Важнейшие виды распределений случайных величин

ТЕМА 4: ВАЖНЕЙШИЕ ВИДЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины 𝑋 – числа появлений события 𝐴 в 𝑛 независимых повторных испытаниях, в каждом из которых событие 𝐴 может наступить с вероятностью 𝑝или не наступить с вероятностью 𝑞 = 1 − 𝑝. Тогда 𝑃(𝑋 = 𝑚)– вероятностьпоявления события 𝐴 ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли: 𝑃(𝑋 = 𝑚) = 𝐶𝑛𝑚 𝑝𝑚 𝑞𝑛−𝑚 Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, находят, соответственно, по формулам: 𝑀(𝑥) = 𝑛𝑝; 𝐷(𝑥) = 𝑛𝑝𝑞; 𝜎(𝑥) = √𝑛𝑝𝑞. Если число испытаний 𝑛 очень велико, а вероятность появления события 𝐴 очень мала, то для вычисления 𝑃(𝑋 = 𝑚)используют формулу Пуассона: 𝜆𝑚 ⋅ ⅇ −𝜆 𝑃(𝑋 = 𝑚) = . 𝑚! Тогда говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Так как вероятность 𝑝 события 𝐴 в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона еще называют законом редких явлений: 𝑀(𝑥) = 𝜆, 𝐷 (𝑥) = 𝜆. По виду функции плотности выделяют стандартные распределения непрерывной случайной величины. Рассмотрим самые важные из них. 1 Равномерное распределение Равномерным называют распределение такой случайной величины, все значения которой принадлежат некоторому определённому интервалу, а функция плотности на этом интервале постоянна. Приведём примеры равномерно распределённых случайных величин. Пример 1. Шкала измерительного прибора проградуирована в некоторых величинах, ошибка округления до целого – равномерно распределённая случайная величина, значения которой принадлежат интервалу от нуля до цены деления. Пример 2. Транспорт ходит строго по графику с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Т, в течение которого он будет ждать поезда – равномерно распределённая случайная величина, значения которой принадлежат интервалу (0; 2). Из условия нормировки следует, что функция плотности равномерно распределённой случайной величины имеет вид: 1 при 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏 ] 𝑓(𝑥) = {𝑏 − 𝑎 0 при 𝑥 ∉ [𝑎; 𝑏 ] Функция распределения равномерно распределённой случайной величины имеет вид: 0 при 𝑥 < 𝑎 𝑥−𝑎 при 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝐹 (𝑥) = { 𝑏−𝑎 1 при 𝑥 > 𝑏 2 Легко выводятся так же формулы для нахождения числовых характеристик равномерно распределённой случайной величины (выведите формулы самостоятельно): 𝑀 (𝑋) = 𝑎+𝑏 ; 2 (𝑏 − 𝑎)2 𝐷(𝑥) = ; 12 𝑏−𝑎 𝜎 (𝑋 ) = . 2 √3 Показательное распределение Показательным (экспоненциальным) называют распределение такой случайной величины, функция плотности которой задается следующим образом: 0 при 𝑥 < 0 𝑓(𝑥) = { −𝜆𝑥 , 𝜆ⅇ при 𝑥 ≥ 0 где 𝜆 – параметр показательного распределения. Функция распределения показательно распределённой случайной величины имеет вид: 0 при 𝑥 < 0 𝐹 (𝑥 ) = { 1 − ⅇ −𝜆𝑥 при 𝑥 ≥ 0 3 Числовые характеристики показательно распределённой случайной величины можно найти по формулам (выведите формулы самостоятельно): 1 ; 𝜆 1 𝐷(𝑥) = 2 . 𝜆 𝑀(𝑋) = Приведём пример показательно распределённой случайной величины. Пусть в магазин время от времени заходят покупатели. С некоторыми допущениями время между двумя последовательными покупателями – случайная величина, распределённая по показательному 1 закону. Среднее время ожидания покупателя 𝑀(𝑋) = 𝜆, а параметр 𝜆 может быть интерпретирован как среднее количество покупателей в единицу времени. Так же показательное распределение широко применяется в теории надёжности, основным понятием которой является функция надёжности, определяющая вероятность безотказной работы прибора за время длительностью 𝑡. Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, в котором функция распределения определяет вероятность отказа элемента за время 𝑡: 𝐹 (𝑡 ) = 𝑃(𝑇 < 𝑡 ). Вероятность отказа элемента за время 𝑡 – вероятность противоположного события, следовательно: 𝑅 (𝑡 ) = 𝑃(𝑇 > 𝑡 ) = 1 − 𝐹 (𝑡 ). Показательным законом надёжности надёжности, определяемую равенством: 𝑃(𝑡 ) = ⅇ −𝜆𝑡 . 4 называют функцию Нормальный закон распределения Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид: 𝑓(𝑥) = 1 𝜎√2𝜋 ∙ −(𝑥−𝑚)2 ⅇ 2𝜎2 , где 𝑚 = 𝑀(𝑋), 𝜎2 = 𝐷(𝑋), 𝜎 > 0. Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой. Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = 𝑚, имеет максимум в точке 𝑥 = 𝑚, равный 𝜎 1 √2𝜋 . Из условия нормировки ясно, что с увеличением 𝜎 значение максимума снижается, а сам график становится более пологим. 5 Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле: 𝑥−𝑚 1 )+ , 𝐹 (𝑥) = Ф ( 𝜎 2 где Ф(x) – функция Лапласа. Замечание. Функция Ф(х) является нечетной (Ф(𝑥) = Ф(𝑥)), кроме того, при 𝑥 > 5 можно считать Ф(𝑥) ≈ 1/2. Вероятность того, что случайная величина Х примет значения, принадлежащие интервалу (a;b) вычисляются по формуле: Р (𝑎 < Х < 𝑏 ) = Ф ( 𝑏−𝑚 𝑎−𝑚 )−Ф( ). σ σ Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от ее математического ожидания меньше положительного числа δ вычисляется по формуле: δ 𝑃 (|𝑋𝑚| < 𝛿 ) = 2 ∙ Ф ( ). σ В частности, при 𝑚 = 0 справедливо равенство: δ 𝑃(|𝑋| < 𝛿 ) = 2 ∙ Ф ( ). σ "Правило трех сигм" Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m и σ, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (𝑚 − 3𝜎; 𝑚 + 3𝜎), так как 𝑃(|𝑋 𝑚| < 3𝜎) = 0,9973. 6