Волноводы. Электрические волны. Магнитные волны

Лекция 10 Волноводы 10.1 Прямоугольный волновод Структуру электромагнитного поля в прямоугольном волноводе можно определить с помощью уже исследованного поля между параллельными плоскостями. Действительно, систему, состоящую из двух параллельных идеально проводящих плоскостей, описываемая уравнениями между (9.4), которыми можно распространяется дополнить двумя волна, другими параллельными идеально проводящими плоскостями, перпендикулярными первым двум и параллельными плоскости x2Ox3. При этом вектор E будет перпендикулярен этим дополнительным плоскостям, и, следовательно, граничное условие E=0 будет удовлетворено при любом расстоянии между дополнительными плоскостями. Таким образом, мы перешли к прямоугольному волноводу с H-волной. В прямоугольном волноводе может распространяться и E-волна, однако в этом случае граничное условие E=0 удовлетворяется на дополнительных плоскостях только при определенных расстояниях между ними. T-волна вследствие невыполнимости граничного условия E=0 при любом расстоянии между дополнительными плоскостями распространяться не может. Рассмотрим прямоугольный волновод, широкая стенка которого имеет размер a и направлена по оси x1, узкая — размером b направлена по оси x2. В этом случае направление распространения поля совпадает с осью x3 (рисунок 10.1). x2 b x1 a x3 Рисунок 10.1 – Прямоугольный волновод Предполагаем, что волновод заполнен средой без потерь с параметрами a и a. Так как стенки выполнены из хорошо проводящего материала, то с большой точностью выполняется граничное условие E=0, т.е. стенки волновода можно считать идеально проводящими. 10.1.1. Электрические волны (𝑬𝒛 ≠ 𝟎, 𝑯𝒛 = 𝟎) В прямоугольном волноводе, являющимся частным случаем линии передачи, в которой энергия распространяется внутри полой металлической трубы, могут существовать волны 𝐸𝑚𝑛 и 𝐻𝑚𝑛 и невозможно существование волн Т. Анализ начнем с электрических волн. Начало декартовой системы координат поместим в одну из вершин прямоугольника, а оси системы совместим со сторонами прямоугольника, как показано на рисунке. Поперечные составляющие векторов ⃗ 𝐸⃗ и 𝐻 у волн 𝐸𝑚𝑛 через продольную составляющую 𝐸𝑍 . Поэтому структура поля в волноводе определяется, если найдены решения уравнения Гельмгольца, имеющие в декартовой системе координат вид 𝜕 2 𝐸𝑍 𝜕 2 𝐸𝑍 + + 𝑘⊥2 𝐸𝑍 = 0. 2 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Это уравнение является дифференциальным уравнением в частных производных и решается методом разделения переменных, т.е. решение представляется в виде произведения 𝐸𝑍 = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦)𝑒 −𝑖𝛾𝑧 , где X(x) – функция только координаты х, Y(y) – функция только координаты у. Подставляя в исходное уравнение, получаем после почленного деления на произведение 𝑋𝑌𝑒 −𝑖𝛾𝑧 1 𝑑2𝑋 1 𝑑2𝑌 + = −𝑘⊥2 , 2 2 𝑋 𝑑𝑥 𝑌 𝑑𝑦 где х и у – независимые переменные. Поэтому равенство возможно, если только 1 𝑑2𝑋 𝑋 𝑑𝑥 2 = −𝑘х2 и 1 𝑑2𝑌 𝑌 𝑑𝑦 2 = −𝑘𝑦2 , где константы 𝑘х2 и 𝑘𝑦2 связаны соотношением 𝑘𝑦2 + 𝑘х2 = 𝑘⊥2 . Решение полученных уравнений, которые могут быть переписаны в форме 𝑑2𝑋 𝑑𝑥 2 𝑑2𝑌 𝑑𝑦 2 + 𝑘х2 𝑋 = 0 + 𝑘𝑦2 𝑌 = 0, как известно, имеют вид: 𝑋 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 𝑥; 𝑌 = 𝐶𝑐𝑜𝑠𝑘𝑦 𝑦 + 𝐷𝑠𝑖𝑛𝑘𝑦 𝑦 . Подставляя в выражение для 𝐸𝑧 , получаем 𝐸𝑧 = (𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 𝑥) + 𝐵 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 𝑥))(С ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑦 𝑦) + 𝐷 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑦 𝑦) )𝑒 −𝑖𝛾𝑧 . (10.1) Так как стенки волновода предполагаются идеально проводящими, то на их поверхности касательная составляющая электрического поля должна равняться нулю. В данном случае эти условия сводятся к тому, что Ez=0 при х=0, х=а и Ez=0 при у=0, у=b. Полагая х=0 и х=а, получим два уравнения 𝐴(𝐶𝑐𝑜𝑠𝑘𝑦 𝑦 + 𝐷𝑠𝑖𝑛𝑘𝑦 𝑦)𝑒 −𝑖𝛾𝑧 = 0; (𝐴𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 а + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 а)(𝐶𝑐𝑜𝑠𝑘𝑦 𝑦 + 𝐷𝑠𝑖𝑛𝑘𝑦 𝑦 )𝑒 −𝑖𝛾𝑧 = 0 ; Эти равенства удовлетворяются при произвольных значениях у, если А=0 и B·sin(kxа)=0. Аналогичным образом, полагая у=0, у=b приходим к соотношениям С=0 и 𝐷 · 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑦 𝑏) = 0. Полученные равенства выполняются при В≠0 и D≠0, когда 𝑘𝑥 а = 𝑚𝜋 и 𝑘𝑦 𝑏 = 𝑛𝜋, где m и n – произвольные целые положительные числа. При m=0 и n=0 продольная составляющая 𝐸𝑧 тождественно равна нулю, что соответствует отсутствию волны 𝐸𝑚𝑛 . Поэтому 𝑚 ≥ 1 и 𝑛 ≥ 1. Таким образом, находим 𝑘𝑥 = 𝑚𝜋 , 𝑘𝑦 = 𝑎 𝑛𝜋 𝑏 . (10.2) Подставляя значения A, C, 𝑘𝑥 и 𝑘𝑦 в (12) получаем 𝐸𝑧 = 𝐸0𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝑚𝜋𝑥 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑦 𝑏 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 , (10.3) где через 𝐸0𝑧 обозначим произведение BD, имеющее смысл амплитуды продольной составляющей напряженности электрического поля. Эта величина не может быть определена из граничных условий, т.к. амплитуда составляющих поля зависит от мощности источника, возбуждающего электромагнитную волну в волноводе. Подставляя в (9.4) вместо 𝐸𝑧 его значение из (10.3) и положив 𝐻𝑍 = 0, определяем поперечные составляющие поля: 𝐸𝑥 = − 𝐸𝑦 = − 𝐻𝑥 = 𝑚𝜋 2 𝑎 2 𝑘⊥ =− 𝜕𝑥 𝑖𝛾 𝜕𝐸𝑧 2 𝑘⊥ 2 𝑘⊥ =− 𝜕𝑦 𝑖𝜔𝜀𝑎 𝜕𝐸𝑧 𝐻𝑦 = − где 𝑘⊥ = √( 𝑖𝛾 𝜕𝐸𝑧 𝜕𝑦 = 𝑖𝜔𝜀𝑎 𝜕𝐸𝑧 2 𝑘⊥ 𝜕𝑥 𝑖𝛾𝑘𝑥 2 𝑘⊥ 𝑖𝛾𝑘𝑦 2 𝑘⊥ 𝑖𝜔𝜀𝑎 𝑘𝑦 2 𝑘⊥ =− 𝐸0𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝐸0𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝑚𝜋𝑥 𝐸0𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝜋𝑥 𝑖𝛾𝑘𝑥 2 𝑘⊥ 𝑚𝜋𝑥 𝑎 𝐸0𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋𝑦 𝑚𝜋𝑥 𝑎 𝑏 𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝑏 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 𝑛𝜋𝑦 𝑏 (10.4) 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 𝑛𝜋 2 ) + ( 𝑏 ) согласно (10.2). Изменения всех составляющих вдоль продольной оси z описывается множителем 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 . Как следует из выражений (10.3) и (10.4), структура поля в плоскости поперечного сечения соответствует структуре стоячих волн, причем m равно числу полуволн, укладывающихся вдоль стенки длиной «а», и n- числу полуволн, укладывающихся вдоль стенки длиной «в». Согласно тем же выражениям каждой паре целых числе m и n соответствует определенная структура электромагнитного поля, обозначаемая 𝐸𝑚𝑛 . Например, 𝐸11 - это волна 𝐸𝑚𝑛 ,у которой m=1, n=1. Структура волны 𝐸11 в некоторый фиксированный момент времени для трех сечений волновода имеет вид, показанный на рисунке 10.2. x2 x2 x1 x3 x1 x3 Рисунок 10.2 – Структура волны Е11 в прямоугольном волноводе Ориентация составляющих электрического и магнитного полей в каждой точке определяется из равенств (10.3) и (10.4). Критическая длина волны, определяется из соотношения 𝜆кр 𝑚𝜋 2 𝑛𝜋 2 √ = с⁄𝑓кр = 2𝜋⁄ 𝑘⊥ = 2𝜋⁄ ( ) + ( ) 𝑎 𝑏 Постоянная распространения, длина волны в направляющей системе, фазовая скорость и скорость переноса энергии, характеристическое сопротивление определяются соответственно из ранее полученных формул: 2 𝜆 𝛾 = 𝑘√1 − 1 − ( ) ; 𝜆кр 2 𝜆 𝜆с = 𝜆⁄√1 − ( ) ; 𝜆кр 𝑉ф = c⁄√1 − ( 2 𝜆 𝜆кр ) ; (10.5) 2 𝜆 𝑉э = c√1 − ( ) ; 𝜆кр 𝑍𝐸𝑚𝑛 = 𝑍0 √1 − ( 𝜆 𝜆кр )2 . (10.5а) Среди волн 𝐸𝑚𝑛 , наибольшей критической длиной волны обладает волна 𝐸11 . Волны 𝐸𝑚𝑛 с различной структурой поля, которым соответствуют одинаковые значения 𝑘⊥ , имеют равные постоянные распространения, фазовые скорости и скорости распространения энергии. Волны, обладающие этим свойством, называются вырожденными. В прямоугольном волноводе две волны 𝐸𝑚1𝑛1 и 𝐸𝑚2𝑛2 вырождены, когда ( 𝑚1 2 ) 𝑎 𝑛 + ( 1 )2 = ( 𝑏 𝑚2 2 ) 𝑎 𝑛 + ( 2 )2 . 𝑏 10.1.2 Магнитные волны (𝑯𝒛 ≠ 𝟎, 𝑬𝒛 = 𝟎) В данном случае поперечные составляющие поля выражаются через 𝐻𝑧 по формулам (9.3), (9.4). Составляющая 𝐻𝑧 определяется из уравнения 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐻𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 + 2 + 𝑘⊥2 𝐻𝑧 = 0 аналогично тому, как это было сделано при определении 𝐸𝑧 . Выполнив необходимые преобразования, получим 𝐻𝑧 = ((𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 а) + 𝐵 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥 а))(𝐶 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑦 𝑦) + 𝐷 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑦 𝑦) )𝑒 −𝑖𝛾𝑧 (10.6) На поверхности идеально проводящих стенок волновода должно выполняться граничное условие: 𝐸𝑦 = 𝐸𝑥 = Подставляя 𝑖𝜔𝜇𝑎 𝜕𝐻𝑧 𝑖𝜔𝜇𝑎 𝜕𝐻𝑧 | = | = 0; 𝑥=0 𝑘⊥2 𝜕𝑥 𝑘⊥2 𝜕𝑥 𝑥=𝑎 𝑖𝜔𝜇𝑎 𝜕𝐻𝑧 𝑖𝜔𝜇𝑎 𝜕𝐻𝑧 | = − | = 0. 𝑦=0 𝑘⊥2 𝜕𝑦 𝑘⊥2 𝜕𝑦 𝑦=𝑏 (10.6) в эти соотношения, получаем: B=0, D=0; A·cos(𝑘𝑥 а) = 0; С·cos(kyy)=0. Из этого следует, что у волн 𝐻𝑚𝑛 как и у волн 𝐸𝑚𝑛 𝑘𝑥 = 𝑚𝜋 𝑎 и 𝑘𝑦 = 𝑛𝜋 𝑏 . Таким образом, в прямоугольном волноводе при равных значениях индекса m и равных значениях индекса n критическая длина волны, постоянная распространения, фазовая скорость и скорость переноса энергии у волн 𝐻𝑚𝑛 то же, что и у волн Е𝑚𝑛 , т.е. волны 𝐻𝑚𝑛 и 𝐸𝑚𝑛 с равными индексами являются вырожденными. Подставляя в (10.6) значения B, D, 𝑘𝑥 и 𝑘𝑦 , получаем 𝐻𝑧 = 𝐻0𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝜋𝑥 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋𝑦 𝑏 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 (10.7) где 𝐻0𝑧 = АС – амплитуда продольной составляющей магнитного поля. Поперечные составляющие определяем из (9.3) и (9.4), подставляя в них вместо 𝐻𝑧 его значение из (10.11) и положив 𝐸𝑧 = 0 𝐸𝑥 = − 𝐸𝑦 = 𝑖𝜔𝜇𝑎 𝑘𝑦 2 𝑘⊥ 𝑖𝜔𝜇𝑎 𝑘𝑥 𝐻𝑥 = 𝐻𝑦 = 2 𝑘⊥ 𝑖𝛾𝑘𝑥 2 𝑘⊥ 𝑖𝛾𝑘𝑦 2 𝑘⊥ 𝐻0𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝐻0𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝑚𝜋𝑥 𝑎 𝑚𝜋𝑥 𝑎 𝐻0𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝑚𝜋𝑥 𝐻0𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝜋𝑥 𝑎 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋𝑦 𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜋𝑦 𝑏 𝑏 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 (10.8) Структура поля нескольких волн 𝐻𝑚𝑛 представлена рисунках 10.3, 10.4. Рисунок 10.3 – Структура волны Н10 в прямоугольном волноводе Рисунок 10.4 – Структура волн Н20 и Н11 в прямоугольном волноводе на Из (10.7) и (10.8) следует, что у волн 𝐻𝑚𝑛 , как и у волн Е𝑚𝑛 , структура поля в плоскости поперечного сечения соответствует структуре стоячих волн. Волны 𝐻𝑚𝑛 , как и волны Е𝑚𝑛 , являются вырожденными, когда они имеют различную структуру (различное сочетание индексов m и n), но одинаковые 𝑘⊥ . Как следует из равенств (10.7) и (10.8), у волн 𝐻𝑚𝑛 в отличие от волн Е𝑚𝑛 , обращение в нуль одного из индексов (m или n) не влечет за собой обращение в нуль всех составляющих поля. Поэтому, если полагать, что a>b, то наибольшую критическую длину волны среди волн 𝐻𝑚𝑛 является волна 𝐻 𝐻 𝐸 𝐻10 , у которой 𝜆кр10 = 2а. Поскольку 𝜆кр10 > 𝜆кр11 , то волна 𝑯𝟏𝟎 является низшим (основным) типом волн среди всех возможных типов волн в прямоугольном волноводе. Это означает, что если 𝜆 > 2𝑎 , то передача энергии по прямоугольному волноводу невозможна. Постоянная распространения 𝛾, фазовая скорость 𝜗ф и скорость переноса энергии 𝜗э волн 𝐻𝑚𝑛 определяются по формулам (10.5), а характеристическое сопротивление – по формуле 𝑍𝐻𝑚𝑛 = 𝑍0 ⁄√1 − ( 𝜆0 2 ) . 𝜆кр (10.5б) Волна 𝑯𝟏𝟎 Рассмотрим подробнее свойства волны 𝐻10 , широко используемой в технике СВЧ. Волна 𝐻10 имеет наибольшую критическую длину. Поэтому на заданной частоте размеры поперечного сечения волновода, при которых возможна передача энергии по прямоугольному волноводу, для этой волны наименьшее и, следовательно, меньше вес и габариты волновода, ниже его стоимость. Полагая m=1 и n=0 , получаем следующие выражения для составляющих поля волн 𝐻𝑧 = 𝐻𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝐸𝑥 = 𝑖𝜔𝜇𝑎 𝑎 𝜋 𝜋𝑥 𝑎 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 ; 𝐻0𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑥 𝑎 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 ; 𝐻𝑥 = 𝑖𝛾𝑎 𝜋 𝐻0𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑥 𝑎 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 , 𝐸𝑥 = 𝐻𝑦 = 0 . Структура поля волны 𝐻10 , построенная в соответствии с этими выражениями, представлена выше на рисунке 10.5. Основные волновые параметры 𝛾 = 𝑘√1 − 1 − ( 𝜗ф = 𝑐⁄√1 − ( 𝜆 2 ) ; 2𝑎 𝜆 2 ) ; 2𝑎 𝜆 2 𝜗э = c√1 − ( ) 2𝑎 (10.9) 𝜆 2 𝜆с = 𝜆/√1 − ( ) 2𝑎 𝑍𝐻10 = 𝑍0 ⁄√1 − ( 𝜆 2 ) 2𝑎 Заметим, что ближайшим высшим типом волны является волна 𝐻20 , у 𝐻 которой 𝜆кр20 = а. Для того, что бы волна 𝐻10 была распространяющейся, а 𝜆 𝐻20 – затухающей необходимо, чтобы < 𝑎 < 𝜆. 2 10.2 Круглый волновод 10.2.1 Электрические волны (𝑬𝒛 ≠ 𝟎, 𝑯𝒛 = 𝟎) В круглом волноводе, как и в прямоугольном волноводе, возможно раздельное существование волн Е𝑚𝑛 и 𝐻𝑚𝑛 и невозможно распространение волн Т. При анализе естественно использовать цилиндрическую систему координат 𝜌, 𝜑, 𝑧, совместив z с продольной осью волновода (рисунок 10.5). Уравнение Гельмгольца в цилиндрической системе координат имеет вид 𝜕2 𝐸𝑧 𝜕𝜌2 + 1 𝜕2 𝐸𝑧 𝜌 𝜕𝜌2 + 1 𝜕2 𝐸𝑧 𝜌2 𝜕𝜑2 + 𝑘⊥2 𝐸𝑧 = 0. Рисунок 10.5 – К исследованию круглого волновода Представив решение этого уравнения в форме 𝐸(𝜌, 𝜑) = 𝑅(𝜌) ∙ Ф(𝜑), получаем Ф(𝜑) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑚𝜑) + 𝐵 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑚𝜑) = 𝐴1 ∙ 𝑐𝑜𝑠[𝑚 ∙ (𝜑 − 𝜑0 )] где 𝐴1 = √𝐴2 + 𝐵2 ; φ0=arctg (A/B); m – целое число; 𝑅(𝜌) = 𝐶𝐽𝑚 (𝑘⊥ 𝜌) + 𝐷𝑁𝑚 (𝑘⊥ 𝜌). Функция Бесселя второго рода, как известно, при 𝜌 ⟶ 0 стремится к бесконечности (рисунок 10.8). Т.к. напряженность поля в любой точке волновода должна быть ограничена, то необходимо положить D=0. Таким образом 𝐸𝑧 = 𝐸0𝑧 ∙ 𝐽𝑚 (𝑘⊥ 𝜌) ∙ 𝑐𝑜𝑠[𝑚 ∙ (𝜑 − 𝜑0 )] ∙ 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 , где 𝐸0𝑧 = 𝐴1 𝐶 – амплитуда продольной составляющей электрического поля. Подставляя выражение для 𝐸𝑧 и учитывая, что 2𝐸 𝑧 𝜕𝜌2 ⃗ 𝐸𝑧 = 𝜌0 𝜕 ∇ определяем поперечные сост. Поля: +𝜑 ⃗0 1 𝜕2 𝐸𝑧 𝜌 𝜕𝜑2 , 𝐸𝜌 = − 𝐸𝜑 = 𝐻𝜌 = − 𝑖𝑚𝛾 2𝜌 𝑘⊥ ∙ 𝐸0𝑧 ∙ 𝐽𝑚 (𝑘⊥ 𝜌) ∙ 𝑠𝑖𝑛[𝑚 ∙ (𝜑 − 𝜑0 )] ∙ 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 (10.10) 𝑖𝜔𝜀𝑎 𝑚 ∙ 𝐸0𝑧 ∙ 𝐽𝑚 (𝑘⊥ 𝜌) ∙ 𝑠𝑖𝑛[𝑚 ∙ (𝜑 − 𝜑0 )] ∙ 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 2 𝑘⊥ 𝐻𝜑 = − График 𝑖𝛾 / ∙ 𝐸0𝑧 ∙ 𝐽𝑚 (𝑘⊥ 𝜌) ∙ 𝑐𝑜𝑠[𝑚 ∙ (𝜑 − 𝜑0 )] ∙ 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 𝑘⊥ 𝑖𝜔𝜀𝑎 / (𝑘 (𝜑 − 𝜑0 )] ∙ 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 2 ∙ 𝐸0𝑧 ∙ 𝐽𝑚 ⊥ 𝜌)𝑐𝑜𝑠[𝑚 ∙ 𝑘⊥ функций Бесселя имеет вид затухающих синусоид (рисунок 10.6). Все J n ( x) за исключением J n ( x) при x  0 обращаются в нуль, J 0 (0)  1. Корни уравнения J n ( x) представляют значения, соответствующие точкам пересечения функции J n ( x) с осью x. Это значения Anm, где n – порядок функций Бесселя; m – номер корня. рnm – корни уравнения J n ( x)  0, т.е. точки пересечения функции J n ( x) с осью x. Рисунок 10.6 – Функции Бесселя I и II рода Таким образом, k  pnm . a Критическая длина волны кр  2 2 a  . k pnm Индекс m соответствует числу целых стоячих волн вдоль окружности волновода, индекс n - числу целых стоячих волн вдоль радиуса волновода. В таблице 10.1 приведены значения относительной критической длины волны для первых 11 типов волн Emn. Таблица 10.1 – Значения относительной критической длины волны Тип волны E01 E11 E21 E02 E31 E12 E41 E22 E03 E51 E32 2,405 3,832 5,135 5,520 6,379 7,016 7,586 8,417 8,654 8,771 9,760 рnm 2,61 1,64 1,22 1,14 0,985 0,895 0,83 0,75 0,73 0,72 0,64 кр/a Основные параметры, такие как постоянная распространения, длина волны в направляющей системе, фазовая скорость, скорость переноса энергии и характеристическое сопротивление волн Е𝑚𝑛 в круглом волноводе рассчитываются по формулам (10.5) и (10.5а), наибольшую критическую длину волны имеет волна Е01. Структура поля волны 𝐸01 , построенная в соответствии с выражением для 𝐸𝑧 представлена на рисунке 10.7. Рисунок 10.7 – Картина силовых линий волн Е01 10.2.2 Магнитные волны (𝑯𝒛 ≠ 𝟎, 𝑬𝒛 = 𝟎) Решая уравнение Гельмгольца относительно волны Нz 𝜕 2 Нz 1 𝜕𝐻z 1 𝜕 2 𝐻z + + 2 + 𝑘⊥2 𝐻z = 0 2 2 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜑 𝜌 𝜕𝜑 получаем следующее выражение для продольной составляющей магнитного поля в круглом волноводе: 𝐻𝑧 = 𝐻0𝑧 ∙ 𝐽𝑚 (𝑘⊥ 𝜌) ∙ 𝑐𝑜𝑠[𝑚 ∙ (𝜑 − 𝜑0 )] ∙ 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 . Подставляя это выражение в соотношения (9.3) и (9.4) и учитывая, что 2𝐻 𝑧 𝜕𝜌2 ⃗  𝐻𝑧 = 𝜌0 𝜕 ∇ +𝜑 ⃗0 1 𝜕2 𝐻𝑧 𝜌 𝜕𝜑2 , определяем поперечные составляющие поля: 𝐸𝜌 = 𝑗𝜔𝜇𝑎 𝑚 ∙ 𝐻0𝑧 ∙ 𝐽𝑚 (𝑘⊥ 𝜌) ∙ 𝑠𝑖𝑛[𝑚 ∙ (𝜑 − 𝜑0 )] ∙ 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 2 𝑘⊥ 𝜌 𝐸𝜑 = 𝑖𝜔𝜇𝑎 / ∙ 𝐻0𝑧 ∙ 𝐽𝑚 (𝑘⊥ 𝜌) ∙ 𝑐𝑜𝑠[𝑚 ∙ (𝜑 − 𝜑0 )] ∙ 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 2 𝑘⊥ 𝜌 𝐻𝜌 = − 𝐻 = − 𝑖𝛾 𝑘⊥ / ∙ 𝐻0𝑧 ∙ 𝐽𝑚 (𝑘⊥ 𝜌) ∙ 𝑐𝑜𝑠[𝑚 ∙ (𝜑 − 𝜑0 )] ∙ 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 (10.11) 𝑖𝑚𝛾 (𝑘⊥ 𝜌) ∙ 𝑠𝑖𝑛[𝑚 ∙ (𝜑 − 𝜑0 )] ∙ 𝑒 −𝑖𝛾𝑧 2 ∙ 𝐻0𝑧 ∙ 𝐽𝑚 𝑘⊥ 𝜌 Для определения поперечного волнового числа E𝜑 |𝜌=𝑎 = 0, т.е. 𝐽/ 𝑚 (𝑘⊥ 𝜌) = 0. Обозначая n-й корень производной функции Бесселя m-го порядка p/ 𝑚𝑛 , находим 𝑘⊥ = p/ 𝑚𝑛 ⁄𝑎. Нумерация волн аналогична волнам типа Е. При m или n=0 волна Н не распространяется. Первым типом волны является H11. В таблице 10.2 приведены значения относительной критической длины волны для первых 11 типов волн Нmn. Как видно из таблицы, наибольшую критическую длину волны имеет волна Н11, причем не только для волн магнитного типа, но и для волн всех типов, а, следовательно, волна Н11 является волной низшего или основного типа для круглого волновода. Основные параметры, такие как постоянная распространения, длина волны в направляющей системе, фазовая скорость, скорость переноса энергии волн Н𝑚𝑛 в круглом волноводе рассчитываются по формулам (10.5), а характеристическое сопротивление – по формуле (10.5б). Таблица 10.2 – Значения относительной критической длины волны Тип волны H11 р /nm кр/a 1,84 3,41 H21 H01 H31 H41 H12 H51 H22 H02 H61 H32 3,05 2,06 3,83 1,64 4,20 1,5 5,32 1,18 5,33 1,178 6,42 0,98 6,71 0,93 7,02 0,896 7,50 0,84 8,02 0,78 Структура волн Нmn показана на рисунке 10.8. Рисунок 10.8 – Структура поля волн Нmn Структура поля H11 имеет вид, аналогичный структуре поля H10 в прямоугольном волноводе; структура E01 аналогична E11 в прямоугольном волноводе. При плавном переходе от прямоугольного волновода к круглому H10 переходит в H11, E11 — в E01. Вследствие осевой симметрии волну E01 применяют во вращающихся соединениях. Волна H01 имеет структуру поля, получаемую из структуры E01, если поменять местами электрические и магнитные составляющие. При всех типах волн за исключением H01 в круглом волноводе потери в стенках волновода при увеличении частоты увеличиваются. При H01 они уменьшаются, так как тангенциальная составляющая вектора H, определяющая энергию, поглощаемую стенками, уменьшается по сравнению с поперечной составляющей, определяющей передаваемую волноводом мощность. Однако в круглом волноводе волна H01 неустойчива и даже при небольшой эллиптичности сечения она превращается в волну E11, обладающую той же критической частотой, но большими потерями. Для устойчивого существования волны H01, волновод делают из изолированных колец или из изолированного провода. 10.3 Энергетические соотношения для волноводов Прямоугольный волновод Мощность, переносимая волной любого типа определяется выражением Для волны Н10 где Е0 – максимальная амплитуда напряженности электрического поля в волноводе. Максимальная переносимая (предельная) мощность в волноводе определяется максимально допустимой (пробивной) напряженностью электрического поля в волноводе. Для сухого воздуха при атмосферном давлении Епред=30кВ/см. Зависимость предельной мощности, передаваемой волной H10 прямоугольного волновода, от длины волны описывается формулой 2    Pпред  ab 1   H0 10    1,51   КР  , кВт, EПРЕД 2 где (10.12) a, b – поперечные размеры прямоугольного волновода, см; EПРЕД – предельно допустимая напряженность электрического поля, кВ/см. График зависимости, построенный по этой формуле, показан на рисунке 10.9. Заштрихованные области соответствуют нерабочим областям  характеристики. Так, длинам волн 0  0,5 H10 и короче соответствует КР область, в которой возможно существование высших типов волн, а при 0  (0,9...1,0) КР H10 волновод приближается к запредельному, что сопровождается резким снижением передаваемой мощности. Рабочей принято считать область, в которой существует только низший тип H10, а передаваемая по волноводу мощность снижается не более чем в 2 раза по сравнению с максимальной (соответствующей границе одноволнового и многоволнового режимов). Рисунок 10.9 – Зависимость предельной передаваемой на волне H10 мощности от относительной длины волны Значение допустимой передаваемой мощности определяется из соотношения: Pдоп  (0, 2...0,3) Pпред . Предельный рабочий диапазон волн определяется одноволновым режимом работы волновода    H10 КР   H 20 КР . На практике принимается   25% СР . Круглый волновод Аналогично для волны Н11 круглого волновода мощность, переносимая волной Предельная передаваемая волной низшего типа (H11) мощность: Pпред  2 103  a 2 EПРЕД 1,58 2    1     КР  , кВт, (10.13) где a — в см; EПРЕД — в кВ/см. Затухание волн в волноводах Потери волн в волноводах являются совокупностью потерь, вносимых диэлектриком, заполняющим волновод и затухания в стенках волновода:  =  м + д . Коэффициент ослабления вследствие потерь в металлических стенках для любой волны в волноводе произвольного сечения где Rs  a - поверхностное сопротивление металла; 2 Нτ – составляющая магнитного поля, тангенциальная к поверхности металла. Для волн типа Н10 в прямоугольном волноводе для волн типа Hmn в прямоугольном волноводе Для волн типа Еmn в прямоугольном волноводе Для волн типа Hmn в круглом волноводе Здесь 𝜇𝑚𝑛 = 𝑝 / 𝑚𝑛 . Для волн типа Еmn в круглом волноводе Коэффициент ослабления за счет потерь в диэлектрике Здесь g=k. На рисунке 10.10 приведены примеры зависимостей потерь в прямоугольном и круглом волноводах для разных типов волн от частоты. Размер широкой стенки прямоугольного волновода a=5 см, диаметр поперечного сечения круглого волновода d=5 см. Рисунок 10.10 - Зависимости потерь в прямоугольном (штриховая линия, волна H10) и круглом (сплошные линии) волноводах от частоты Характерной особенностью, обусловленной структурой поля, является снижение потерь при росте частоты для волны круглого волновода H01, в то время как при работе на других типах волн с ростом частоты потери увеличиваются. Данная особенность дает возможность строить высокодобротные цилиндрические объемные резонаторы, работающие на волне H01n, где n - число полуволн, укладывающихся на длине резонатора. Это, однако, требует применения фильтров типов волн, исключающих распространение типов колебаний с меньшими, чем у H01, критическими частотами.