Виды средств измерений

Лекция 2 1.2. Виды средств измерений Мы уже видели, что существуют три вида средств измерений: Меры воспроизводят физическую величину заданного значения. Они бывают однозначные (например, резистор с сопротивлением 10 Ом) и многозначные (линейка, магазин сопротивлений, магазин емкостей). Измерительные преобразователи преобразуют сигналы измерительной информации в форму, более удобную для дальнейшего использования. Примеры: 1) Термопара преобразует температуру в термо-э.д.с.; 2) Измерительный усилитель преобразует меньшее напряжение в большее; 3) Измерительный трансформатор тока преобразует больший переменный ток в меньший. Измерительные приборы преобразуют сигналы измерительной информации в форму, доступную для восприятия человеком. Остановимся подробнее на измерительных приборах. Виды измерительных приборов. а) По измеряемой величине: – измерители напряжения U – вольтметры V; милливольтметры mV; микровольтметры μV; киловольтметры kV; – измерители тока I – амперметры А; • • • • • • • • • б) По форме представления результата: – аналоговые (шкала и указатель); – цифровые. в) По выполняемым функциям: – показывающие; – регистрирующие; – показывающие и регистрирующие. г) По элементной базе: • электромеханические; вот символы измерительных механизмов: • электронные: д) По условиям применения: Меры, измерительные преобразователи и измерительные приборы – это элементарные средства измерения. С добавлением средств вычислений образуются более сложные: измерительно-вычислительные системы и комплексы. 1.3. Основные характеристики средств измерений Измерительные приборы 1.3.1. Диапазон измерения Вольтметр с четырьмя поддиапазонами измерения. Верхние пределы: 7,5; 15; 30 и 60 В Нижние пределы: 1; 2; 4 и 8 В Пределы ограничены жирными точками. Поддиапазоны показаний: 0 – 7,75; 0 – 15,5; 0 – 31 и 0 – 62 В. Характеристики гарантируются в пределах диапазона измерений. У приборов с равномерной шкалой диапазоны измерений и показаний совпадают. Существуют приборы с двусторонними шкалами, например: – 5 мА ÷ 0 ÷ 5 мА, с безнулевыми шкалами, например: 49 ÷ 50 ÷ 51 Гц. Верхний предел диапазона показаний может быть бесконечность: Обратная, существенно неравномерная шкала. 1.3.2. Цена деления шкалы и значение единицы младшего разряда. Цена деления шкалы – это у аналоговых приборов. В нашем вольтметре на 1м поддиапазоне с1 = 7,5 / 150 = 0,05 В / дел, а на последнем с4 = 60 / 150 = 0,4 В / дел. Зачем это нужно? Можно сделать отсчёт в делениях и для получения результата умножить на цену деления: U(В) = α (дел) × с (В/дел). Конечно, в таких простых случаях всё это можно проделывать в уме. Но вот ещё пример – ваттметр (обозначение на циферблате – W). У ваттметра две пары зажимов: для тока и для напряжения. В каждой паре один зажим помечен звёздочкой, а около другого указано номинальное значение тока и напряжения соответственно. При этих значениях стрелка отклониться «на всю шкалу». Мы видим, что показание прибора в делениях α = 61 дел. Но сколько это ватт? В данном случае обязательно нужно определить цену деления. Шкала содержит 75 делений. Мощность, соответствующая отклонению стрелки «на всю шкалу» – это произведение номинальных значений тока I = 5 А и напряжения U = 150 В. Следовательно, цена деления с = (5×150)/75 = 10 Вт /дел и показание в ваттах Р = 61×10 = 610 Вт. Кстати: а как правильно подключить ваттметр? Непременное правило: «звёздочка к звёздочке». Если его нарушить, стрелка будет пытаться отклониться влево от нуля. Следовательно, включаем так: Но есть и второй вариант: Как же лучше? Почва для размышления! Значение единицы младшего разряда у цифровых измерительных приборов: В лучших моделях цифровых вольтметров на первом (самом чувствительном) поддиапазоне значение единицы младшего разряда может быть 10 нВ. 1.3.3. Точность Количественная характеристика точности – погрешность. Чем меньше погрешность, тем выше точность. Прежде всего, существуют два понятия: • погрешность измерения; • погрешность измерительного прибора. Это не одно и то же. Можно взять дорогой, очень точный прибор, но получить при неграмотном использовании очень плохой результат. Попробуйте сами привести пример такой ситуации. Существует три формы выражения погрешностей: • абсолютная Δ; • относительная δ: • приведённая γ. Погрешность измерения может быть выражена в форме Δ или δ, а погрешность измерительного прибора – в любой из трёх форм. Абсолютная погрешность измерительного прибора: Δ = Х – Хист ≈ Х – Хд, (6) где Х – показание прибора; Хист – истинное значение измеряемой величины; Хд – её действительное значение. Относительная погрешность измерительного прибора: (7) Приведённая погрешность измерительного прибора: γ = γ (%) = 100· (8) где Хн – нормирующее значение измеряемой величины. Что значит «нормирующее значение? Покажу на примерах: 1) У вольтметра с диапазоном измерения от 0 до 15 В нормирующее значение Хн = Uн = 15 В. 2) У миллиамперметра с двусторонней шкалой – 5 мА ÷ 0 ÷ 5 мА нормирующее значение Хн = Iн = 5 мА (или 10 мА). 3) Частотомер с узким диапазоном измерения 49 Гц ÷ 50 Гц ÷ 51 Гц нормирующее значение Хн = fн = 50 Гц. Связь относительной погрешности с приведённой: δ = γ· δ = γ при Х = Хн ; δ > γ при Х < Хн ! Основная погрешность и дополнительные погрешности. Погрешность Δ зависит от влияющих величин ξ: Δ = f(ξ1; ξ2;… ξn). Влияющие величины – это: а) внешние факторы – температура, напряжение питания (если оно есть у прибора) и др.; б) неинформативные параметры входного сигнала. Пример: u(t) = Umsinωt = Usin2πft – вольтметром измеряют среднее квадратическое значение U синусоидального напряжения u(t); в этом случае частота f этого напряжения – неинформативный параметр входного сигнала, т.е. такой параметр, который не несёт полезной информации о значении U, но влияет на результат измерения U; – частотомером измеряют частоту f синусоидального напряжения u(t); в этом случае U – неинформативный параметр входного сигнала. Нормальные условия применения прибора – это такие условия, когда все влияющие величины ξi либо имеют нормальные значения [7] ξi = ξi,норм, либо находятся в пределах нормальных областей значений ξi,норм,min ≤ ξi ≤ ξi,норм,max. Примеры: а) θ = 20 0С – нормальное значение температуры, принятое в нашей стране; б) относительная влажность воздуха от 30 до 80 % – нормальная область значений. Примечание. Обеспечить при испытаниях точно 20 0С невозможно, поэтому допускаются отклонения, например, в пределах (20 ± 2) 0С. Этот допуск зависит от точности испытуемого прибора; для самых точных он составляет ± 0,5 0С. ОСНОВНАЯ погрешность Δо – это погрешность в нормальных условиях. Рабочие условия применения прибора – это такие условия, когда влияющие величины ξi находятся в пределах рабочих областей значений ξi,раб,min ≤ ξi ≤ ξi,раб,max. Пример: температура в пределах 10 0С ≤ θ ≤ 35 0С (2я группа средств измерений) · · · – 50 0С ≤ θ ≤ 60 0С (6я группа). ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ погрешность Δд – это изменение погрешности, вызванное отклонением одной из влияющих величин ξi от её нормального значения ξi,норм или выходом за пределы нормальной области значений ξi,норм,min ÷ ξi,норм,max. Систематическая и случайная погрешности. Систематическая погрешность Δс остаётся постоянной или закономерно изменяется в зависимости от времени (или другого аргумента). Случайная погрешность изменяется случайным образом. Пусть Х = const. Производятся повторные измерения Х. Если Х1; Х2;…Хn отличаются друг от друга – значит, проявляет себя случайная погрешность. Что при этом принять за результат измерения? Ответ известен: среднее значение: . (9) В вероятностном смысле Хср ближе к истинному значению Хист, чем любое Хi. Это объясняется тем, что одни Хi отличаются от Хср в одну сторону, другие – в другую. Чем больше n, тем меньше влияние случайной погрешности, но тем дольше процесс измерения. Такое измерение с повторами и усреднением называют измерением с многократными наблюдениями: Хi – это наблюдения, а Хср – результат измерения. Таким образом, простой приём – многократные наблюдения – позволяет обнаружить присутствие случайной погрешности, а их усреднение – снизить её влияние. Заметим, что этот приём не обнаруживает систематическую погрешность и не снижает её. Для нахождения Δс нужен более точный прибор, показание которого можно считать действительным значением Хд, и тогда Δс = Х – Хд (10) или Δс = Хср – Хд, (11) если выявлено присутствие случайной погрешности и произведены многократные наблюдения. Если Δс найдена, её можно исключить, введя поправку: η = – Δс. (12) Тогда Х + η – это будет исправленный результат измерения. Получается, что если погрешность найдена – это уже не погрешность. Погрешность остаётся погрешностью лишь до тех пор, пока в ней есть неопределённость, случайность. После внесения поправки остаются не исключённые остатки Δс, но они уже случайны. Итак, погрешность – в принципе случайная величина. Случайные величины можно изучать, у них есть определённые законы. Этим занимается одна из отраслей математики – теория вероятностей. Мы будем её использовать. Нормирование погрешностей Нормируют предельно допускаемые значения погрешностей средств измерений, в первую очередь для основной погрешности. Существуют разные формы нормирования: 1) Нормируют предельно допускаемые значения основной приведённой погрешности, например, γо,п = ± 0,5 %. Так нормируют погрешности аналоговых вольтметров, амперметров и т.п. Это означает, что – 0,5 % ≤ γо ≤ 0,5 %. Возможно, нам попался экземпляр прибора, у которого γо = 0, но мы этого не знаем. Мы знаем, что гарантируется – 0,5 % ≤ γо ≤ 0,5 %. 2) Гораздо реже гарантируется предельно допускаемые значения основной относительной погрешности, например, δо,п = ± 0,02 %. Так, например, нормируют погрешность измерительных мостов. 3) Нормируют предельно допускаемые значения основной относительной погрешности, но не в виде числа со знаками ±, а в виде формулы: . (13) Так нормируют погрешность для цифровых измерительных приборов, например: Дополнительные погрешности. Рассмотрим на примерах. Пример 1. В документации читаем: «Дополнительная температурная погрешность не более половины основной на каждые 10 0С в рабочем диапазоне». Расшифруем эту фразу. Пусть известно, что для данного прибора: – рабочий диапазон температур 5 0С ≤ θ ≤ 40 0С; – предельные значения основной приведённой погрешности γо,п = ± 0,5 %. Это значит, что при 10 и при 30 0С к γо добавляется ещё ± 0,25 %. Есть основания считать, что зависимость дополнительной температурной погрешности от температуры близка к линейной. Поэтому, если, например, θ = 35 0С, то предельные значения дополнительной температурной приведённой погрешности будут . Здесь – температурный коэффициент дополнительной температурной погрешности. Если бы вместо «…не более половины основной…» было «…не более основной…», то температурный коэффициент был бы 0,1γо,п. Пример 2. В документации читаем: «Дополнительная частотная погрешность не более основной». Пусть это относится к аналоговому вольтметру переменного напряжения, у которого нормальная область значений частоты 45 Гц ≤ fнорм ≤ 1 МГц, а рабочая область 20 Гц ≤ fраб ≤ 5 МГц. На циферблате прибора это обозначается так: 20 Гц…45 Гц…1 МГц…5 МГц Пусть для этого вольтметра γо,п = ± 4 %. Это значит, что в диапазонах от 20 Гц до 45 Гц и от 1МГц до 5 МГц к γо добавляется дополнительная частотная погрешность с предельными значениями γд,f,п = ± 4 %. В случае частотной погрешности нет оснований считать, что она линейно зависит от частоты. Поэтому, если, например, f = 2 МГц всё равно приходится считать, что при этом γд,f,п = ± 4 %. Это, конечно, плохо, поэтому стандарт [8] предлагает нормировать не дополнительные погрешности, а функции влияния (для линейных функций – коэффициенты влияния). Классы точности Класс точности – комплексная характеристика, которая говорит нам и об основной и о дополнительных погрешностях [9]. Обозначение классов точности: • На циферблате аналогового прибора проставлено число, например, 0,5. Что оно означает? В первую очередь, что γо,п = ± 0,5 %. • На лицевой панели прибора проставлено число внутри окружности, например, Это значит, что δо,п = ± 0,2 %. • В документации цифрового измерительного прибора его класс точности обозначен 0,01/0,005. Это значит, что . Все числа, фигурирующие в обозначениях классов, выбираются из ряда (1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6)·10а, где а = 1; 0; – 1; – 2; … Кроме основной погрешности класс точности даёт информацию о дополнительных погрешностях, например, так, как это было показано в приведённых выше примерах, но как именно, в частности, «…не более половины основной…» или «…не более основной…» – это надо уточнять по документации на прибор. 1.3.4. Характеристики, отражающие влияние прибора на объект. Многим со школьных времён известно положение, которое можно выразить фразой: «Хорош тот вольтметр, у которого сопротивление побольше, а амперметр – у которого поменьше». Теперь поставим вопрос: а собственно говоря, почему это так? Возьмём вольтметр, измеряющий напряжение постоянного тока. Нас интересует напряжение U' между двумя выделенными точками, которое было на объекте до подключения вольтметра. После того, как вольтметр подключили, напряжение хотя бы совсем немного, но обязательно уменьшится: Почему это так? Сколь бы ни была сложна схема объекта, но относительно двух выделенных точек его можно представить в виде активного двухполюсника, содержащего последовательно соединённые э.д.с. Е и сопротивление R. Пока вольтметр ещё не подключён, получаем U' = E, а после подключения , (14) где RV – сопротивление вольтметра. Погрешность от взаимодействия вольтметра с объектом: Δвз = U – U' = . (15) Эта формула неудобна тем, что э.д.с. Е нам не известна, мы знаем U, а не Е. Но из формулы (15) можно выразить Е: . (16) Подставив (16) в (15), получим: (17) При RV → ∞ погрешность взаимодействия Δвз → 0. Вот почему хорош тот вольтметр, у которого побольше RV: у него поменьше Δвз. Заметим, что Δвз → 0 также и при RV → 0 (измерение э.д.с.). Выразим относительную погрешность взаимодействия: (18) Аналогичным путём можно найти погрешность взаимодействия амперметра с объектом. При этом должен получиться такой результат: погрешность взаимодействия Δвз → 0 при сопротивлении амперметра RА → 0. Полезно проделать этот анализ самостоятельно. В данном случае удобнее представить эквивалентную схему объекта не в виде последовательного соединения э.д.с. и сопротивления, а в виде параллельного соединения источника тока и сопротивления. Таким образом, RV и RA влияют на точность: от них зависит Δвз. Но она зависит не только от них, а ещё и от сопротивления объекта R. Поэтому Δвз или δвз нельзя указать заранее для данного вольтметра или амперметра. Характеристикой прибора, отражающей его влияние на объект, является RV или RA. Если измеряется синусоидальное напряжение, то на высоких частотах надо учитывать не только сопротивление RV, но и ёмкость СV. Они включены параллельно. Будем считать, что объект характеризуется чисто активным сопротивлением R. Введём комплексное напряжение и комплексную э.д.с. : где . Тогда Теперь перейдём к модулям U и Е: . Погрешность взаимодействия вольтметра с объектом: Δвз = U – E = E, где Поскольку R << RV, . Как и раньше, выразим Е через U: Е = U и подставим в формулу для Δвз: Δвз = U = U(1 . Поскольку Δвз << U (иначе измерение бессмысленно), << 1, т.е где ε << 1, значит, пользуясь свойством малых величин, можно написать . Следовательно, Δвз = U = . (19) При ω = 0 получаем формулу (17). При увеличении ω второе слагаемое быстро растёт ! Мы закончили рассматривать характеристики измерительных приборов. Теперь вкратце о других средствах измерений: мерах и измерительных преобразователях. Меры. Первая характеристика меры – её номинальное значение Yном, для многозначной меры – множество номинальных значений. Абсолютная погрешность меры: Δ = Yном – Yист ≈ Yном – Yд, где Yист и Yд - истинное и действительное значения меры. Для однозначных мер относительная погрешность δ и приведённая погрешность γ – одно и то же, для многозначных соотношение между ними такое же, как у измерительных приборов. Для тех и других сохраняются понятия систематической Δс и случайной составляющих. Измерительные преобразователи. Главная характеристика измерительного преобразователя – номинальная функция преобразования : Y = fном (Х). Она может быть в виде формулы или таблицы или графика. Частный случай – линейная функция, проходящая через начало координат. Здесь достаточен номинальный коэффициент преобразования: Sном = . Для измерительных преобразователей остаются в силе понятия о трёх формах выражения погрешности – абсолютная Δ, относительная δ и приведённая γ; понятия об основной погрешности Δо и о дополнительных погрешностях Δд; понятия о систематической Δс и случайной составляющих. Но, кроме того, здесь действуют ещё два, которых нет у измерительных приборов и у мер: погрешность на входе Δвх и погрешность на выходе Δвых. Синяя линия – номинальная функция преобразования, которой мы располагаем, а красная – реальная, которая, вообще говоря, нам не известна. Сначала обратимся к левому рисунку. Если на выходе преобразователя мы получили, например, измерили некоторое значение выходного сигнала Yизм, то, пользуясь номинальной функцией, мы «думаем», что на входе действует сигнал со значением Хном. На самом же деле его действительное значение Хд. Абсолютная погрешность на входе («измеренное – в данном случае номинальное – минус действительное»): Δвх = Хном – Хд. Теперь посмотрим на правый рисунок. Пусть входной сигнал имеет некоторое действительное значение Хд. На выходе ему соответствует сигнал со значением Yизм, которое можно измерить. Значение же выходного сигнала Yном можно ещё назвать идеальным: оно было бы на выходе, если бы преобразователь был без погрешностей. В некотором смысле оно аналогично действительному, а точнее говоря, истинному значению в случае измерительного прибора: прибор показал бы это значение, если бы он был без погрешностей. Абсолютная погрешность на выходе («измеренное минус действительное – в данном случае номинальное»): Δвых = Yизм – Yном. 1.4. Виды и методы измерений Виды измерений: • Прямые • Косвенные • Совокупные • Совместные Прямые – искомое значение физической величины получают непосредственно из опыта. Примеры: измерение длины линейкой; измерение тока амперметром и т.п., т.е. все обычные измерения. Косвенные – искомое значение физической величины вычисляют на основании известной зависимости этой величины от нескольких других, значения которых получены прямыми измерениями. Пример: вычисление сопротивления R по измеренным значениям напряжения U и тока I. Замечание: измерение сопротивления омметром – это прямое измерение. Совокупные и совместные – одновременное измерение нескольких величин и нахождение искомых значений путём решения системы уравнений. При совокупных измеряемые величины одноимённые, при совместных – не одноимённые. Пример совокупных измерений: Здесь R1; R2; R3 – искомые сопротивления. Треугольник разрывать нельзя. Измеряют сопротивления RAB ; RBC; RAC между точками А, В, С, составляют систему трёх уравнений с тремя неизвестными и находят R1; R2; R3. Пример совместных измерений: R = R0(1 + αθ), где R – сопротивление при температуре θ; R0 – значение R при θ = 0; α – температурный коэффициент. Искомыми являются R0 и α. Измеряют два значения R: R = R1 при θ = θ1 и R = R2 при θ = θ2. Решение системы двух уравнений R1 = R0(1 + αθ1) R2 = R0(1 + αθ2) даёт искомые значения R0 и α. Если R = R0(1 + αθ + βθ2), то для нахождения R0; α и β нужны три уравнения. Замечание. Иногда совокупные и совместные измерения считают частными случаями косвенных. Методы измерений: • Метод непосредственной оценки (мера в явном виде не присутствует, она отражена в шкале). Примеры: пружинные весы, амперметр со стрелкой и шкалой и т.п. • Методы сравнения с мерой (она присутствует в явном виде): – нулевой метод; – дифференциальный метод; – метод замещения; – метод совпадений. Методы сравнения с мерой более точные, но и более медленные. Нулевой метод. Разность между измеряемой величиной и величиной, воспроизводимой мерой, доводится до нуля. Примеры: рычажные весы с гирями; равновесный мост; компенсатор. Равновесный мост постоянного тока: Изменением R1 уравновешивают мост, т.е. добиваются отсутствия тока в нуль-индикаторе НИ. Легко показать, что при этом Rx R2 = R1 R3. Отсюда измеряемое сопротивление Rx = . Обратите внимание, что при изображении НИ на схемах стрелку внутри окружности рисуют вертикально. Дифференциальный метод. Разность между измеряемой величиной и величиной, воспроизводимой мерой, измеряется прибором непосредственной оценки. Примеры: пружинные весы с маленькой платформой, на которую ставят гирю, когда масса на большой платформе превышает диапазон измерения по шкале; неравновесный мост. Неравновесный мост постоянного тока: при ΔR = 0 изменением R1 мост уравновешен при R0R2 = R1R3; далее при ΔR ≠ 0 значение ΔR преобразуется в ток I. Неравновесные мосты широко применяются при измерении не электрических величин. Измеряемая величина преобразуется в ΔR измерительным преобразователем. Например, температура преобразуется в изменение сопротивления терморезистора. Метод замещения. Измеряемую величину замещают известной, и измеряют поочерёдно. Пример: Rx – искомое сопротивление; R0 – известное. Поочерёдно измеряют напряжения Ux и U0. ; Rx = R0. Ток I не нужно точно устанавливать, не нужно знать его значение. Метод совпадений. Разность между измеряемой величиной и величиной, воспроизводимой мерой, измеряют, используя совпадение отметок шкал или периодических сигналов. Примеры: штангенциркуль с нониусом; стробоскоп – метка на вращающемся теле освещается вспышками лампы и кажется неподвижной, когда частота вспышек равна (или кратна) частоте вращения. 1.5. Представление результатов измерений 1.5.1. Составляющие погрешности измерения. Напоминание: в общем случае погрешность результата измерения не равна погрешности средства измерения, с помощью которого получен этот результат. Составляющие погрешности измерения: Методическая погрешность – от несовершенства самого метода измерения, она не исчезает при идеальном приборе. Пример: измерение высоты над поверхностью земли по атмосферному давлению. Эта погрешность не исчезает при идеальном приборе для измерения давления, ибо давление зависит не только от высоты. Погрешность отсчитывания. На рисунке в сильно увеличенном виде показано одно деление шкалы, т.е. расстояние между соседними метками. Будем считать, что отсчёт делают с округлением до четверти деления (иногда до половины, иногда до целого деления, но это плохо). Например, сделан отсчёт 104,25 дел. Тогда можно считать, что при любом положении стрелки погрешность округления не выходит за пределы ± 0,125 дел (расстояние от точечной линии до пунктирной). Тогда Δотс, п = ± 0,125с, где с – цена деления. Пример. У прибора класса 0,5 шкала имеет 150 делений. Следовательно, предельные значения основной приведённой погрешности γо,п = ± 0,5 %, а предельные значения приведённой погрешности отсчитывания γотс,п = ± = ± 0,083 %, т.е примерно от γо,п. 1.5.2. Запись результата измерения. Пример 1. I = (15,40 ± 0,14) A; P = 1 I = (15,400 ± 0,075) A; P = 0,95 В этих записях 15,40 А и 15,400 А – результат измерения; ± 0,14 А – предельные значения погрешности измерения при вероятности Р = 1; ± 0,075 А – граничные значения погрешности измерения при вероятности Р = 0,95. Интерпретация: вероятность того, что истинное значение тока Iист находится в интервале от 15,26 А до 15,54 А равна 1; вероятность того, Iист находится в интервале от 15,325 А до 15,475 А равна 0,95. Пример 2. Граничные значения погрешности измерения вычислены и составляют ± 0,0253 В при вероятности Р = 0,95. Запись: (41,535 ± 0,025) В; Р = 0,95. Правила: 1) Число, выражающее предельные или граничные значения погрешности измерения, должно содержать две значащих цифры. Пример: числа 0,14 и 0,014 имеют две, а число 0,140 – три значащих цифры. Примечания: а) В литературе можно встретить другие рекомендации: одна или две цифры, причём, если первая 1 или 2 (иногда ещё или 3), то две обязательно. Мы условимся: всегда две – это проще и не ухудшает. б) В процессе вычислений надо сохранять минимум три цифры, и только в конце округлять до двух. 2) Число, выражающее результат измерения, должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности. Пример: запись (15,4 ± 0,14) А не верна, а (15,40 ± 0,14) А – верна. 3) Округление чисел, выражающих результат и погрешность измерения, надо производить по обычным правилам: если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти, остающиеся цифры не меняются, если же она больше или равна пяти, то последняя из остающихся цифр увеличивается на единицу. 1.5.3. Вычисление погрешностей измерений. Прямые измерения. а) При вероятности Р = 1 находят предельные значения погрешности измерения Δп путём арифметического суммирования предельных значений составляющих Δi,п: Δп = ± . (20) Составляющими могут быть: – основная погрешность Δо,п; – дополнительные погрешности Δд,п; – погрешность отсчитывания Δотс,п; – погрешность взаимодействия Δвз,п. При таком способе суммирования плохо то, что получается сильное завышение погрешности, ибо очень мало вероятно, чтобы все составляющие оказались на своих пределах и были при этом одного и того же знака (плюс или минус). Зато этот способ даёт полную гарантию. б) При вероятности Р < 1, например, при Р = 0,95, находят граничные значения погрешности измерения Δгр путём статистического суммирования предельных значений составляющих Δi,п: Δгр = ± К. (21) Значение К зависит от законов распределения случайных величин Δi и от задаваемого значения вероятности Р. Если законы распределения неизвестны, рекомендуется принять, что для всех составляющих это закон равномерной плотности. При этом из теории вероятностей следует, что значения К при разных значениях Р соответствуют приведённым в таблице 1: Таблица 1. Р 0,9 0,95 0,99 К 0,95 1,1 1,4 Значение Δгр может быть существенно меньше по сравнению с Δп, хотя Р близко к единице. Максимальное снижение Δгр по сравнению с Δп будет, если все Δi,п одинаковы: Δi,п =А. При Р = 1 получим Δп = ± nA, а при Р < 1 Δгр = ± К= ± КА, т.е. = например, при n = 4 и К = 1,1 различие между предельным и граничным значениями получается примерно в два раза. Если, наоборот, какая-нибудь из Δi сильно преобладает над остальными, то Δгр ≈ Δп. Косвенные измерения. Для вычисления погрешности мы располагаем известной функциональной зависимостью результата косвенного измерения Y от аргументов Х1; Х2;…Хn: Y = f (Х1; Х2;…Хn). Пример: R = здесь Y = R; Х1 = U; X2 = I. Требуется найти погрешность ΔY, происходящую от погрешностей ΔХ1; ΔХ2;… ΔХn. Упростим обозначения: ΔY = Δ; ΔХ1 = Δ1; ΔХ2 = Δ2;… ΔХn = Δn. Для решения нашей задачи в математике есть т.н. «формула полного дифференциала»: . (22) Предельные значения Δ: Р = 1. (23) Частные случаи. 1) Y = a1X1 + a2X2 +...+anXn = , т.е. Y – линейная функция аргументов Х1; Х2;…Хn. В данном случае , следовательно, и . (24) Примеры: а) Y = X1 + X2; здесь a1 = а2 = 1; Δ = Δ1 + Δ2; Δп = ± (|Δ1,п| + |Δ2,п|); Р = 1. б) Y = X1 – X2; здесь a1 = 1; а2 = – 1; Δ = Δ1 – Δ2; Δп = ± (|Δ1,п| + |Δ2,п|); Р = 1. Итак, Δп для суммы и разности одинаковы. 2) Y = где а1; а2;…аn – действительные числа, положительные и отрицательные, целые и дробные. Пример: Y = ; здесь а1 = 2; а2 = – 0,5. Частные производные: Далее: Следовательно, Δ = Y(a1δ1 + a2δ2 + ...+ anδn); δ = . Предельные значения: (25) Примеры: а) Y = X1X2; здесь а1 = а2 = 1; δ = δ1 + δ2; δп = ± (|δ1,п| + |δ2,п|); P =1. б) Y = здесь а1 = 1; a2 = – 1; δ = δ1 – δ2; δп = ± (|δ1,п| + |δ2,п|); P =1. Итак, δп для произведения и частного одинаковы. Объединяя наши четыре примера, можно сказать так: Для суммы и разности надо суммировать предельные значения абсолютных погрешностей, для произведения и частного – предельные значения относительных погрешностей. Мы рассмотрели арифметическое суммирование при Р = 1. При Р < 1 применяют статистическое суммирование: , (26) где К зависит от задаваемого значения вероятности Р так же, как при прямых измерениях (см. табл. 1). Каждый может написать формулы для Δгр для рассмотренных выше частных случаев. Пример. Требуется определить мощность Р, выделяющуюся в резисторе с номинальным значением сопротивления Rном = 1 кОм с предельно допускаемыми отклонениями от этого номинала ± 1,0 %. Резистор подключён к источнику напряжения постоянного тока. Параллельно резистору постоянно подключён вольтметр класса точности 0,5 с диапазоном измерения от 0 до 15 В и он показывает значение напряжения U = 6,0 В. Решение. Р = 6210-3 Вт = 0,036 Вт = 36 мВт. В соответствии с (25) δп = 2 δU,п + δR,п, где δU,п и δR,п – предельные относительные погрешности вольтметра и резистора. Из условия γR,п = ± 1,0 %, а δU,п = γU,пUN/U = ± 0,5·15/6 = 1,25 %. Следовательно, δп = ± (2·1,25 + 1,0) = ± 3,5 %; Δп = 0,01 δпР = ± 0,01·3,5·25 = ± 0,875 мВт ≈ ± 0,86 мВт. Ответ: (36,00 ± 0,86) мВт при вероятности 1.