Винтовые и спиральные поверхности.

4. Винтовые и спиральные поверхности Наряду с простыми поверхностями (цилиндр, конус, сфера и т. п.) в технике и архитектуре применяются поверхности более сложного образования: винтовые (геликоид, винтовой тор и т.п.) и спиральные поверхности. Винтовая поверхность, образуется сложением равномерно вращательного движения плоской кривой вокруг неподвижной оси и переносом вдоль этой оси по определенному закону. Шагом винтовой поверхности называется линейное перемещение образующей за один полный оборот. Он может быть постоянный и переменный. Если подъем сопутствует вращению вокруг оси против часовой стрелки, то винтовая поверхность правосторонняя, в противном случае – левосторонняя. Винтовая линейчатая поверхность, получающаяся при вращении прямой (образующей) с постоянной угловой скоростью вокруг оси и одновременном равномерном поступательном движении этой прямой в направлении оси называется геликоидом. В этом случае винтовая поверхность будет постоянного шага. Если прямая пересекает ось вращения, то геликоид называется закрытым; если не пересекает – открытым. Геликоид называется прямым, если образующие перпендикулярны к оси винтового движения (рис. 41), в противном случае – наклонным или косым (рис. 42). Прямой геликоид, у которого прямая пересекается с осью называют винтовым коноидом. Если прямолинейная образующая скрещивается с осью, то прямой геликоид называют винтовым цилиндроидом. Винтовые поверхности имеют большое значение в технике и архитектуре (рис. 43-45). Чаще всего они используются в крепежных деталях, в червячных передачах и винтовых транспортерах и машинах для перемещения сыпучих материалов. а) б) Рис. 41. Прямой геликоид: а – закрытый; б – открытый а) б) Рис. 42. Косой геликоид: а – закрытый; б – открытый У наклонного геликоида прямолинейная образующая при винтовом движении во всех своих положениях наклонена к оси под постоянным углом не равным 90°. Поэтому можно сказать, что образующая в каждый момент движения будет параллельна образующим конуса вращения, называемого направляющим конусом. Это свойство равнонаклонности поверхности используется при сооружении поворотов на скоростных автодорогах, велотреках и т. п. Рис. 43. Примеры применения геликоидов в технике Рис. 44. Примеры применения геликоидов в строительстве а) б) Рис. 45. Спиралеобразные небоскребы: а - «Чикагский шпиль», б «Башня эволюции» Спиральные поверхности получаются сложением вращательного движения линии переменного размера вокруг оси координат и переносом еѐ вдоль оси по определенному закону. Кинематическая модель винтовых и спиральных поверхностей: , 0 t (5) 2 n где po(τ) – исходное состояние образующей линии (прямая или окружность) единичного размера; – матрица преобразования образующей при ее движении вдоль направляющей траектории; s(t) – функция изменения положения и размера образующей линии; R(t) – матрица вращения вокруг оси координат; pн(t) – параметрическое уравнение направляющей; n – число витков. Найдем модель геликоида, у которого прямая пересекает ось под прямым углом. Образующая 0 совершает n оборотов вокруг 0 0 оси y без изменения длины s(t) = 1 и перемещается вверх с постоянным 0 Подставив po(τ) и pн(t) в (5), шагом h по траектории запишем модель винтового коноида (рис. 46): . Рис. 46. Винтовой коноид Построение прямого геликоида на комплексном чертеже начинают с построения проекций направляющих: цилиндрической винтовой линии и еѐ оси (рис. 47). Затем строят проекции образующей по мере ее вращения вокруг оси, которая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма (плоскость проекций H), являясь фронтальной линией уровня. Рис. 47. Построение прямого геликоида на комплексном чертеже Цилиндрическая винтовая поверхность (полоса) образовывается движением прямолинейной образующей длиною меньше шага параллельно оси винтовой направляющей. Винтовой тор получается движением образующей окружности с постоянным радиусом, лежащей в плоскости через которую проходит ось винтовой направляющей. Меридиональным сечением такой винтовой поверхности являются окружности. Трубчатую винтовую поверхность можно видеть в очертаниях цилиндрических винтовых пружин (рис. 48). а) б) Рис. 48. Коническая (а) и цилиндрическая (б) пружины Построим поверхность, сформированную вращением образующей τ τ окружностью τ вокруг оси y с r и одновременным перемещением по траектории н Подставив кинематические элементы в алгоритм (5), получим уравнение винтовой поверхности (рис. 49, а): τ τ τ 2 02 02 τ а) б) Рис. 49. Винтовые поверхности: а- цилиндрическая винтовая поверхность; бвинтовой тор Как отмечалось, винтовая поверхность может быть образована не только отрезком прямой, но и любой плоской кривой (рис. 50). а) б) Рис. 50. Образующие винтовых поверхностей: а- кардиоида; б - астроида Спиральные поверхности строятся по тому же алгоритму, что и винтовые поверхности. В случае линейчатой поверхности направляющей может быть винтовая спираль и ее ось или две соосные спиральные кривые (рис. 51). Если образующей будет плоская кривая, то направляющей винтовая спираль (рис. 5). Для винтовой поверхности радиус винтовой линии r(t) = r0 постоянен, а спиральная поверхность получается при монотонно изменяющемся радиусе спирали, например для спирали Архимеда r(t)=r0+ r1 t. а) б) в) г) д) е) Рис. 2. Образующие спиральных поверхностей: а, б – прямая; в – окружность; г – прямая, параллельная оси; д – кардиоида; е – астроида