Временные ряды

Временные ряды Boris Dobronets Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russia, e-mail: BDobronets@yandex.ru Boris Dobronets Временные ряды Содержание • • • • • Анализ временных рядов Анализ тенденции развития (тренда) временного ряда Декомпозиция временного ряда. Анализ сезонных колебаний Контрольные вопросы Библиография Boris Dobronets Временные ряды Три основные задачи исследования временных рядов Первая из них заключается в описании изменения соответствующего показателя во времени и выявлении тех или иных свойств исследуемого ряда. Для этого прибегают к разнообразным способам: расчету обобщающего показателя изменения уровней во времени — среднего темпа роста; применению различных сглаживающих фильтров, уменьшающих колебания уровней во времени и позволяющих более четко представить тенденции развития; подбору кривых, характеризующих эту тенденцию; выделению сезонных и иных периодических и случайных колебаний; измерению зависимости между членами ряда (автокорреляции). К методам описания какого-либо свойства динамики можно с некоторым основанием отнести и методы проверки наличия или отсутствия долговременных тенденций в ряду. Boris Dobronets Временные ряды Второй важной задачей анализа является объяснение механизма изменения уровней ряда. Для ее решения обычно прибегают к регрессионному анализу. Boris Dobronets Временные ряды Третья задача — описание изменения временного ряда и объяснение механизма формирования ряда часто используются для статистического прогнозирования, которое в большинстве случаев сводится к экстраполяции обнаруженных тенденций развития. Boris Dobronets Временные ряды Анализ временного ряда Анализ временного ряда и последующее прогнозирование его развития может использоваться для: • планирования в экономике, производстве, торговле; • управления и оптимизации, протекающих в обществе социально-экономических процессов; • частичного управления важными параметрами демографических процессов и экологической ниши общества; • принятия оптимальных решений в бизнесе. Boris Dobronets Временные ряды Словарь Trend Analysis – анализ линии тренда с использованием четырех типов аппроксимирующих кривых (линейная, квадратическая, экспоненциального роста, логистическая S – кривая). Decomposition – классическая декомпозиция временных рядов. Moving Average – вычисление скользящего среднего. Exp Smoothing – экспоненциальное сглаживание временного ряда. Lag – смещение рядов на заданное значение. Autocorrelation – вычисление автокорреляционной функции. Cross Correlation – вычисление кросскорреляционной функции (взаимная корреляция). Boris Dobronets Временные ряды Тренд Понятие тенденция развития не имеет достаточно четкого определения. Обычно тенденцию стремятся представить в виде более или менее гладкой кривой, которой соответствует некоторая функция времени. Эта кривая, назовем ее трендом, характеризует основную закономерность движения во времени и в известной мере (но не полностью) свободна от случайных воздействий. Тренд описывает некоторую усредненную для достаточно протяженного периода наблюдения тенденцию развития во времени. В большинстве случаев полученная траектория связывается исключительно с ходом времени. Предполагается, что с помощью переменной время можно выразить влияние всех основных факторов. Механизм их влияния в явном виде не учитывается. Boris Dobronets Временные ряды Типы моделей • • • • Linear – линейная; Quadratic – квадратическая; Exponential growth – экспоненциального роста; S-Curve (Pearl-Reed logistic) – логистическая S – кривая. Boris Dobronets Временные ряды Определение типа модели для аппроксимации тренда временного ряда — одна из наиболее сложных задач анализа временных рядов. Оценка коэффициентов уравнения тренда осуществляется по методу наименьших квадратов (МНК). Boris Dobronets Временные ряды линейная y = a + bt, параболическая y = a + bt + ct 2 , степенная y = at b , экспоненциальная y = aekt , t функция Гомперца y = ab , логистическая y= a . (1 + e−ct ) Boris Dobronets Временные ряды Модели Boris Dobronets Временные ряды Полигармоническая модель Boris Dobronets Временные ряды № Годы 1890 1891 1892 1893 1894 1895 1896 1897 1898 1899 1900 сбор 100 78 91 130 139 130 139 122 143 161 152 Цены 100 131 148 114 89 84 85 83 108 109 102 № Boris Dobronets Годы 1901 1902 1903 1904 1905 1906 1907 1908 1909 1910 сбор 135 183 174 191 165 143 161 165 204 200 Временные ряды Цены 101 102 103 104 108 122 155 168 152 133 Наиболее точно описывают имеющиеся данные квадратическая модель, так как среднеквадратическое отклонение у этой модели наименьшее. Уравнения тренда, описывающие данные временные ряды имеют вид: – для валового сбора хлеба: Yt = 84.5263 + 7.88980*t - 0.148474*t2 – для цены на хлеб: Yt = 130.932 - 7.72938*t + 0.433980*t2 Boris Dobronets Временные ряды Валовый сбор хлеба Boris Dobronets Временные ряды Цена Boris Dobronets Временные ряды При анализе временного ряда его изменчивость можно разделить на закономерную (детерминированную) и случайную составляющие. Boris Dobronets Временные ряды Составная часть временного ряда, остающаяся после выделения из него закономерных (детерминированных) компонент, представляет собой случайную, нерегулярную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, так как случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому экономическому явлению. Если систематические компоненты временного ряда определены правильно, что как раз и составляет одну из главных целей при разработке моделей временного ряда, то остающаяся после выделения из временного ряда этих компонент так называемая остаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной компонентой ряда. Boris Dobronets Временные ряды Случайная компонента Случайная компонента ряда обладает следующими свойствами: – случайностью колебаний уровней остаточной последовательности; – соответствием распределения случайной компоненты нормальному закону распределения; – равенством математического ожидания случайной компоненты нулю; – независимостью значений уровней случайной последовательности, то есть отсутствием существенной автокорреляции. Boris Dobronets Временные ряды Закономерную или детерминированную составляющую при анализе экономического временного ряда обычно разбивают на три составляющие: тренд, сезонную компоненту и циклическую компоненту. Boris Dobronets Временные ряды Циклическая компонента Циклическая компонента временного ряда описывает длительные периоды относительного подъёма и спада. Она состоит из циклов, которые меняются по амплитуде и протяженности. Boris Dobronets Временные ряды Сезонность К сезонным относятся такие явления, которые обнаруживают в своем развитии определенные закономерности более или менее повторяющиеся из месяца в месяц, из квартала в квартал. Под сезонностью иногда понимают неравномерность производственной деятельности в отраслях промышленности, связанных с переработкой с/х сырья, поступления которого зависит от времени года. Кроме того, сезонность может возникать из-за сезонного характера спроса на товары, производимые промышленностью и т. д. Как бы ни проявлялась сезонность, она наносит большой ущерб народному хозяйству, который заключается в неравномерном использовании оборудования и рабочей силы, неравномерной постановке сырья и загрузке транспорта в отраслях, связанных с сезонным производством. Изучение сезонных колебаний необходимо для более ритмичной работы предприятий. Boris Dobronets Временные ряды Статистическое исследование сезонности ставит следующие задачи: численно выразить проявление сезонных колебаний; выявить их силу и характер в условиях отдельных отраслей народного хозяйства; вскрыть факторы, вызывающие сезонные колебания; найти экономические последствия проявления сезонности. Известно несколько способов исследования сезонных колебаний: способ простых средних, способ относительных чисел, способ Персонса, способ расчета сезонных волн, базирующийся на определении тенденции (методом скользящей средней и методом наименьших квадратов). Boris Dobronets Временные ряды Индексы сезонности Индексы сезонности являются показателями, характеризующими результаты сравнения фактических уровней данного месяца или квартала с уровнями, вычисленными при выявлении основной тенденции для того же месяца или квартала. Boris Dobronets Временные ряды Месяц \ год январь февраль март апрель май июнь июль август сентябрь октябрь ноябрь декабрь 1992 г. 2015 2123 2624 2891 3335 4071 4040 3392 2467 2092 1494 1562 1993 г. 1759 1773 2361 2649 3203 3936 3861 3321 2438 1760 1299 1345 Boris Dobronets 1994 г. 1510 1484 1988 2211 2559 3209 3204 2687 2031 1506 1050 1054 1995 г. 1172 1226 1651 1859 2392 2864 2714 2420 1925 1338 984 1020 Временные ряды 1996 г. 1038 1104 1439 1521 1827 2446 2369 2081 1577 1081 Молоко Boris Dobronets Временные ряды В результате проведенного анализа можно сделать следующие выводы: 1. Визуальный анализ графика ряда показывает, что производство молока имеет тенденцию к сокращению. Это может быть обусловлено сокращением поголовья молочного стада и общим снижением производства сельскохозяйственной продукции. 2. Временный ряд подвержен сильным сезонным колебаниям с максимумом производства в летние месяцы (апрель – сентябрь) и минимумом – в зимние (октябрь – март). При этом величина сезонных колебаний пропорциональна среднему уровню производства. Следовательно, потребителю молочных продуктов необходимо быть готовым к сезонным изменениям уровня цен на продукцию: в летние месяцы — снижение цены, в зимние — возрастание. Boris Dobronets Временные ряды Скользящее среднее ŷ0 = m X 1 yi 2m + 1 i=−m Boris Dobronets Временные ряды Скользящее среднее ŷl = l+5 X 1 ((yl−6 + yl+6 )/2 + yi ) 12 i=l−5 Boris Dobronets Временные ряды МНК Boris Dobronets Временные ряды МНК Boris Dobronets Временные ряды МНК Boris Dobronets Временные ряды МНК Boris Dobronets Временные ряды МНК ϕ1 , . . . , ϕn , n X y≈ ai ϕi i=1 ||y − n X ai ϕi ||2 → min i=1 Aa = b A = (aij ), aij = (ϕi , ϕj ), bi = (y, ϕi ). Boris Dobronets Временные ряды МНК y(ti ) = a0 + a1 ti + . . . + al til . 1 (15yj−4 −55yj−3 +30yj−2 +135yj−1 +179yj 135yj+1 +30yj+2 −55yj+3 +15yj+4 ) 429 1 ŷj0 = (86yj−4 −142yj−3 −193yj−2 −126yj−1 +126yj+1 +193yj+2 +142yj+3 −86yj+4 1188h ŷj = Boris Dobronets Временные ряды 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 0.2 0.3 0.4 Boris Dobronets 0.5 0.6 0.7 Временные ряды 0.8 0.9 1 0.1 5 · 10−2 −5 · 10−2 −0.1 0.1 0.2 0.3 Boris Dobronets 0.4 0.5 0.6 Временные ряды 0.7 0.8 0.9 1 Контрольные вопросы 1. Какие три основные задачи анализа временных рядов? 2. Где используются результаты анализа временных рядов? 3. Какие основные математические функции используются при аппроксимации временных рядов в экономике? 4. Какой критерий в данной работе используется для сравнения точности моделей? 5. На какие составляющие разбивается временной ряд при его декомпозиции? 6. Какие факторы в экономике влияют на наличие сезонной и циклической составляющей временного ряда? 7. Какие типы моделей используются при декомпозиции временного ряда? 8. Какими свойствами должна обладать случайная составляющая? Boris Dobronets Временные ряды Задание 1. Используя индивидуальный файл с данными. Построить тренд с учетом циклической составляющей (квадратичная модель). Построить тренд с учетом циклической составляющей методом скользящего среднего. Используя часть данных, построить прогноз. Сравнить прогноз и реальные данные. 2. Найти в интернете гидрологические данные. Используя часть данных, построить прогноз. Сравнить прогноз и реальные данные. Boris Dobronets Временные ряды Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров. Статистический анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова — М.: ИНФРА–М, 1998. — 528 с. Boris Dobronets Временные ряды