влияния параметров фильтра на форму корреляционной функции. Метод скользящего суммирования В методе скользящего суммирования (скользящего среднего) выходной процесс определяется как весовая сумма отсчетов входного процесса, взятых в настоящий t = nΔt и предшествующие моменты времени: y(nΔt) = b0x(nΔt) + b1 x(nΔt – Δt) + b2 x(nΔt – 2Δt) + … + bk x(nΔt – kΔt). В следующий момент времени t = nΔt + Δt y(nΔt+Δt) = b0x(nΔt+Δt) + b1 x(nΔt) + b2 x(nΔt–Δt) + … + bk x(nΔt – (k–1) Δt) и т.д. для последующих моментов времени. Значения корреляционной функции выходного процесса определятся как математическое ожидание произведения отсчетов выходного процесса, отстоящих друг от друга на интервал iΔt. Ry(iΔt) = M{ y(nΔt)y(nΔt +iΔt)}. Учитывая, что входной процесс не коррелирован и, следовательно, M{ x(nΔt)x(nΔt +iΔt)} = σx2δк(iΔt), получим Ry(0) = σy2 = (b02 + b12 + b22 + … + bk2)σx2, Ry(Δt) = (b0b1 + b1b2 + b2b3 + … + bk – 1bk)σx2, Ry(2Δt) = (b0b2 + b1b3 + … + br – 2bk)σx2, … Ry(kΔt) = b0bkσx2, Ry(kΔt + Δt) = 0. Эти уравнения позволяют легко решить задачу анализа: рассчитать корреляционную функцию по известным коэффициентам bi. Задача синтеза: найти коэффициенты фильтра bi по заданной корреляционной функции в общем случае 8 не решена. Но для треугольной корреляционной функции решение находится просто: все коэффициенты bi одинаковы: bi = √(σy2/σx2)/k. Если потребовать, чтобы дисперсии входного и выходного процессов были равными, то bi = 1/√k Схема рассматриваемого фильтра приведена ниже. Символ z-1 означает задержку на интервал дискретизации. Фильтр скользящего суммирования (ССфильтр) является фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХфильтром) или нерекурсивным (трансверсальным) фильтром. xn b0=1 z -1 z -1 b1 b2 bkbq  yn Рис. 1. Структура фильтра скользящего среднего Изображенный фильтр описывается передаточной функцией: K(z-1) = b0 + b1z-1 + b2z-2 + … + bkz-k. Передаточная функция в стандартной форме, полученная из системной функции умножением числителя и знаменателя на zk, имеет вид: K(z) = (b0zk + b1zk - ! + … + bk)/zk. Недостаток СС-фильтра: увеличение порядка фильтра с увеличением количества отсчетов корреляционной функции. Если корреляционная функция имеет бесконечную протяженность, то для сокращения порядка фильтра ее искусственно ограничивают по времени, пренебрегая малыми значениями корреляционной функции. Это приводит к возникновению методической ошибки моделирования. Авторегрессионный метод Существенная экономия машинных ресурсов и возможность моделирования случайных процессов с корреляционной функцией бесконечной протяженности достигается при использовании авторегрессионного метода. Авторегрессионный метод предполагает использование рекурсивных фильтров с системной функцией b0 K(z-1) = -1 -2 , -m 1 – (a1z + a2z + … + am z ) где m – порядок фильтра. Как следует из вида системной функции, выходной процесс авторегрессионного фильтра (АР-фильтра) связан с входным процессом рекуррентным соотношением: y(nT) =b0x(nT) + a1y(nT – T) + a2 y(nT – 2T) + … + am y(nT – mT). 9 АР-фильтр является фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтром) или рекурсивным фильтром. Структура АР-фильтра представлена на рисунке 2 xn + yn -  aamp a2 a1 z -1 a0=1 z -1 Рис. 2. Структура авторегрессионного фильтра при b0=1 Корреляционная функция определяется коэффициентами ai. Непосредственно по этому выражению нельзя найти корреляционную функцию, зная коэффициенты ai, как это было сделано ранее для СС-фильтра. Для выявления качественного влияния коэффициентов на форму корреляционной функции воспользуемся ее связью с импульсной характеристикой фильтра. Рассмотрим АРфильтр первого порядка (рис. 3). x(nT) y(nT) b1 z-1 Рис. 3. Структура АР-фильтра 1 порядка Рис. 3.7 Его передаточная функция в стандартной форме: K(z)= Импульсная характеристика определяется как обратное Z – преобразование от передаточной функции: g[n] = b0a1n Диапазон возможных значений коэффициента a1 ограничивается устойчивостью фильтра. Для устойчивости АР-фильтра требуется, чтобы полюса его передаточной функции находились внутри окружности единичного радиуса. Полюс находится приравниванием нулю знаменателя передаточной функции: z – a1 =0. Полюс z1 = a1, и требование устойчивости фильтра | a1| < 1 или -1 < a1 < 1. При положительном a1 импульсная характеристика, является монотонно спадающей функцией, и корреляционная функция тоже будет монотонно 10 спадающей. При отрицательном а1 импульсная характеристика становится колебательной, и корреляционная функция будет колебательной затухающей с периодом колебаний равным двум интервалам дискретизации. Рассмотрим, как будет изменяться АЧХ фильтра, а следовательно, и энергетический спектр генерируемой последовательности, при изменении а1. Комплексная частотная характеристика получается из передаточной функции К(z) подстановкой z = ejωΔt. Амплитудно-частотная характеристика К(ω) = |b0ejωΔt/(ejωΔt – a1)| = b0/|ejωΔt – a1|. Она обратно пропорциональна модулю разности векторов ejωΔt и a1. Как видно из рис. 4 а), при положительном a1 модуль разности векторов будет изменяться от наименьшего значения при ω = 0 до наибольшего значения при ωΔt = π. Значит, АЧХ, а следовательно, и энергетический спектр случайной последовательности, будет иметь подъем в области низких частот. При отрицательных a1, наоборот, подъем будет в области верхних частот. Im ejωΔt –a1 ejωΔt Re a1 а) б) Рис. 4 в) На рис. 4, б) показан энергетический спектр процесса на выходе фильтра при a1 = 0,8; а на рис. 4, в) – при a1 = - 0,8. АР-фильтр второго порядка позволяет формировать коррелированные последовательности с более разнообразными корреляционными функциями. Его системная функция b0 K(z-1) = -1 . -2 1 – (a1z + a2z ) Значения коэффициентов а1 и а2 ограничены областью устойчивости, которая показана на рис. 4 (коэффициенты должны находиться внутри треугольника). 11 а2 1 B C A а1 -1 -2 1 2 D -1 Рис. 4 Область устойчивости делится на четыре подобласти в зависимости от вида полюсов: А – два действительных полюса разного знака; В – два действительных отрицательных полюса; С – два действительных положительных полюса; D – два комплексно сопряженных полюса. От расположения полюсов будет зависеть форма энергетического спектра и корреляционной функции генерируемого случайного процесса. Эту зависимость для действительных корней мы уже обсуждали. Для комплексно-сопряженных полюсов подъем АЧХ будет на частоте f = (fд/2)(argz1/π), где argz1 – аргумент полюса, расположенного в верхней полуплоскости. АР-фильтр является рекурсивным фильтром, или фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтром). Объединяя авторегрессионный и скользящего-среднего подходы для построения комбинированного моделирующего фильтра, получим передаточную функцию HAРCC(z) в виде произведения передаточных функций АР и СС фильтров: HAРCC(z)=HCC(z) HAР(z). Последовательное соединение СС-фильтра и АР-фильтра называют АРССфильтром. Его системная функция записывается в виде отношения двух полиномов: -1 K(z ) = b0 + b1z-1 + b2z-2 + … + bkz-k . 1 – (a1z-1 + a2z-2 + … + am z-m) Такой фильтр обладает еще большими возможностями генерирования коррелированных процессов с разнообразными корреляционными функциями. Структура фильтра авторегрессии-скользящего среднего порядков p, q представлена на рис. 5. 12 B(z)/A(z) B(z) xn z -1 z b1 -1 bbk q b2   1/A(z) + y(j) -  aamp a2 a1 z -1 z -1 Рис.5.Структура АРСС-фильтра Фактически АРСС-модель представляет собой дискретный аналог линейного дифференциального (для дискретного случая – линейно-разностного) уравнения, широко используемого для описания линейных систем. Линейно-разностное уравнение описывает выходную последовательность отсчетов yn в виде разности линейных комбинаций коэффициентов фильтров СС и АР (векторов a и b соответственно) с отсчетами входной последовательности xn и предыдущими отсчетами yn−i выходной последовательности: mp kq  i k 1 i k 0 ik 0 yn   aik ynik   bik xnik   hik xnik С учетом сделанных выше предположений о единичности коэффициента bo линейно-разностное выражение принимает вид: m p kq ik 1 ik 1 y n  xn   aik y nik   bik xnik 13 3. Двумерные массивы данных (изображения) 3.1. Модели непрерывных изображений Компьютерная обработка изображений возможна после преобразования сигнала изображения из непрерывной формы в цифровую форму. Эффективность обработки зависит от адекватности модели, описывающей изображение, необходимой для разработки алгоритмов обработки. При этом необходимо учитывать влияние передающей и приемной систем и канала связи на сигнал изображения. Модель изображения представляет систему функций, описывающих существенные характеристики изображения: функцию яркости, отражающую изменение яркости в плоскости изображения, пространственные спектры и спектральные интенсивности изображений, функции автокорреляции. Канал изображения содержит оптическую систему, оптико электрический преобразователь, устройство аналого - цифрового преобразования (АЦП) и цифровой обработки сигналов изображения. В общем случае непрерывное изображение может быть представлено функцией пяти аргументов: трех пространственных координат, времени и длины волны электромагнитного излучения. Упрощения модели пространственно - временных сигналов в некотором диапазоне волн f(x,y,z,t,λ) приводят к моделям пространственно - временного сигнала f(x,y,z,t) , пространственного сигнала f(x,y,z), временного сигнала f(t) . Здесь x, y, z - пространственные координаты, t - время, λ - длина волны электромагнитного излучения. 3.2. Вероятностные автокорреляции модели изображений и функции Вероятностные модели изображений широко используются для описания изображений. Изображение в этом случае рассматривается как случайная функция пространственных координат (x,y) и времени t. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если он имеет постоянные значения математического ожидания и дисперсии, а его автокорреляционная функция зависит не от координат, а от их разностей (сдвига). Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если его n-мерная плотность распределения вероятностей инвариантна к сдвигу. В этом случае не зависят от времени и моменты более высокого порядка, в частности, асимметрия и эксцесс. Случайный процесс описывается плотностью вероятности распределения яркости в изображении по пространственным координатам для некоторого фиксированного момента времени t p (x, y). В соответствии с определением математическое ожидание (среднее значение) стационарного процесса в широком смысле Дисперсия: 14 Функция автокорреляции: где где τx, τy задают сдвиги изображения по соответствующим осям координат. Для действительной функции f автокорреляционная функция является действительной и четной. Спектр двумерной автокорреляционной функции изображения (прямое преобразование Фурье автокорреляционной функции) равен энергетическому спектру изображения (спектральной плотности мощности) по определению: Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если любая его вероятностная характеристика может быть получена из одной реализации путем усреднения по времени. При этом среднее по времени равно среднему по ансамблю реализаций. Свойство эргодичности используется при оценке вероятностных характеристик изображений. 4. Основы фильтрации изображений При цифровой обработке изображений необходимо устранять геометрические искажения изображений, подавлять шумы различной природы, производить апертурную коррекцию. Ослабление действия помех достигается фильтрацией. Фильтрация изображений производится в пространственной и частотной областях. При пространственной фильтрации изображений преобразование выполняется непосредственно над значениями отсчетов изображения. Результатом фильтрации является оценка полезного сигнала изображения. Изображение представляет собой двумерную функцию пространственных координат, изменяющуюся медленнее, чем двумерная функция, описывающая помеху. Поэтому при оценке полезного сигнала в каждой точке кадра рассматривают окрестность этой точки (некоторое множество соседних с ней точек), используя общие характеристики сигнала в этой окрестности. В других случаях признаком полезного сигнала являются резкие перепады яркости. Однако, как правило, частота этих перепадов относительно невелика, так что на значительных промежутках между ними сигнал либо постоянен, либо изменяется медленно. И в этом случае свойства сигнала проявляются при наблюдении его не только в отдельной точке, но и при анализе ее окрестности. Заметим, что понятие окрестности является достаточно условным. На рисунке 5.1 представлена иерархия окрестностей отсчета, обозначенного «0». 15 Рисунок 5.1 Конфигурации окрестности элемента «0» в кадре изображения в иерархической последовательности. «1» обозначена окрестность первого порядка, для которой расстояние между элементами равно 1. «2» обозначена окрестность второго порядка, к которой относятся диагональные элементы, расстояние от которых до центрального отсчета «0» равно 2 . Окрестность третьего порядка представлена элементами, отстоящими от центрального элемента на расстояние, равное 2, и так далее. В соответствии с рисунком 5.1 формируется иерархия конфигураций окрестности центрального отсчета рассматриваемого фрагмента (окна) кадра по возрастанию расстояний от него до отсчета окрестности. Окрестность может быть образована лишь ближайшими соседями, но может содержать и достаточно много элементов кадра. При рассмотрении окрестности большого размера, иногда устанавливается различная степень влияния далеких и близких от центра окрестности точек на сигнал, формируемый на выходе фильтра в данной точке кадра. Таким образом, идеология фильтрации основывается на использовании как данных текущей точки, так и ее окрестности. В этом проявляется существенное отличие фильтрации от рассмотренных выше поэлементных процедур: фильтрация не может быть поэлементной процедурой обработки изображений. Задача заключается в том, чтобы найти такую вычислительную процедуру, которая обеспечила бы получение наилучших результатов. Общепринято при решении этой задачи опираться на использование вероятностных моделей изображения и помехи, а также на применение статистических критериев оптимальности. Причины этого понятны - это случайные законы распределения полезного сигнала и помехи и стремление получить минимальное в среднем отличие результата обработки от результата обработки идеального сигнала. Многообразие методов и алгоритмов связано с большим разнообразием сюжетов, обусловливающих множество различных математических моделей, используемых для описания сигналов. Кроме того, 16 применение различных критериев оптимальности также ведет к разнообразию методов фильтрации. Наконец, даже при совпадении моделей и критериев часто изза математических трудностей не удается найти оптимальную процедуру. Сложность нахождения точных решений порождает различные варианты приближенных методов и процедур. В практике цифровой обработки изображений широко используется масочная фильтрация. Ее линейная разновидность является одним из вариантов двумерной фильтрации с конечной импульсной характеристикой (КИХ) фильтра. В качестве маски используется множество весовых коэффициентов, заданных во всех точках окрестности S , обычно симметрично окружающих текущую точку кадра. Распространенным видом окрестности, часто применяемым на практике, является квадрат 3×3 (а также 5×5) с текущим элементом в центре. Применяют различные маски, одним из эвристических вариантов является равномерная маска, все девять весовых коэффициентов которой равны 1/9 (1/25). Такой выбор коэффициентов отвечает условию сохранения средней яркости, вследствие чего выходной сигнал оказывается вписанным в диапазон входного сигнала. Применение процедур фильтрации приводит к существенному снижению уровня шума в изображении, а также позволяет выделить интересующие фрагменты (информативные в рамках поставленной задачи признаки…). 4.1. Частотная фильтрация изображений Частотная фильтрация выполняется в частотной области. Это означает, что при частотной фильтрации выполняются прямое и обратное пространственночастотное преобразование. Фильтрация в частотной области позволяет по ДПФ изображения подобрать частотную характеристику фильтра, обеспечивающую необходимое преобразование изображения. Традиционная фильтрация в частотной области требует выполнения следующей последовательности преобразований: − двумерное дискретное преобразование изображения из пространственной области в частотную (например, посредством дискретного преобразования Фурье), − преобразование дискретного спектра сигнала изображения, − обратное двумерное дискретное преобразование, позволяющее восстановить полезный сигнал изображения в пространственной области. В соответствии с теоремой о свертке, свертка двух функций в пространственной области может быть получена ОДПФ произведения их ДПФ, то есть: 17 Рассмотрим фильтров. частотные характеристики наиболее распространенных 4.1.1. Низкочастотные фильтры Частотная характеристика идеального НЧ фильтра имеет вид: где - расстояние от центра маски фильтра до отсчета с координатами (u,v), (u0,v0) - координаты центра маски фильтра, rср - заданное неотрицательное число. При размере изображения N x M, u0 = N/2, v0 = М/2. Частотная характеристика НЧ фильтра Баттерворта (Butterworth) порядка k, подавляющего частоты, отстоящие на расстояние более r (по окружности) от начала координат, имеет вид: На рисунке 5.2 приведены графики частотной характеристики фильтра Баттерворта при r = 70 и k = 10. а) б) Рисунок 5.2 График частотной характеристики фильтра Баттерворта при r=70 и k=10: а) – центрированная характеристика; б) – нецентрированная. Частотная характеристика гауссовского НЧ фильтра имеет вид: где у - имеет смысл частоты среза (rср). Частотная фильтрация выполняется по алгоритму: − выполнить двумерное ДПФ входного изображения f(x,y) (подвергаемого фильтрации) размером (N x M), получить F(u,v); − вычислить передаточную характеристику фильтра в частотной области, например, в соответствии с одной из рассмотренных формул, размерность матриц (NxM); − выполнить децентрирование характеристики H(u,v); − выполнить поточечное умножение 18 − выполнить ОДПФ спектра S(u,v). 4.1.2. Высокочастотные фильтры По известной передаточной функции НЧ фильтра можно получить передаточную характеристику ВЧ фильтра в соответствии с уравнением: Фильтрация выполняется в соответствии с алгоритмом, приведенным в п. 5.1.1. 4.2. Основы пространственной фильтрации 4.2.1. Линейная пространственная фильтрация Пространственная фильтрация изображения f(x,y), позволяет применять фильтры с КИХ. Поскольку в изображении понятия прошлого и будущего времени становятся условными, мы можем использовать амплитуды отсчетов как в направлении увеличения индексов, так и в направлении уменьшения индексов. Пространственная фильтрация выполняется как операция двумерной свертки импульсной характеристики фильтра h(s, t) с изображением f(x, y), где s – координата характеристики в горизонтальном направлении вдоль оси x, , s∈[–n/2,n/2], t - координата характеристики в вертикальном направлении вдоль оси y, t∈[–m/2, m/2]: Прямоугольная область размером n × m, на которой задана импульсная характеристика, называется маской или ядром фильтра. Рассмотрим, как соотносятся координаты изображения и импульсной характеристики фильтра на примере. Пусть m=3 , n=3 . Элементы импульсной характеристики фильтра и соответствующей области изображения представлены на рисунке 5.3. Начало координат фильтра устанавливается в центр импульсной характеристики, как показано на рисунке 5.3. Отсчеты импульсной характеристики отражаются относительно начала координат (что равносильно повороту маски на 180°), и центр маски смещается в положение (x,y). 19 Рисунок 5.3 Положение отсчетов импульсной характеристики при свертке с изображением f(x,y) . Отклик фильтра g(x,y) вычисляется как сумма произведений отсчетов изображения на соответствующие отсчеты повернутой импульсной характеристики. Эта операция выполняется для каждого отсчета изображения. Если импульсная характеристика фильтра симметрична, то есть h(s,t)=h(–s,–t), то вместо свертки можно выполнять корреляцию: Эта операция не требует отражения представляет собой вычисление в скользящей произведений отсчетов изображения на фильтра и их суммирование (в соответствии с импульсной характеристики, а по изображению маске фильтра соответствующие коэффициенты рисунком 5.4). Рисунок 5.4 Корреляция изображения f(x,y) с маской h(s,t). Для обработки краевых эффектов необходимо увеличить изображение по строкам и столбцам на n/2 отсчетов слева и справа и на m/2 отсчетов сверху и 20 снизу. При этом расширение может выполняться разными способами: дополнением нулями, повторением граничных элементов, периодическим повторением (x mod N, y mod M) или зеркальным отражением граничных элементов. Размер выходного изображения при этом сохраняется равным размеру входного изображения. При построении линейных КИХ фильтров часто используют непараметрический подход. Линейные сглаживающие фильтры. Для уменьшения шумов широко применяются НЧ фильтры, поскольку шум представляет собой ВЧ сигнал. В частности, для НЧ фильтрации применяется усреднение сигнала в маске, например, при n=m=3: Нормировка необходима для того, чтобы привести значения отклика фильтра к диапазону входных данных. Нормирующий коэффициент определяется из условия равенства единице суммы всех коэффициентов КИХ в соответствии с уравнением: Линейная фильтрация широко применяется при подавлении шумов в изображении, для компенсации неравномерности чувствительности, создания эффектов размытия изображений. Она также широко применяется в задачах выделения контуров на изображении, подчеркивания верхних пространственных частот. В этом случае коэффициенты КИХ фильтра вычисляются на основе дифференцирования амплитуды сигнала, что эквивалентно дискретным разностям амплитуд отсчетов: Производные можно брать не только по горизонтали и вертикали, но и в произвольном направлении. Соответствующие импульсные характеристики фильтров имеют вид: Подобные КИХ фильтры, формирующие производные в ортогональных направлениях с наклоном +45о и -45о , используются в операторе Робертса. Доктор Джудит Превитт для обнаружения границ медицинских изображений применила оператор, маски которого получили ее имя: 21 Широко применяется в обработке изображений для выделения контуров оператор Собеля: Для выделения контуров применяются также амплитуды сигнала. Оператор Лапласа, имеющий вид: можно применить характеристикой: в виде линейного КИХ вторые фильтра с производные импульсной Основное достоинство линейных КИХ фильтров – они просты в реализации. 4.2.2. Нелинейная пространственная фильтрация В результате применения линейных сглаживающих фильтров происходит подавление шумов, но одновременно размываются границы между областями с разной амплитудой сигнала. Для уменьшения «смаза» границ разработаны различные нелинейные фильтры. Как и линейные КИХ фильтры, нелинейные фильтры работают в скользящем окне. Но, при линейной фильтрации вычисляется линейная комбинация отсчетов сигнала, а при нелинейной фильтрации выполняются нелинейные преобразования отсчетов сигнала в определяемой маской фильтра окрестности элементов. Сигма-фильтр Сигма-фильтр предназначен для подавления шумов в изображении с сохранением контуров (резких границ областей). Центральный элемент маски замещается взвешенным средним значением, вычисленным только по тем амплитудам отсчетов, значения которых попадают в ±kσ - область относительно яркости центрального элемента. σ выбирается либо как СКО подавляемого шума, либо как СКО в маске, либо устанавливается равной СКО, полученному по всему изображению: где S-окрестность составляют те выполняется наложенное условие: значения координат маски, в которых h(s,t) -КИХ линейного сглаживающего фильтра, подобный ранее рассмотренному. 22 При k=2 диапазон заменяемых значений составляет ±2σ, в случае нормального распределения шума вероятность попадания амплитуды за пределы диапазона равна 4,55%. Фильтры, основанные на порядковых статистиках, также относятся к нелинейным фильтрам. Наиболее эффективными по совокупности воздействий: сглаживания шума на однородных участках изображения, сохранения скачков изменения яркости, минимального искажения формы границы, подавления импульсного шума, вычислительной эффективности является медианный фильтр. Медианный фильтр Медианный фильтр (МФ) (предложен Тьюки в 1974 г.) заменяет центральный элемент маски медианой упорядоченной (по невозрастанию или по неубыванию амплитуды) выборки, сформированной из всех амплитуд отсчетов, покрываемых маской фильтра. При применении МФ происходит последовательная обработка каждой точки кадра, в результате чего образуется последовательность оценок. При медианной фильтрации используется скользящее двумерное окно. В принципе, для каждого отсчета выполняется независимая оценка медианы в окне. В целях ускорения оценки целесообразно алгоритмически на каждом шаге использовать ранее выполненные вычисления. Размер окна устанавливается нечетным и равным m×n. Отсчеты изображения, оказавшиеся в пределах окна, образуют рабочую выборку текущего отсчета. Если упорядочить последовательность {fi, i=[1, mn]} по неубыванию, т.е. медианой будет тот элемент выборки, который занимает центральное положение в этой упорядоченной последовательности. Этот элемент является (mn + 1)/2 наибольшим и (mn + 1)/2 наименьшим значением в выборке и определяет результат медианной фильтрации для текущей точки кадра. Введем формальное обозначение описанной процедуры в виде: Рассмотрим пример. Предположим, что упорядоченная последовательность Y в окне размером 3x3 имеет вид: Y={99,140,97,150,255,155,158,99,175}, где элемент 255 соответствует центру окна (x, у) . Большое значение яркости в этой точке кадра является результатом воздействия импульсной помехи. Упорядоченная по неубыванию выборка имеет вид: {97,99,99,140,150,155,158,175,255}, следовательно, в соответствии с процедурой медианной фильтрации, на выходе медианного фильтра получаем med g =150. Видим, что учет яркостей элементов окрестности при фильтрации в текущей точке привел к подавлению импульсной помехи. Если импульсная помеха не является точечной, а занимает некоторую область, то она также может быть подавлена, если размер этой локальной области будет меньше, чем половина размера апертуры МФ. Поэтому для подавления импульсных помех, поражающих локальные участки изображения, следует увеличивать размеры апертуры МФ. Рассматривая принцип МФ можно заметить что основное действие состоит в “игнорировании” как положительных, так и отрицательных выбросов значений входной выборки. Такой принцип подавления помехи может быть 23 применен и для ослабления шума на изображении. Однако исследование подавления шума при помощи медианной фильтрации показывает, что ее эффективность при решении этой задачи ниже, чем у линейной фильтрации. Медианная фильтрация лучше сохраняет границы изображения, чем любая линейная фильтрация. Механизм этого явления очень прост и заключается в следующем. Предположим, что окно фильтра находится вблизи границы, разделяющей светлый и темный участки изображения, при этом его центр располагается в области темного участка. Тогда рабочая выборка будет содержать большее количество элементов с малыми значениями яркости, следовательно, и медиана будет находиться среди элементов с малыми значениями яркости. И наоборот, если центр окна смещен в область более высокой яркости, то и медиана будет находиться в области более высокой яркости. Это позволяет при применении МФ сохранить перепады яркости. Медианные фильтры подавляют импульсные шумы. К таким шумам относится и шум типа «соль и перец», отсчеты которого имеют значения, соответствующие максимальному («соль») и минимальному («перец») уровням квантования в сигнале изображения. Резкие изменения амплитуды сохраняются медианным фильтром, а импульсная помеха, размер которой ≤mn/2, таким фильтром подавляется. Однако при увеличении маски фильтра можно потерять информацию о малоразмерных областях изображения и произвести искажение границ областей, особенно в угловых положениях. 24