Включение цепи RL на постоянное напряжение.

Включение цепи RL на постоянное напряжение. Определить характер изменения i(t) и u1(t), если известны U, R, L (рис. 1) Рис. 1 1. Составляем дифференциальное уравнение . 2. i = iпр + iсв = - дифференциальное уравнение 1-го порядка и характеристическое уравнение имеет 1 корень. 3. iпр = . 4. Способ 1: Однородное дифференциальное уравнение . Характеристическое уравнение: R + Lp = 0; p = - . Способ 2: Zвх(jω) = R + jωL; Z(p) = R + pL = 0 откуда p = - . 5. i(0-) = 0 = i(0+). 6. i = iпр + = + . В момент времени t(0+) i(0+) = 0 = + A ; A = - . i = - . Перепишем iсв в виде iсв = - ; ; . Где τ – постоянная времени электрической цепи. Величина τ равна времени, в течение которого свободная составляющая затухает (изменяется) в е = 2,718 раз. Длительность переходного процесса теоретически равна ∞. За время, равное (4 - 6) τ свободная составляющая уменьшается до 1% от своего максимального значения и практически переходный процесс можно считать законченным. Постоянная времени τ равна подкасательной в любой точке кривой i(t) или uL(t) (рис. 2). uL = . Рис. 2 Величина подкасательной для любой точки свободной составляющей всегда равна τ (рис. 3). Рис. 3 Включение цепи RC на постоянное напряжение По схеме на рис. 4 разберем данный случай включения: Рис. 4 1. Составляем дифференциальное уравнение Ri + uC = RС uC = E. 2. uC = uспр + uссв = uспр + . 3. uспр = Е. 4. Характеристическое уравнение RCp + 1 = 0 ; p = - . Z = R + ; Z(p) = ; RCp + 1 = 0; p = - . 5. – 6. uC (0-) = 0 = uC (0+) - независимые начальные условия 7. uC = E + . При t = 0+ 0 = E +A, откуда A = -E; uC = E - E; i = C = C(-E) = . Перепишем uC cв в виде: uC cв = - E . Обозначим τ = , где τ = RС – постоянная времени электрической цепи. Величина τ равна времени, в течение которого свободная составляющая затухает (изменяется) в е = 2,718 раз (рис. 5, 6). [ τ ] = . Рис. 5 Рис. 6 Включение цепи RL на синусоидальное напряжение По схеме на рис. 7 разберем данный случай включения: Рис. 7 e = Em sin (ωt + Ψe). Расчет ведем по обычной схеме 1. Составляем дифференциальное уравнение Ri + L = Em sin (ωt + Ψe). 2. Подставляем искомую величину в виде суммы принужденной и свободной составляющих. i = iпр + icв = iпр +, т.к. характеристическое уравнение 1-го порядка имеет 1 корень. 3. Определяем принужденную составляющую. Расчет ведем комплексным методом. Ėm = EmejΨe ; Z = R + jωL = e jφ ; =; φ = . İmпр = = Im e j(Ψe – φ) = Im e jΨi; iпр = Im sin (ωt + Ψi). 4. Характеристическое уравнение Lp + R = 0; p = - . 5.- 6. Независимые начальные условия i(0-) = 0 = i(0+). 7. Находим постоянную интегрирования i = Im sin (ωt + Ψi) +, при t = (0+) 0 = Im sin Ψi + A; A = -Im sin Ψi; i = Im sin (ωt + Ψi) - Im sin Ψi. Рис. 8 На графике (рис. 8) изображен данный переходный процесс. Пусть параметры цепи R, L, ω такие, что φ = Ψе, тогда İmпр = Im e j0; iпр = Im sin ωt. Найдем iсв при t=0+ 0 = 0 + А => A = 0 ; iсв = 0. В схеме отсутствует переходный процесс. Сразу наступает установившийся режим работы (рис. 9). uL = L = L [ ω Im sin (ωt + Ψi + ) - Im sin Ψi ]; uL = ωL Im sin (ωt + Ψi + ) + R Im sin Ψi . Рис. 9 Рис. 10 Рис. 1 Если ψe-φ=π/2 и τ>>T, то в переходном процессе мгновенное значение тока может достигать удваивания амплитуды (рис. 10, 11). Это неблагоприятно сказывается на изоляции проводников.