Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Временные ряды
Boris Dobronets
Siberian Federal University,
Krasnoyarsk,
Russia,
e-mail: [email protected]
Boris Dobronets
Временные ряды
Содержание
•
•
•
•
•
Анализ временных рядов
Анализ тенденции развития (тренда) временного ряда
Декомпозиция временного ряда. Анализ сезонных колебаний
Контрольные вопросы
Библиография
Boris Dobronets
Временные ряды
Три основные задачи исследования временных рядов
Первая из них заключается в описании изменения
соответствующего показателя во времени и выявлении тех или
иных свойств исследуемого ряда. Для этого прибегают к
разнообразным способам: расчету обобщающего показателя
изменения уровней во времени — среднего темпа роста;
применению различных сглаживающих фильтров, уменьшающих
колебания уровней во времени и позволяющих более четко
представить тенденции развития; подбору кривых,
характеризующих эту тенденцию; выделению сезонных и иных
периодических и случайных колебаний; измерению зависимости
между членами ряда (автокорреляции). К методам описания
какого-либо свойства динамики можно с некоторым основанием
отнести и методы проверки наличия или отсутствия
долговременных тенденций в ряду.
Boris Dobronets
Временные ряды
Второй важной задачей анализа является объяснение механизма
изменения уровней ряда. Для ее решения обычно прибегают к
регрессионному анализу.
Boris Dobronets
Временные ряды
Третья задача — описание изменения временного ряда и
объяснение механизма формирования ряда часто используются
для статистического прогнозирования, которое в большинстве
случаев сводится к экстраполяции обнаруженных тенденций
развития.
Boris Dobronets
Временные ряды
Анализ временного ряда
Анализ временного ряда и последующее прогнозирование его
развития может использоваться для:
• планирования в экономике, производстве, торговле;
• управления и оптимизации, протекающих в обществе
социально-экономических процессов;
• частичного управления важными параметрами
демографических процессов и экологической ниши общества;
• принятия оптимальных решений в бизнесе.
Boris Dobronets
Временные ряды
Словарь
Trend Analysis – анализ линии тренда с использованием четырех
типов аппроксимирующих кривых (линейная, квадратическая,
экспоненциального роста, логистическая S – кривая).
Decomposition – классическая декомпозиция временных рядов.
Moving Average – вычисление скользящего среднего.
Exp Smoothing – экспоненциальное сглаживание временного ряда.
Lag – смещение рядов на заданное значение.
Autocorrelation – вычисление автокорреляционной функции.
Cross Correlation – вычисление кросскорреляционной функции
(взаимная корреляция).
Boris Dobronets
Временные ряды
Тренд
Понятие тенденция развития не имеет достаточно четкого
определения. Обычно тенденцию стремятся представить в виде
более или менее гладкой кривой, которой соответствует некоторая
функция времени. Эта кривая, назовем ее трендом, характеризует
основную закономерность движения во времени и в известной
мере (но не полностью) свободна от случайных воздействий.
Тренд описывает некоторую усредненную для достаточно
протяженного периода наблюдения тенденцию развития во
времени. В большинстве случаев полученная траектория
связывается исключительно с ходом времени. Предполагается, что
с помощью переменной время можно выразить влияние всех
основных факторов. Механизм их влияния в явном виде не
учитывается.
Boris Dobronets
Временные ряды
Типы моделей
•
•
•
•
Linear – линейная;
Quadratic – квадратическая;
Exponential growth – экспоненциального роста;
S-Curve (Pearl-Reed logistic) – логистическая S – кривая.
Boris Dobronets
Временные ряды
Определение типа модели для аппроксимации тренда временного
ряда — одна из наиболее сложных задач анализа временных
рядов. Оценка коэффициентов уравнения тренда осуществляется
по методу наименьших квадратов (МНК).
Boris Dobronets
Временные ряды
линейная y = a + bt,
параболическая y = a + bt + ct 2 ,
степенная y = at b ,
экспоненциальная y = aekt ,
t
функция Гомперца y = ab ,
логистическая
y=
a
.
(1 + e−ct )
Boris Dobronets
Временные ряды
Модели
Boris Dobronets
Временные ряды
Полигармоническая модель
Boris Dobronets
Временные ряды
№
Годы
1890
1891
1892
1893
1894
1895
1896
1897
1898
1899
1900
сбор
100
78
91
130
139
130
139
122
143
161
152
Цены
100
131
148
114
89
84
85
83
108
109
102
№
Boris Dobronets
Годы
1901
1902
1903
1904
1905
1906
1907
1908
1909
1910
сбор
135
183
174
191
165
143
161
165
204
200
Временные ряды
Цены
101
102
103
104
108
122
155
168
152
133
Наиболее точно описывают имеющиеся данные квадратическая
модель, так как среднеквадратическое отклонение у этой модели
наименьшее. Уравнения тренда, описывающие данные временные
ряды имеют вид:
– для валового сбора хлеба:
Yt = 84.5263 + 7.88980*t - 0.148474*t2
– для цены на хлеб:
Yt = 130.932 - 7.72938*t + 0.433980*t2
Boris Dobronets
Временные ряды
Валовый сбор хлеба
Boris Dobronets
Временные ряды
Цена
Boris Dobronets
Временные ряды
При анализе временного ряда его изменчивость можно разделить
на закономерную (детерминированную) и случайную
составляющие.
Boris Dobronets
Временные ряды
Составная часть временного ряда, остающаяся после выделения
из него закономерных (детерминированных) компонент,
представляет собой случайную, нерегулярную компоненту. Она
является обязательной составной частью любого временного ряда
в экономике, так как случайные отклонения неизбежно
сопутствуют любому экономическому явлению. Если
систематические компоненты временного ряда определены
правильно, что как раз и составляет одну из главных целей при
разработке моделей временного ряда, то остающаяся после
выделения из временного ряда этих компонент так называемая
остаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной
компонентой ряда.
Boris Dobronets
Временные ряды
Случайная компонента
Случайная компонента ряда обладает следующими свойствами:
– случайностью колебаний уровней остаточной
последовательности;
– соответствием распределения случайной компоненты
нормальному закону распределения;
– равенством математического ожидания случайной компоненты
нулю;
– независимостью значений уровней случайной
последовательности, то есть отсутствием существенной
автокорреляции.
Boris Dobronets
Временные ряды
Закономерную или детерминированную составляющую при
анализе экономического временного ряда обычно разбивают на
три составляющие: тренд, сезонную компоненту и циклическую
компоненту.
Boris Dobronets
Временные ряды
Циклическая компонента
Циклическая компонента временного ряда описывает длительные
периоды относительного подъёма и спада. Она состоит из циклов,
которые меняются по амплитуде и протяженности.
Boris Dobronets
Временные ряды
Сезонность
К сезонным относятся такие явления, которые обнаруживают в
своем развитии определенные закономерности более или менее
повторяющиеся из месяца в месяц, из квартала в квартал. Под
сезонностью иногда понимают неравномерность производственной
деятельности в отраслях промышленности, связанных с
переработкой с/х сырья, поступления которого зависит от
времени года. Кроме того, сезонность может возникать из-за
сезонного характера спроса на товары, производимые
промышленностью и т. д. Как бы ни проявлялась сезонность, она
наносит большой ущерб народному хозяйству, который
заключается в неравномерном использовании оборудования и
рабочей силы, неравномерной постановке сырья и загрузке
транспорта в отраслях, связанных с сезонным производством.
Изучение сезонных колебаний необходимо для более ритмичной
работы предприятий.
Boris Dobronets
Временные ряды
Статистическое исследование сезонности ставит следующие
задачи: численно выразить проявление сезонных колебаний;
выявить их силу и характер в условиях отдельных отраслей
народного хозяйства; вскрыть факторы, вызывающие сезонные
колебания; найти экономические последствия проявления
сезонности. Известно несколько способов исследования сезонных
колебаний: способ простых средних, способ относительных чисел,
способ Персонса, способ расчета сезонных волн, базирующийся на
определении тенденции (методом скользящей средней и методом
наименьших квадратов).
Boris Dobronets
Временные ряды
Индексы сезонности
Индексы сезонности являются показателями, характеризующими
результаты сравнения фактических уровней данного месяца или
квартала с уровнями, вычисленными при выявлении основной
тенденции для того же месяца или квартала.
Boris Dobronets
Временные ряды
Месяц \ год
январь
февраль
март
апрель
май
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
ноябрь
декабрь
1992 г.
2015
2123
2624
2891
3335
4071
4040
3392
2467
2092
1494
1562
1993 г.
1759
1773
2361
2649
3203
3936
3861
3321
2438
1760
1299
1345
Boris Dobronets
1994 г.
1510
1484
1988
2211
2559
3209
3204
2687
2031
1506
1050
1054
1995 г.
1172
1226
1651
1859
2392
2864
2714
2420
1925
1338
984
1020
Временные ряды
1996 г.
1038
1104
1439
1521
1827
2446
2369
2081
1577
1081
Молоко
Boris Dobronets
Временные ряды
В результате проведенного анализа можно сделать следующие
выводы:
1. Визуальный анализ графика ряда показывает, что производство
молока имеет тенденцию к сокращению. Это может быть
обусловлено сокращением поголовья молочного стада и общим
снижением производства сельскохозяйственной продукции.
2. Временный ряд подвержен сильным сезонным колебаниям с
максимумом производства в летние месяцы (апрель – сентябрь) и
минимумом – в зимние (октябрь – март). При этом величина
сезонных колебаний пропорциональна среднему уровню
производства.
Следовательно, потребителю молочных продуктов необходимо
быть готовым к сезонным изменениям уровня цен на продукцию:
в летние месяцы — снижение цены, в зимние — возрастание.
Boris Dobronets
Временные ряды
Скользящее среднее
ŷ0 =
m
X
1
yi
2m + 1
i=−m
Boris Dobronets
Временные ряды
Скользящее среднее
ŷl =
l+5
X
1
((yl−6 + yl+6 )/2 +
yi )
12
i=l−5
Boris Dobronets
Временные ряды
МНК
Boris Dobronets
Временные ряды
МНК
Boris Dobronets
Временные ряды
МНК
Boris Dobronets
Временные ряды
МНК
Boris Dobronets
Временные ряды
МНК
ϕ1 , . . . , ϕn ,
n
X
y≈
ai ϕi
i=1
||y −
n
X
ai ϕi ||2 → min
i=1
Aa = b
A = (aij ), aij = (ϕi , ϕj ), bi = (y, ϕi ).
Boris Dobronets
Временные ряды
МНК
y(ti ) = a0 + a1 ti + . . . + al til .
1
(15yj−4 −55yj−3 +30yj−2 +135yj−1 +179yj 135yj+1 +30yj+2 −55yj+3 +15yj+4 )
429
1
ŷj0 =
(86yj−4 −142yj−3 −193yj−2 −126yj−1 +126yj+1 +193yj+2 +142yj+3 −86yj+4
1188h
ŷj =
Boris Dobronets
Временные ряды
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
Boris Dobronets
0.5
0.6
0.7
Временные ряды
0.8
0.9
1
0.1
5 · 10−2
−5 · 10−2
−0.1
0.1
0.2
0.3
Boris Dobronets
0.4
0.5
0.6
Временные ряды
0.7
0.8
0.9
1
Контрольные вопросы
1. Какие три основные задачи анализа временных рядов?
2. Где используются результаты анализа временных рядов?
3. Какие основные математические функции используются при
аппроксимации временных рядов в экономике?
4. Какой критерий в данной работе используется для сравнения
точности моделей?
5. На какие составляющие разбивается временной ряд при его
декомпозиции?
6. Какие факторы в экономике влияют на наличие сезонной и
циклической составляющей временного ряда?
7. Какие типы моделей используются при декомпозиции
временного ряда?
8. Какими свойствами должна обладать случайная составляющая?
Boris Dobronets
Временные ряды
Задание
1. Используя индивидуальный файл с данными.
Построить тренд с учетом циклической составляющей
(квадратичная модель).
Построить тренд с учетом циклической составляющей методом
скользящего среднего.
Используя часть данных, построить прогноз.
Сравнить прогноз и реальные данные.
2. Найти в интернете гидрологические данные.
Используя часть данных, построить прогноз.
Сравнить прогноз и реальные данные.
Boris Dobronets
Временные ряды
Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров. Статистический анализ данных на
компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова — М.: ИНФРА–М, 1998. —
528 с.
Boris Dobronets
Временные ряды