Векторы, элементы векторного анализа, метод комплексных амплитуд

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Московский технический университет связи и информатики _____________________________________________________________ Корнюхин В.И М О Т э М П и В ( конспект лекций ) Л Е К Ц И Я - 1 Часть 1 1.1 Системы координат 1.1.1Декартова система координат позволяет связать с каждой точкой P пространства три действительных числа (декартовы координаты)- x (абсцисса), y (ордината), z (аппликата), при этом пишут P(x, y, z). Три взаимно перпендикулярные оси X, Y, Z, проходящие через некоторую точку 0, образуют прямоугольную или ортогональную систему координат.. Каждая точка P(x,y,z) имеет свой радиус-вектор r (рис.1.1), который в прямоугольной декартовой системе координат может быть представлен в виде: r = x0x + y0y + z0z где: x0, y0, z0 – единичные векторы или орты прямоугольной системы координат. Длина радиус-вектора r (его численное значение или модуль) обозначается как |r| = r = 0P и является функцией Единичный вектор или орт радиуса вектора r0, направление которого совпадает с направлением r, может быть представлен в виде: , где -направляющие косинусы углов между r0 и положительными направлениями осей 0x, 0y, 0z. Расстояние d между точками P1(x1,y1,z1) и P2(x2,y2,z2) равно Направленный отрезок (вектор P1P2 ) может быть записан в виде: P1P2 = x0(x2 – x1) + y0(y2 – y1) + z0(z2 – z1) 1.2. Криволинейная ортогональная система координат В декартовой прямоугольной системе координат положение в пространстве некоторой точки P(x’, y’, z’) определяется пересечением трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей (рис.1.2) x = x’, y = y’, z = z’. При решении конкретных задач, часто оказывается удобнее определять точку в пространстве не как пересечение трех плоскостей, а как пересечение трех произвольных однозначно заданных произвольных поверхностей, которые в общем случае описываются уравнениями: q1(x,y,z) = const, q2(x,y.z) = const и q3(x,y.z) = const, . Для произвольной точки P в системе криволинейных координат устанавливается обозначение P(q1, q2, q3). В каждой точке можно рассматривать единичные векторы (орты), касательные координатным линиям и направленные в сторону возрастания соответствующих координат. Будем обозначать их символами l1, l2, l3 (рис.1.3). Как правило, используются только ортогональные системы координат, т.е. такие, орты которых в любой точке взаимно перпендикулярны. Перемещение точки P (рис. 1.4а) выражается приращением ее радиуса-вектора Δr. Разлагая дифференциал dr по ортам l1, l2 и l3, имеем: dr = l1d l1+ l2d l2+ l3d l3, где d l1, d l2 и d l3 – дифференциалы длины по соответствующим криволинейным координатам. С другой стороны: Частные производные радиус-вектора r по координатам – это векторы, параллельные их ортам (рис. 1.4б): Из сравнения равенств и с учетом последнего, видно, что дифференциалы длины криволинейных координат отличаются от дифференциалов самих координат множителями h1, h2 и h3: dl1 = h1dq1, dl2 = h2dq2 и dl3= h3dq3. Эти множители называются метрическими коэффициентами, или коэффициентами Ламэ. Цилиндрическая система координат получила свое название от одной из координатных поверхностей, представляющей собой бесконечный круговой цилиндр с радиусом r. Вторая координатная поверхность – полуплоскость, ограниченная осью цилиндра. Третья координатная поверхность – плоскость перпендикулярная оси цилиндра (рис.1.5). Координатные линии цилиндрической системы координат: r – линия пересечения полуплоскости, проходящей через ось Z с плоскостью перпендикулярной оси Z,  – линия пересечения кругового цилиндра с плоскостью перпендикулярной оси Z, z – линия пересечения кругового цилиндра с плоскостью, проходящей через ось цилиндра (образующая цилиндра). Цилиндрические координаты: r (радиус);  (полярный угол); z (аппликата) .Орты r0, 0, z0 образуют правую тройку векторов. Элемент цилиндрической поверхности dS =rddz. Элемент объема dV = r dr d dz. 1.1.3 Сферическая система координат получила свое название от одной из координатных поверхностей, представляющей собой сферу радиусом r. Вторая координатная поверхность конус с вершиной, расположенной в начале системы координат и углом вершины равным 2. Третья – полуплоскость, ограниченная осью Z (рис.1.6). Координатные линии сферической системы координат: r– линия пересечения поверхности конуса с плоскостью, проходящей через ось Z,  – образована пересечением сферы радиуса r с плоскостью, проходящей через ось Z, – образована пересечением поверхностей сферы и конуса. Сферические координаты: r (радиус);  (меридиональный угол);  (азимутальный угол). Орты r0, 0 , 0 образуют правую тройку векторов. Элемент сферической поверхности dS = r2 sin d d. Элемент объема dV = r2 sin dr d d. Сведения о декартовой, цилиндрической и сферической системах координат сведены в таблицу 1. Таблица 1 Номер координаты, i Система координат декартова цилиндрическая сферическая qi li hi dli qi li hi dli qi li hi dli 1 x x0 1 dx r r0 1 dr r r0 1 dr 2 y y0 1 dy  0 r rd  0 r rd 3 z z0 1 dz z z0 1 dz  0 r sin r sind Где: h1, h2 и h3 – коэффициенты Ламе, связывающие дифференциалы длины криволинейных координат с дифференциалами самих координат dli = hidqi 1.2 Векторы и действия над ними 1.2.1 Векторные и скалярные величины в теории электромагнитного поля Величины, значения которых могут быть изображены положительными или отрицательными числами (скалярами), называются скалярными. Величины, значения которых характеризуются (в отличие от скаляра) не только количеством, но и направлением в пространстве называются векторными и могут быть изображены векторами. Вектор – отрезок (рис.1.4), имеющий определенную длину и направление (обозначается или A, иногда. a – начало, b – конец вектора ). Длина вектора A (модуль или абсолютная величина) обозначается A или |А|. Два вектора считаются равными, если равны их модули, совпадают их направления. В произвольной ортогональной системе координат запись вектора имеет следующий вид A = I1A1 + I2A2 + I3A3. Проекции A1.A2 и A3 называются компонентами или составляющими вектора A; I1, I2 и I3 – единичные векторы или орты в выбранной системе координат. В декартовой системе координат A = x0Ax +y0Ay + z0Az , С у м м а двух векторов A и B – диагональ ac (вектор С) параллелограмма построенного на этих векторах (рис.1.5). Разностью A–B называется сумма векторов A и(–B) (диагональ db параллелограмма на рис.1.5). Сложение (вычитание) в векторной алгебре означает алгебраическое сложение (вычитание) компонент векторов: A ± B = l1(A1 ± B1) + l2(A2 ± B2) + l3(A3 ± B3) Где l1, l2 и l3 орты системы координат 1.2.2 Умножение векторов Скалярное умножение векторов. Скалярным произведением векторов A и B называют скаляр, равный произведению длин этих векторов на косинус образованного ими угла . Скалярное произведение обозначают A.B или (A,B). В декартовой системе координат: (A,B) = AxBx + AyBy + AzBz Зная скалярное произведение двух векторов, легко найти угол между ними а также величину проекции одного вектора на направление, определяемое другим вектором, например, проекция вектора А на В равна Векторное умножение векторов. Векторным произведением векторов A и B называют вектор C модуль, которого равен площади параллелограмма S, построенного на этих векторах, а направление перпендикулярно плоскости этого параллелограмма и определяется правилом буравчика (правилом правого винта) при повороте от первого вектора ко второму по кратчайшему пути (рис. 1.6). Векторное произведение принято обозначать одним из следующих способов: AB, [A,B], [AB], Из определения векторного произведения следует, что [A,B] = AB sin  = S [A,B] = [l1A1 + l2A2 + l3A3, l1B1 + l2B2 + l3B3] = =l1(A2B3 – B2A3) + l2(A3B1 – B3A1) + l3(A1B2 – B1A2) . или . [A,B] = - [B,A] Смешанное произведение трех векторов. В декартовой системе координат выражение смешанного произведения принимает вид: Векторное произведение [B,C] представляет собой вектор, перпендикулярный В и С, модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах В и С, т.е. S = │[B,C]│ =BC sin θ (рис.1.6). Этот параллелограмм можно рассматривать как основание параллелепипеда, построенного на векторах А, В и С, следовательно модуль смешанного произведения будет равен произведению площади основания параллелепипеда на его высоту (проекция ребра А на его перпендикуляр к основанию). То есть модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда V, построенному на векторах А, В, и С (рис.1.6). V=│(A,[B,C])│=│Acosφ│[B,C]││=hS Нетрудно показать, что смешанное произведение обладает следующим свойством (А,[B,C]) = (C,[ А,B]) = (B,[C,А]) , т.е. при циклической перестановке входящих в него векторов ( замене А на В, В на С и С на А) величина смешанного произведения не изменяется. Двойное векторное произведение. A(BC) – вектор, компланарный B и C и может быть вычислен по формуле A(BC) = B(A,C) – C(A,B) . Л Е К Ц И Я - 2 Ч а с т ь - 2 2.1 Элементы векторного анализа 2.1.1 Скалярное поле. Градиент Скалярное поле. Если в каждой точке некоторой области пространства заданы значения скалярной функции (r), говорят, что в этой области задано скалярное поле (r) (поле функции (r)). Важной характеристикой скалярного поля являются так называемые поверхности уровня (или изоповерхности), на которых y(r) = const. Градиент. Рассмотрим две достаточно близкие поверхности уровня и выделим малую область поля, в которой участки этих поверхностей с нужной степенью точности не отличаются от параллельных плоскостей. Пусть разность значений функции y(r), принимаемых ею на выделенных поверхностях уровня, равна Dy. На рис.2.8, где следы этих поверхностей показаны в виде двух прямых, построены также два направления: нормаль n к поверхностям и некоторое произвольное направление l. Поскольку расстояние между плоскостями по нормали – кратчайшее и Dn = Dl cosa, то очевидно Переходя к пределу при Dn ® 0 получаем (для дифференцируемой y): и, следовательно, среди производных функции по всевозможным направлениям, производная по нормали к поверхности уровня является максимальной. Вектор, направленный в сторону наибольшего изменения  и равный по абсолютному значению его скорости, называется градиентом и обозначается grad  . где n0 – единичный вектор нормали n. Градиент обладает следующими свойствами grad ( + ) = grad  + grad  , grad ( .) =  grad  +  grad  , grad ( / ) = ( grad  – grad ) /2, . С учетом метрических коэффициентов и соответствующих ортов (см. таблицу1) выражение для градиента в декартовой системе координат: В цилиндрической системе координат: В сферической системе координат: Рассмотрим проекцию grad ψ на произвольно выбранное направление I, обозначаемую gradIψ. По определению проекции где I0 – единичный вектор вдоль I, а поскольку (I0,n0)=cosα производная скалярной функции по направлению вектора I. 2.1.2 Векторное поле и векторные (силовые) линии Если во всех точках некоторой области пространства определены значения вектора А(r), говорят, что в данной области задано поле вектора А(r) (векторное поле А(r)). Любой вектор А(r) можно представить в виде A(r) = l1A1(r) + l2A2(r) + l3A3(r), то задание вектора А(r) эквивалентно заданию трех скалярных функций A1(r), A2(r) и A3(r). Потенциальные векторные поля. Если задана векторная функция F, являющаяся градиентом некоторой скалярной функции , то такое векторное поле называется потенциальным, а  – потенциалом. Поверхности уровня, на которых  =const, являются, следовательно, поверхностями постоянного потенциала, или эквипотенциальными поверхностями. Линии вектора F = grad  всегда ортогональны эквипотенциальным поверхностям, т.е. пересекают их под прямым углом. Для наглядного изображения векторного поля строят так называемые векторные линии (рис. 2.9), т.е. линии, в каждой точке которых вектор направлен по касательной к линии. Введем понятие векторного дифференциала длины вдоль некоторой линии: В первой строчке он выражен через обычный дифференциал длины и единичный вектор касательной t0 (рис. 2.10а), а во второй – через дифференциалы и единичные векторы ортогональной системы координат (рис. 2.10б). области пространства, в которой задано поле вектора F, проведем некоторую непрерывную кривую (контур l), соединяющую точки А и В (рис.2.12). Направление от А к В будем считать положительным. Рассмотрим криволинейный интеграл, вычисляемый вдоль некоторого пути по кривой l от точки А до точки В . Раскрывая скалярное произведение в подынтегральном выражении т.е. интеграл Т при однозначности y не зависит от пути, а определяется только значениями потенциала y в начальной и конечной точках пути. Каков бы ни был путь интегрирования, ведущий от точки А к точке В (рис.2.12), значение Т остается равным разности потенциалов в этих точках. Из этого следует, что интеграл по замкнутому пути L равен нулю: , поскольку точки А и В в данном случае совпадают. Этот интеграл называется циркуляцией вектора F по замкнутому контуру (пути) L. Циркуляция градиента тождественно равна нулю. Справедливо и обратное утверждение. Если циркуляция вектора F по любому замкнутому контуру равна нулю, то вектор F может быть представлен в виде F = grad y. 2.1.3Дивергенция. Силовые линии и поток вектора. Выделим некоторый объем V, охватываемый замкнутой поверхностью S в области пространства, в каждой точке которого задано векторное поле F. На рис. 2.13 изображено несколько характерных типов расположения силовых линий, которые могут встретиться (пунктиром изображена граница S объема V). Внутри объема V может находиться «источник» векторных линий (рис. 2.13а), либо «сток» (рис. 2.13б), т.е. линии выходят из V или, соответственно входят в V через границу S. Но векторные линии могут также пронизывать V насквозь, не начинаясь и не кончаясь в этой области (рис. 2.13в). Наконец, замкнутые векторные линии могут совершенно не пересекать границу S (рис. 2.13г). Характер поведения векторного поля можно оценить с помощью потока вектора. Потоком вектора F через поверхность S называется интеграл где векторный дифференциал ds это произведение обычного дифференциала ds на единичный вектор нормали n0 к поверхности, т.е. ds = n0ds. Тогда F ds = F n0 ds = Fn ds. В случае замкнутой поверхности положительной нормалью n0 всегда считается внешняя нормаль. В случае незамкнутой поверхности S выбирается одно из двух возможных направлений нормали. В теории электромагнитного поля положительной считают нормаль к поверхности S, опирающейся на одновитковый замкнутый контур L если из конца нормали n0 обход контура виден идущим против часовой стрелки (нормаль и обход контура как бы образовывают правовинтовую систему). Скалярное произведение под знаком интеграла в будет положительным когда угол между векторами F и ds острый, и отрицательным при тупом угле. Дивергенция вектора F в точке P, обозначаемая divF, это предел отношения потока вектора F через замкнутую поверхность S, охватывающую точку P, к объему V, ограниченному поверхностью S при стягивании его к точке Р. . В тех точках, в которых div F  0, линии вектора F претерпевают разрыв. Линии выходят из точек, где div F > 0 – источники (рис. 2.1а) и входят в точки, где div F < 0 – стоки (рис. 2.1б), в точках, где div F = 0, линии вектора F непрерывны. Мерой интенсивности истока (стока) служит div F. Дивергенция в криволинейных ортогональных координатах Дивергенция в декартовых координатах: ; в цилиндрической системе координат: ; в сферической системе координат: . Свойства дивергенции. div (A + F) = div A + div F , div(cF) = c . div F , если  – скалярная, а F – векторная функции координат, то div ( . F) =  . div F + (grad , F). Теорема Остроградского-Гаусса. Пользуясь этой формулой, следует помнить. что S –замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, dS = n0 dS, где dS – элемент поверхности, а n0 – орт внешней нормали к поверхности S. 2.1.4 Ротор. Теорема Стокса По определению rot F есть вектор, проекция которого на произвольное направление n выражается следующим образом: где ΔS – площадка, выбранная так, что n – это нормаль к этой площадке, образующая правовинтовую систему с направлением обхода контура L (если смотреть вдоль вектора n, обход контура L производится по часовой стрелке). Общая формула для вычисления rot F в криволинейных ортогональных координатах имеет вид: Ротор в декартовой системе координат: , или . В цилиндрической системе координат: . В сферической системе координат: . Свойства ротора: 1) rot(F+A) = rot F + rot A, 2) rot (mF) = m rot F, 3) rot(F) =  rot F + [grad, F], где  – скалярная функция координат. 4) rot grad ψ ≡ 0. Потенциальные поля (F = grad ψ) являются обязательно «безвихревыми». 5) div rot F ≡ 0 Расходимость вихревого поля равна нулю, т.е. вихревое поле соленоидально. Теорема Стокса. , связывает между собой циркуляцию вектора по одновитковому замкнутому контуру L с потоком ротора того же вектора через произвольную поверхность S, опирающуюся на этот контур. 2.1.5 Оператор Гамильтона и оператор Лапласа. Оператор Гамильтона (вектор набла) в декартовой системе координат представляет собой оператор вида который можно рассматривать как своеобразный вектор. Этот оператор можно применять как к скалярным, так и к векторным функциям. . . . При формальном применении оператора как вектора следует помнить, что нет смысла помещать его справа от рассматриваемой функции (например, произведения или , если они используются как окончательные самостоятельные выражения, в векторном анализе не имеют смысла). Оператор удобен и при раскрытии более сложных операций. Например: . 1) , так как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковы, всегда равно нулю. 2) так как векторное произведение одинаково направленных векторов равно 0. 3) Оператор (его еще называют оператором Лапласа) в декартовой системе координат имеет вид . Формула получается в результате вычисления скалярного произведения вектора на себя самого. Часто оператор обозначают символом Δ. 4) . Оператор Лапласа в криволинейной ортогональной системе координат определяется как Лапласиан в цилиндрической системе координат . Лапласиан в сферической системе координат . В криволинейной ортогональной системе координат оператор Гамильтона имеет вид: Оператор Гамильтона в цилиндрической системе координат Оператор Гамильтона в сферической системе координат 2.1.6. Классификация векторных полей Потенциальные поля. Определенное в области D векторное поле называют потенциальным, если существует скалярная функция такая, что Функцию U(M) при этом называют потенциалом поля. Свойства потенциальных полей 1. Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру равна нулю. , 2. , - кривая, соединяющая точки 3. Необходимым и достаточным условием потенциальности является Соленоидальные поля. Определенное в области D векторное поле называют соленоидальным или трубчатым, если существует вектор – функция , такая что Функцию при этом называют векторным потенциалом поля. Если поле соленоидальное и его векторный потенциал равен , то Свойства соленоидальных полей 1. Поток соленоидального векторного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю 2. Необходимым и достаточным условием соленоидальности является Теорема о разложении векторных полей. Заданное в области D произвольное векторное поле представимо в виде суммы потенциального и соленоидального полей, т.е. где: Гармонические поля. Заданное в области D векторное поле называют гармоническим или лапласовым, если оно одновременно и потенциальное и соленоидальное В декартовой системе координат - это уравнение Лапласа и его решение – гармонические функции. Л Е К Ц И Я - 3 Ч А С Т Ь - 3 3.1 Метод комплексных амплитуд . Все реальные электромагнитные процессы можно представить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических во времени электромагнитных полей представляет большой практический и теоретический интерес. Такие поля часто называют монохроматическими. В буквальном переводе «монохроматический» означает «одноцветный». Название взято из оптики: как известно, каждому цвету соответствуют колебания определенной частоты. Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд. Если некоторая величина u(t) изменяется во времени по закону u(t) = umcos(ωt + φ) то говорят, что происходят гармонические колебания, причем um называется амплитудой, ω – круговой частотой, а аргумент косинуса ωt + φ – фазой колебания (полной фазой); последняя, если это требуется, приводится к значению, лежащему в пределах 0 ÷ 2π или – π ÷ π; величину φ называют начальной фазой ( а также фазовым сдвигом или просто фазой) Наименьший отрезок времени T, обладающий тем свойством что для любого момента t u(t + T) = u(t), есть по определению, период колебаний, а число периодов в секунду – частота, обозначаемая f. Очевидно . Если такие изменения U(t) в пространстве происходят только в направлении оси z, то волновой процесс в точке z ,будет описываться функцией U(z,t)= umcos(ω(t- z/v) + φ)= umcos(ωt-kz + φ). Здесь z/v- это время требуемое для прохождения пути от 0 до z со скоростью V. Введенный параметр k= ω/v называется волновым числом, а V- фазовой скоростью. При каждом фиксированном t величина U(z,t) дает косинусоидальное пространственное распределение. Его период есть такое приращение координаты z , при котором фаза изменяется на 2 π .Этот пространственный период называется длиной волны и обзначается символом λ , таким образом k λ= 2 π. Рассматриваемый волновой процесс- это плоская однородная гармоническая волна. В теории электромагнитного поля встречаются, в частности, скалярные функции координат и времени вида u(r,t) = u(x,y,z,t) = um(r) cos[ωt + φ(r)], описывающие гармонические колебания в пространстве с амплитудами и фазами, которые могут изменяться от точки к точке. Три такие скалярные функции иногда являются компонентами вектора в декартовой или иной системе координат. Такой вектор может быть представлен в виде: V(r,t) = x0Vmx(r) cos[ωt + φx(r)] + y0Vmy(r) cos[ωt + φy(r)] + z0Vmz(r) cos[ωt + φz(r)]. В частности, если φx = φy = φz, т.е., как говорят, все компоненты вектора колеблются «в одной фазе», то V(r,t) = Vm(r) cos[ωt + φ(r)], где Vm(r) = x0Vmx(r) + y0Vmy(r) + z0Vmz(r) – амплитуда колеблющегося вектора. В дальнейшем в подобных выражениях для краткости будем опускать аргументы (r,t) и (r). Введем комплексную функцию , где i– мнимая единица (i2 = –1), множитель называется комплексной амплитудой колебаний. Для перехода от комплексной функции к функции u нужно взять от реальную часть Как видно, в комплексном представлении мы имеем произведение функции координат и функции времени eiωt. Совершенно аналогично где комплексная амплитуда (функция координат) есть , а в частном случае . Комплексная амплитуда несет информацию как об амплитуде так и о начальной фазе колебаний (трех начальных фазах в общем случае вектора). Пусть имеется линейное уравнение L (V) = F, ( 1 ) где V – неизвестная векторная функция вида, L – некоторый линейный вещественный дифференциальный или интегральный оператор, а F заданная векторная функция того же вида, что и V: F = x0Fmx cos(ωt + φx) + y0Fmy cos(ωt + φy) + z0Fmz cos(ωt + φz). Заметим, что векторное уравнение взято в качестве более общего случая, и все дальнейшие рассуждения применимы и к скалярным уравнениям. Рассмотрим новое уравнение: . ( 2 ) В силу линейности оно распадается на два уравнения относительно действительных и мнимых частей входящих функций , причем первое из этих уравнений не отличается от (1), поскольку и . Это означает, что вещественная часть решения уравнения (2) удовлетворяет первоначальному уравнению (1). Очевидно, что вместо (1) можно решать уравнение (2) и затем разыскиваемую функцию V получать как вещественную часть найденного решения . Преимущество такого подхода – в исключении временной зависимости. Действительно, операции дифференцирования и интегрирования по времени под знаком оператора L в (2) сводятся к умножению и, соответственно, делению функции на iω так что , где Lω – зависящий от ω оператор, который выражает либо дифференцирование или (и) интегрирование по координатам. Внося это в (2) и исключая слева и справа общий множитель eiωt, имеем: . (3) Таким образом, вместо первоначального уравнения (1) относительно функции координат и времени V(r,t) получили уравнение (3) относительно комплексной амплитуды , функции координат. Метод комплексных амплитуд состоит в том, что заданное уравнение типа (1) приводится к виду (3), а после того как оно решено, и функция координат найдена, разыскиваемая функция координат и времени V(r,t) получается как вещественная часть от . 3.2.Средние значения Говорят, что величина u(t1) есть «мгновенное значение» функции u(t) для момента t1. Но часто представляет интерес также среднее значение F, под которым понимают . Очевидно, в частности, что для F= u 3.3.Уравнения Максвелла Как известно из курса физики, анализ электромагнитных процессов возможен только на основе системы уравнений Максвелла: совместно с уравнениями состояния или материальными уравнениями: D = εаE, B = μаH, j = σE, где E – вектор напряженности электрического поля; H – вектор напряженности магнитного поля; B – вектор магнитной индукции; D – вектор электрического смещения; j – вектор объемной плотности тока проводимости; εа и μа – абсолютные диэлектрическая и магнитные проницаемости среды соответственно; σ – удельная проводимость среды; Jст и ρст – объемные плотности сторонних токов и зарядов соответственно, являющихся источниками электромагнитного поля.1 Переходя к комплексным амплитудам и заменяя дифференцирование по времени на умножение на iω (ω – круговая частота), учитывая уравнения состояния, получаем полную систему уравнений Максвелла для комплексных амплитуд с учетом сторонних источников: где и – комплексные амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей, соответственно, и – комплексные амплитуды объемной плотности сторонних токов и зарядов, комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости, δm – угол магнитных потерь. 3.4. Волновые уравнения для векторов E и H При решении прямых задач теории электромагнитного поля требуется найти векторы E и H по известным (заданным источникам). Для отыскания этих векторов необходимо решить уравнения Максвелла, что часто бывает весьма затруднительно. Поэтому целесообразно преобразовать систему уравнений Максвелла, исключив либо вектор E, либо вектор H. Предположим, что сторонние источники расположены в безграничной однородной изотропной среде. Напомним, что однородными называются среды, параметры ε, μ и σ которых не зависят от координат, т.е. свойства среды одинаковы во всех ее точках. Изотропными называются среды с одинаковыми свойствами по разным направлениям. Для вывода волнового уравнения для комплексной амплитуды вектора возьмем ротор от правой и левой частей первого уравнения системы . Учитывая известное из векторного анализа равенство приходим к уравнению Так как среда однородна и изотропна (ε –не зависит от координат) можно вынести за знак ротора скалярные величины (i, ω и ε), а также принимая во внимание второе и четвертое уравнения Максвелла получаем для вектора уравнение, называемое векторным неоднородным уравнением Гельмгольца , где . Для вывода волнового уравнения для комплексной амплитуды напряженности электрического поля возьмем ротор от второго уравнения Максвелла и проведя элементарные преобразования, получаем уравнение 3.5 Решение однородных волновых уравнений Гельмгольца. Плоские волны Если в рассматриваемой области отсутствуют сторонние источники, то электромагнитное монохроматическое поле описывается однородными уравнениями для комплексных амплитуд: Каждое из векторных уравнений этой системы эквивалентно трем однотипным скалярным уравнениям для координатных составляющих соответствующего вектора: , где – любая из составляющих или . Предположим, что в среде отсутствуют потери, следовательно, нужно положить и . Однородное уравнение Гельмгольца в декартовой системе координат (x,y,z) принимает вид , где – любая из составляющих или . Предположим, что поле не зависит от координат x и y (). Это справедливо при определении поля в области V, размеры которой малы по сравнению с расстоянием до источника. Тогда имеем обыкновенное дифференциальное уравнение . Его решение возьмем в форме . Точки над и поставлены, чтобы подчеркнуть, что это в общем случае, произвольные комплексные константы и . Чтобы найти w, возьмем ; это дает: w(z,t) = Pcos(ωt – kz + ψ) + Q cos(ωt + kz + φ). При Q = 0. w(z,t) = Pcos(ωt – kz + ψ) . Поверхность, на которой в данный момент времени мгновенное значение функции постоянно, принято называть поверхностью равных фаз (ПРФ). По виду этой поверхности классифицируются волны. Волны, у которых ПРФ – плоскость, называются плоскими. ПРФ перемещается в пространстве со скоростью: Таким образом имеем плоскую гармоническую волну, движущуюся со скоростью Vф вдоль оси Z; введенный параметр k называется волновым числом. Значения функции w(z,t) периодически повторяются. Пространственный период называется длиной волн λ. Очевидно, что w(z + λ,t) = w(z,t). Поэтому следует, что k . λ =2 π, т.е. , V = λ . f, где f = ω/2π – частота процесса. Заметим, что в данном случае V называется фазовой скоростью. Гармонические волны у которых амплитуда не зависит от поперечных (по отношению к направлению распространения) координат (в рассматриваемом случае x и y) называются однородными. Л Е К Ц И Я - 4 Чтобы составить более наглядное представление о гармонической волне, положим сначала в w(z,t) t =0 и получим w(z,0) = Pcos(– kz + ψ) = Pcos(kz – ψ), т.е. функцию, характеризующую распределение величины w вдоль оси Z в начальный момент t = 0. Эта косинусоида (кривая 1 на рис. 5.1) представляет собой как бы «мгновенный снимок» процесса. Выберем следующий фиксированный момент t1 > 0 и для него запишем: w(z,t1) = Pcos(ωt1 – kz + ψ) = Pcos[k(z – l) – ψ], где l = ωt1/V = V.t1 – есть не что иное, как расстояние, пройденное волной за время t1. «Мгновенный снимок», соответствующий моменту t1, дает, таким образом, косинусоиду, сдвинутую по оси Z на расстояние l (кривая 2 на рис. 5.1). Распространение гармонической волны – это движение косинусоидального распределения w вдоль прямой (оси Z) с постоянной скоростью (Рис.5.1.). Описываемый процесс называется бегущей волной. Рассматривая случай P = 0 , получим также плоскую гармоническую волну, но распространяющуюся навстречу оси Z. Таким образом, найденное решение уравнения выражает суперпозицию двух гармонических волн, распространяющихся со скоростью V в противоположенных направлениях. Рассмотрим случай бегущих навстречу волн с одинаковыми амплитудами P = Q и начальными фазами ψ = φ . При этом из получаем: w(z,t) = 2Pcoskz cos(ωt + ψ). Описываемый процесс называется стоячей волной. Его отличительной особенностью является синфазность колебаний во всем пространстве. Фаза ωt + ψ зависит только от времени и постоянна для всех z; в зависимости от z косинусоидально изменяется амплитуда гармонических колебаний wm = 2Pcoskz*. Ряд «мгновенных снимков» процесса для разных моментов времени приведен на рис.5.2. Косинусоидальное распределение вдоль оси z не движется (в отличие от бегущей волны), а испытывает синфазные гармонические колебания; при этом расстояния между соседними нулями («узлами») и максимумами («пучностями») распределения равны λ/2. В случае среды с потерями , где k' и k" – действительные числа. Соответственно решение уравнения (5.1.3) имеет вид: , или . Чтобы найти w, возьмем ; это дает: w(z,t) = Pe–k"zcos(ωt – k'z + ψ) + Qek"z cos(ωt + k'z + φ). Гармоническая плоская волна у которой амплитуда зависит только от продольной по отношению к направлению распространения координаты является также однородной: w(z,t) = wm(z)cos(ωt – kz). и, в частности, полагая коэффициент Q = 0, получаем гармоническую однородную затухающую волну w(z,t) = Pe–k"zcos(ωt – k'z + ψ), (k">0) с амплитудой, уменьшающейся экспоненциально по мере ее распространения; параметр k" – называется коэффициентом затухания. Два «мгновенных снимка» затухающей волны для моментов t = 0 и t1 > 0 показаны на рис. 5.3. Сферическая и цилиндрическая волны выражаются частными решениями однородного уравнения в сферических и цилиндрических координатах при отсутствии зависимости от угловых координат φ и θ в сферической и от φ и z в цилиндрической системах. 3.6.1 Волновые уравнения для электродинамических потенциалов Полученные в разделе (3.3) дифференциальные уравнения позволяют в принципе определить векторы напряженности электрического и магнитного поля через функции объемных плотностей сторонних токов и сторонних зарядов. Однако наличие в их правых частях выражений grad ρст и rot jст затрудняет получение удобных расчетных формул. Поэтому, как правило, эти уравнения используют в тех случаях, когда сторонние источники расположены за пределами рассматриваемой области, т.е. когда волновые уравнения становятся однородными. В общем случае для определения векторов поля по заданным источникам обычно применяют искусственный прием: сначала находят вспомогательные функции, а потом через них вычисляют векторы E и H. Эти вспомогательные функции можно ввести различным образом в зависимости от особенностей решаемой задачи. Для упрощения решения многих задач вводят так называемые электродинамические потенциалы. Из четвертого уравнения Максвелла следует, что (). Так как дивергенция ротора любого вектора равна нулю (div rot a = 0) то можно утверждать, что , где Am – комплексная амплитуда некоторого вектора. Представим вектор в виде При известном векторе Аm это уравнение позволяет однозначно найти вектор Hm. Волновое уравнение для векторного потенциала: . Векторный и скалярный потенциал связаны соотношением , которое обычно называют условием калибровки Лоренца Волновое уравнение для скалярного потенциала: . 3.6.2. Решение неоднородного уравнения Гельмгольца для электродинамических потенциалов Неоднородные уравнения Гельмгольца для векторного и скалярного потенциалов: , . Имеют решения: . 3.7.Решение однородного уравнения Гельмгольца методом разделения переменных в декартовой системе координат При решении граничных задач для различных уравнений с частными производными широко используется так называемый метод разделения переменных, позволяющий свести исходную задачу к трем задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод применим при использовании ортогональных систем координат (например декартовой, цилиндрической, сферической и др.), когда граничная поверхность задачи может рассматриваться как координатная. Однородное уравнение Гельмгольца в декартовой системе координат (x,y,z) принимает вид Будем искать решение этого уравнения в виде произведения трех функций w=w(x.y,z) = X(x).Y(y).Z(z), где X(x) – функция только координаты x, Y(y) – функция только координаты y, Z(z) – функция только координаты z. Подставим в исходное уравнение и разделим все члены на w=X.Y.Z. Это дает . Как видно первые три члена – функции разных аргументов, а четвертый постоянен, то есть Предположим, что переменные y и z – принимают некоторое фиксированное значение тогда F2(y) и F3(z) – становятся некоторыми константами. Рассуждая аналогичным образом можно показать что F2(y) и F3(z) являются постоянными величинами. Тогда можно записать следующую систему из трех обыкновенных дифференциальных уравнений . Общие решения таких уравнений хорошо известны: X(x) = Acosγxx + Bsinγxx или , . Можно записать аналогичные решения и для Y(y) и Z(z). Таким образом, получаем Данная символическая запись означает, что каждый из сомножителей решения (X,Y и Z) можно брать как в форме верхней, так и в форме нижней строчки. Очевидно, что записанная функция выражает решение исходного уравнения при любых постоянных коэффициентах A,B,…,T,V и любых постоянных , удовлетворяющих равенству в нижней строчке. Л Е К Ц И Я - 5 3.8. Уравнение Бесселя и цилиндрические функции При рассмотрении электромагнитных полей в областях с симметрией кругового цилиндра встречается обыкновенное дифференциальное уравнение вида , которое называется уравнением цилиндрических функций, или уравнением Бесселя n-го порядка. Приведем некоторые сведения о его решениях – цилиндрических функциях. Тригонометрические и экспоненциальные функции являются решениями дифференциального уравнения , которое при некоторых ограничениях можно рассматривать как предельную форму уравнения Бесселя при x → ∞. Сходство этих уравнений помогает понять роль цилиндрических функций в разных задачах, а также их взаимные соотношения. Частным решениям второго уравнения cos x, sin x соответствуют следующие частные решения уравнения Бесселя: Jn(x) – функция Бесселя n–го порядка, Nn(x)– функция Неймана n –го порядка. Точно так же частным решениям eix, e-ix соответствуют частные решения уравнения частные решения уравнения Бесселя: H(1)n(x) – функция Ханкеля 1-го рода n–го порядка, H(2)n(x)– функция Ханкеля 2-го рода n –го порядка. На рис. 8.1 приведены графики некоторых из цилиндрических функций. Подобно тому, как eix=cosx+isinx и e–ix=cosx–isinx, имеют место соотношения H(1)n(x)= Jn(x) + iNn(x), H(2)n(x)= Jn(x) – iNn(x). Цилиндрические функции не являются периодическим (как, например, тригонометрические функции вещественного аргумента), однако это «осциллирующие», колеблющиеся функции. Функции Jn(x) и Nn(x) с возрастанием положительного x принимают значения, колеблющиеся около нуля с монотонно убывающей амплитудой. Их графики создают впечатление деформированных тригонометрических кривых. Полезно помнить, что J0(0) = 1, Jn(0) = 0, n ≠ 0 и Подобно общим решениям y = A cos x + B sin x и y = Pe–ix + Q eix имеются общие уравнения Бесселя в виде: y = AJn(x) + BNn(x) y = PHn(2)(x) + QHn(1)(x). Обычно требуется, чтобы решение задачи удовлетворяло условию ограниченности ‌‌ y ‌ <∞. Соответственно этому, если в рассмотрение входит точка x = 0, то общее решение уравнения Бесселя имеет вид: y = AJn(x). Действительно единственная возможность получения ограниченного решения на отрезке, включающем нуль, состоит в том, что неопределенный коэффициент B полагается равным нулю. Асимптотические представления. При неограниченно возрастающем аргументе Jn(x) и Nn(x) переходят в тригонометрические функции, а Hn(2)(x) и Hn(1)(x) – экспоненциальные , , , . Употребленный здесь символ 0(...) означает величину, убывающую при x → ∞ как функция, заключенная в скобки (в данном случае 1/x3/2). Степенные ряды; представления функций малого аргумента. Функции Бесселя представляются степенными рядами вида: . В частности (учитывая, что 0! = 1), . Поэтому при ‌‌ x ‌‌ << 1 . В частности, . Ввиду громоздкости ряд для функций Неймана мы не приводим. При ‌‌ x ‌‌ << 1 эти функции представляются в виде: и , (γ = 1,781...) . Функциональные соотношения. Запишем ряд употребительных формул, используя символ Zn(x) для обозначения произвольной цилиндрической функции (формулы верны при подстановке в качестве Zn(x) функций Бесселя, Неймана и Ханкеля) Для натурального n Z–n = (–1)nZn(x). В частности, Z–1(x) = –Z1(x). При дифференцировании цилиндрических функций пользуются соотношениями: и а также Для n = 0 и n = 1 получаем: Таблицы корней. Корни уравнения Jn(x) = 0 это значения аргумента функции Jn(x), при которых она обращается в нуль. Эти числа используются при анализе электромагнитного поля. Обозначая их Bnm, приведем следующую таблицу: Таблица 3.1 m n 1 2 3 4 2,405 5,520 8,654 11,792 1 3,832 7,016 10,173 13,323 2 5,136 8,417 11,620 14,796 3 6,380 9,761 13,015 16,223 4 7,588 11,065 14,372 17,616 (n – порядок функции, m – номер корня) Точно так же важны корни производной функции Бесселя Jn' (x) = 0 которые обозначены Anm и сведены в таблицу: Таблица 3.2 m n 1 2 3 4 3,832 7,016 10,173 13,324 1 1,841 5,331 8,536 11,706 2 3,054 6,706 9,969 13,170 3 4,201 8,015 11,346 4 5,317 9,282 12,682 (n – порядок функции, m – номер корня) 3.9. Решение однородного уравнения Гельмгольца методом разделения переменных в цилиндрической системе координат В цилиндрической системе координат (r,φ,z) однородное уравнение Гельмгольца примет вид Будем искать решение этого уравнения в виде произведения трех функций w(r,φ,z) = R(r).Φ(φ).Z(z), где R(r) – функция только координаты r, Φ(φ) – функция только координаты φ, Z(z) – функция только координаты z. В результате подстановки в исходное уравнение и деления на w=R.Φ.Z получаем: Поступая аналогично случаю решения в декартовой системе координат, получаем систему следующих обыкновенных дифференциальных уравнений, эквивалентную уравнению Гельмгольца: , , k2 = γ2+ γ2z. , Общие решения этих уравнений известны, причем каждое можно записать в двух формах: с использованием функций Бесселя и Неймана или Ханкеля для первого уравнения и с использованием тригонометрических или экспоненциальных – для двух последних уравнений. Таким образом, находим следующее выражение w=R.Φ.Z . Форма записи имеет тот же смысл, что и для декартовой системы; аналогично также значение входящих в выражение постоянных.