Важнейшие распределения непрерывных случайных величин

Важнейшие распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение на отрезке Непрерывная случайная величина Х называется равномерно распределенной на отрезке [a,b], если ее функция плотности вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю за его пределами, т. е. c, x  [a, b], f ( x)   , где с – некоторая постоянная. 0, x  [ a, b]. b Так как  b f ( x)dx   cdx  c(b  a )  1, a то c  a 1 . ba Для функции распределения F(x) имеем x F ( x)   x f (t )dt   x F ( x)   a f (t )dt   x  0  dt  0,  x если x  a; xa dt  0  dt   b  a  b  a ,  a если a  x  b; a b x dt F ( x)   f (t )dt   0  dt    0  dt  1, если x  b. b  a b   a Таким образом, для случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a, b], функция плотности вероятности и функция распределения имеют вид  0, x  a,  1 x  a , x  [a, b], f ( x)   b  a F ( x)   , a  x  b, b  a  0, x  [a, b].  x  b.  1, Графики функций f(x) и F(x) изображены на рис. 3.2 и 3.3. f(x) F(x) 1 ba 1 a b x Рис. 3.2 Найдем основные числовые характеристики: a Рис. 3.3 b x 1 b ab MX   xf ( x)dx  xdx  ;  b  a 2 a a b 1 b 2 b 2  ab  a 2 MX   x f ( x)dx  ;  x dx  baa 3 a 2 b 2 b 2  ab  a 2 (a  b) 2 (b  a) 2   . 3 4 12 Тот факт, что Х равномерно распределена на отрезке [a, b], будем обозначать как X ~ U [a, b]. Примерами реальных ситуаций, связанных с необходимостью рассмотрения равномерно распределенных случайных величин, могут служить: анализ ошибок округления при проведении числовых расчетов (такая ошибка, как правило, оказывается равномерно распределенной на интервале от –5 до +5 единиц округляемого десятичного знака); время ожидания «обслуживания» при точно периодическом, через каждые Т единиц времени, включении (прибытии) «обслуживающего устройства» и при случайном поступлении (прибытии) заявки на обслуживание в этом интервале. Например, время ожидания пассажиром прибытия поезда метро при условии точных двухминутных интервалов движения и случайного момента появления пассажира на платформе будет распределено приблизительно равномерно на интервале [0 мин., 2 мин.]. DX  MX 2  ( MX ) 2  Пример 3.7. Два бухгалтера ездят на работу, у первого дорога отнимает 20–25 мин., у второго – 20–30 мин. Любое время на дорогу в этих пределах равновероятно. Определить вероятность того, что дорога на работу занимает у каждого бухгалтера от 20 до 22 мин., а также среднее время на дорогу. Решение. Здесь случайные величины X 1 , X 2 – время, затрачиваемое на дорогу первым и вторым бухгалтерами, равномерно распределены на отрезках [20, 25] и [20, 30] соответственно. Функции плотности вероятности запишутся для них как 1 1  , x  [20,25],  , x  [20,30], f1 ( x)   5 f 2 ( x)  10 0, x  [20,25].  0, x  [20,30]. Искомая вероятность для первого бухгалтера составит 22 1 P (20  X 1  22)   f1 ( x) dx  (22  20)  0, 4. 5 20 Для второго бухгалтера: 22 1 P(20  X 2  22)   f 2 ( x)dx  (22  20)  0,2. 10 20 Среднее время на дорогу для первого бухгалтера 20  25 20  30 MX1   22,5 мин. , для второго MX 2   25 мин. 2 2 Экспоненциальное (показательное) распределение Непрерывная случайная величина Х, принимающая неотрицательные значения, распределена по экспоненциальному закону с параметром λ  0 ( X ~ E ( ) ), если ее плотность вероятности равна  e   x , x  0 f ( x)    0, x  0. Функция распределения определяется как 0, x  0,  x  F ( x)   f (t )dt   x  t  t x  x     e dt  e |0  1  e , x  0. 0 1  e   x , x  0, т. е. F ( x)    0, x  0. Графики функций f(x) и F(x) изображены на рис. 3.4 и 3.5. F(x) f(x)  1 x x Рис. 3.4 Основные распределения: Рис. 3.5 числовые  характеристики для экспоненциального  ux du  dx   MX   xf ( x)dx    xe   x dx     x  x  dv   e dx v   e     xe  x    e  x 1 dx   e    x  1  . Здесь для вычисления   xe интеграла  λx использовали dx формулу интегрирования по частям, а при нахождении предела lim xe x x  x 1  lim  x  0.  x x  x  e x   e    u  x2 du  2 xdx  2 2 2  x MX   x f ( x )dx    x e dx     x  x  dv   e dx v   e   использовали правило Лопиталя: lim xe  x  lim 2  x   x e   2  xe   x dx  2 . 2 2 1 1 DX  MX 2  ( MX ) 2  2  2  2 .    Практически экспоненциальное (показательное) распределение описывает распределение длительности жизни элемента сложной системы или индивидуума, работающего в «режиме нормальной эксплуатации» (задачи теории надежности, анализ коэффициентов смертности в демографии и т. п.). Экспоненциально распределенную случайную величину можно интерпретировать как промежуток времени между двумя последовательными наступлениями событий в простейшем потоке событий. При этом параметр λ экспоненциального распределения равен интенсивности потока. Прикладная популярность экспоненциального закона объясняется не только разнообразными возможностями его естественной физической интерпретации, но и исключительной простотой и удобством его модельных свойств (вида функции распределения и функции плотности вероятности, а также основных числовых характеристик, которые однозначно определяются значением параметра λ ). Нормальное (гауссовское) распределение Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а и  (краткое обозначение X ~ N (a, ) ), если ее функция плотности вероятности имеет вид ( x  a )2  1 f ( x)  e 2 2 ,    x  . (3.6) 2 Чтобы выяснить вероятностный смысл параметров а и  , определим основные числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсию нормальной случайной величины.  1 MX   xf ( x)dx  2  1 = 2   (a  2 t )e так как I1   xe  x a   t , x  a  2 t ,   dx   2 = dx  2 dt    ( x  a )2 2 2  a 2 dt  t 2      a  I1  2   2  e dt  t 2    t  te dt  2  I 2  a,  e dt   – интеграл Пуассона, I 2  t 2   t  te dt  0 – интеграл в 2  симметричных пределах от нечетной функции. Дисперсию определим как второй центральный момент:   ( x  a )2 1 2 2 2  2 2 DX  M ( X  MX )   ( x  a ) f ( x)dx  ( x  a) e dx   2     2 1 x a    t , x  a  2 t , dx  2 dt   2 2t 2e  t 2 dt   2   2    du  dt   2  u  t 2 2 t 2  t 2  t 2  2t e dt   (  te |  e dt )   2 . 2 2      t t     dv  2te dt v  e  t 2 Здесь lim(te )  0 , а t   e t 2 dt   .  Таким образом, а и  – параметры нормального закона – интерпретируются, соответственно, как среднее значение и стандартное отклонение данной случайной величины. Функция распределения для нормального закона X ~ N (a, ) определяется как x ( t  a )2  2 1 F ( x)  e 2 dt. (3.7)  2  Графики функций f(x) и F(x) изображены на рис. 3.6 и на рис. 3.7. f(x) 1 1 2  F(x) 0,5 a-  a a+  Рис. 3.6 x a Рис. 3.7 x Кривая распределения для нормального закона симметрична относительно параметра а – математического ожидания или центра распределения. Очевидно значения моды и медианы здесь совпадают и равны а, асимметрия и эксцесс также равны друг другу и равны нулю. Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины Х, подчиненной нормальному закону с параметрами а,  , на участок от α до β  2 ( xa )  1 P (  X   )  F (  )  F ( )  e 2 2 dx. (3.8)  2  Практическое вычисление интеграла по формуле (3.8) затруднительно, здесь a  (;) и   (0;) . Для того, чтобы упростить расчет X a вероятностей (3.8), перейдем к новой случайной величине Y  .  Величина Y есть центрированная (вычитание а дает смещение центра распределения в начало координат), нормированная (деление на  – нормирование) случайная величина, также распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием  X a 1 MY  M    (MX  a)  0      X a 1 и дисперсией DY  D    2 DX  1 , т. е. Y ~ N (0,1) .     Условимся называть нормальный закон с параметрами а = 0 и  2 =1 стандартным, а его функцию плотности и функцию распределения обозначать, соответственно,  (x) и  * ( x) и определять как  ( x)  1  x22 e , 2 (3.9) x 2 1  t2  ( x)  (3.10)  e dt. 2  Значения этих функций содержатся в специальных таблицах (см. приложение 2). Графики их представлены на рис. 3.8 и 3.9. * Φ* (x) (x) 1 2 1 0,5 –1 1 x x Возвращаясь к формуле (3.8), проведем центрирование и нормирование xa переменной, т. е. обозначим  y , тогда dx  dy и  (  a ) /  y2   a  a 2 P (  X   )  e dy  * ( )  * ( ). (3.11)    2 ( a ) /  В различных руководствах по теории вероятностей и математической статистике имеются таблицы значений не только функции распределения стандартного распределения  * ( x) , но и так называемой функции Лапласа (приложение 3) x 2 1  t2  ( x)  e dt. (3.12) 2 0 или удвоенной функции Лапласа x 2 2  t2  0 ( x)  e dt. (3.13) 2 0 Тогда вероятность того, что случайная величина X ~ N (a, ) примет значения из интервала ( ,  ) (или промежутка [ ,  ] ), можно вычислять также по формуле  a  a 1  a  a  P(  X   )  ( )  ( )   0 ( )  0 ( ) . (3.14)   2    Сведем в следующую таблицу свойства функций  * ( x),  ( x),  0 ( x). 1  ( x)  2 * x e x 2  t2 dt   ()  0 * 2 1  t2  ( x)  e dt 2 0 ()  0,5 ()  0,5 0 ()  1 * (0)  0,5 (0)  0 0 (0)  0 ( x)  ( x)  * ( x) (x) 1 х 0 ( x)  0 ( x)  0 ( x) 0,5 -1 0 0 ()  1 * ()  1 * (  x )  1   * ( x ) 1 x 2 2  t2  0 ( x)  e dt 2 0 х х -0,5 Пользуясь формулами (3.11) или (3.14), для случайной величины X ~ N (a, ) , можно вычислить следующие вероятности: P(a    X  a   )  0,683, P(a  2  X  a  2 )  0,955, P(a  3  X  a  3 )  0,997. Существует практическое правило «трех  », которое позволяет во многих приближенных вычислениях считать, что реализация какого-либо числового значения нормальной случайной величины в пределах ( a  3 ,a  3 ) будет практически достоверным событием, а реализация значений за пределами этого промежутка практически невозможна. Нормальное распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследованиях. В качестве непрерывной аппроксимации к биномиальному распределению оно впервые рассматривалось А.Муавром еще в 1733 году (см. ниже теорему МуавраЛапласа, п. 4.2.2). Некоторое время спустя нормальное распределение было снова открыто и изучено независимо друг от друга К.Гауссом (1809 г.) и П.Лапласом (1812 г.). Оба ученых пришли к нормальному закону в связи со своей работой по теории ошибок наблюдений. Идея их объяснения механизма формирования нормально распределенных случайных величин заключается в следующем. Утверждается, что значения исследуемой непрерывной случайной величины формируются под суммарным воздействием очень большого числа независимых случайных факторов, причем сила воздействия каждого отдельного фактора мала и не может оказывать подавляющего действия на все остальные. Можно показать, что функция плотности вероятности случайных величин подобного типа имеет вид (3.6). Во многих случайных величинах, связанных с измерениями в экономике, технике, медицине, биологии и в других областях, естественно видеть суммарный аддитивный эффект большого числа независимых причин. Отсюда следует особая популярность нормального закона для описания распределения разнообразных случайных величин. Например, нормальное распределение используется в ситуациях, связанных с измерениями веса или объема товаров, роста мужчин, проходящих медкомиссию, срока службы электроламп и т.д. Теоретически значения нормальной случайной величины находятся в интервале  ,   . Однако на практике нормальное распределение обычно используется для случайной величины, значения которой расположены в ограниченном интервале (о чем говорит и правило «трех  »). Пример 3.8. Производителю электроламп известно, что средний срок работы лампы составляет 600 ч, а стандартное отклонение срока работы – 40 ч. Какова вероятность того, что срок работы: 1. менее 700 ч; 2. от 550 до 700 ч; 3. 2% ламп имеют минимальный срок работы. Какова его величина. Решение. Будем считать, что случайная величина Χ – срок работы электролампы – распределена по нормальному закону с параметрами a  600ч,   40 ч. Для определения искомых вероятностей воспользуемся формулой (3.14) и соответствующими значениями функции Лапласа из приложения 3:  700  600  P  X  700   P    X  700            40 1.      2,5   0,5  0,4938  0,5  0,9938. Иными словами, 99,38% ламп проработает 700 ч и меньше.  700  600   550  600  P  550  X  700         40 40 2.        2,5    1,25   0,4938  0,3944  0,8882, т.е. 88,82% ламп будут работать от 550 до 700 ч. 1. Этот вопрос в задаче несколько отличается от остальных. Известно, что P X x  0,02 или  min   x  600  P    X  xmin     min   0,5  0,02 , 40    x  600    min   0,48 , 40   так как    x     x  , то  600  xmin     0,48 . 40   В таблице значений функции Лапласа находим тот ее аргумент, при котором она равна 0,48: 600  xmin  2,055 , 40 отсюда xmin  600  40  2,055  600  82,2  517,8 ч. Таким образом, для 2% ламп с минимальной продолжительностью работы срок работы составляет 517,8 ч. В заключение этого параграфа отметим, что особая популярность нормального закона объясняется не только его сравнительно простыми математическими свойствами и большой практической применимостью, но и тем, что даже в случае отклонения исследуемых экспериментальных данных от нормального закона существуют, по крайней мере, два пути его целесообразной эксплуатации. 1. Использовать его в качестве первого приближения; при этом нередко оказывается, что подобное допущение даёт достаточно точные с точки зрения конкретных целей исследования результаты. 2. Подобрать такое преобразование исследуемой случайной величины Χ , которое видоизменяет исходный «ненормальный» закон распределения, превращая его в нормальный. Так при описании распределения доходов населения, банковских вкладов, месячной заработной платы и др. используют не сами значения исследуемой величины, а их логарифмы. Такие преобразованные величины будут, как правило, нормально распределенными, а распределение исходной величины называют логарифмически нормальными или логнормальным. Приведем краткие сведения об этом законе и пример его практического использования. Случайная величина X , принимающая лишь положительные значения, распределена по логарифмически нормальному закону, если ln X N  a,  . Для x  0 событие, состоящее в том что X  x , равносильно тому, что ln X  ln x , отсюда функция распределения случайной величины X запишется как: ln x  t ln a  2 1 2 2 F  x   P  X  x   P  ln X  ln x   e dt .  2  Дифференцируя этот интеграл по x , получим выражение функции плотности вероятности: f  x   ln x ln a  1 2 x e 2 2 2 . Для логнормального закона: 2   MX  ae 2 , DX  a 2e e  1 , 2 xmod  ae  , 2 2 xmed  a . Если для нормально распределенной случайной величины параметр a равен ее среднему значению, то для логарифмически нормально распределенной величины этот параметр равен медиане. Пример 3.9. Проведенное исследование показало, что вклады населения в данном банке могут быть описаны случайной величиной X , для которой ln X N  a,  , a  530,   0,8 . Найти: 1) средний размер вклада; 2) долю вкладчиков, размер вклада которых составляет не менее 1000 у.е.; 3) моду и медиану случайной величины X и пояснить их смысл. Решение. Здесь X – размер вклада является случайной величиной, логарифмированные значения которой распределены по нормальному закону с заданными параметрами, т.е. ln X N  530;0,8 . 2 0,64 2 1) Средний размер вклада найдем как MX  ae  530e  730 у.е. 2) Долю вкладчиков, размер вклада которых составляет не менее 1000 у.е., определим как вероятность 2  ln1000  ln530  P 1000  X              0,5    0,79   0,5  0,285  0,215 0,8   (при вычислении этой вероятности мы воспользовались формулой (3.14) и соответствующим значением функции Лапласа из приложения 3). 3) Найдем моду и медиану случайной величины X : 2 xmod  ae   530e 0.64  280 у.е., то есть наиболее часто встречающийся банковский вклад равен 280 у.е.; xmed  a  530 у.е., т.е. половина вкладчиков имеют вклады до 530 у.е., а другая – сверх 530 у.е. Представим графически полученную информацию о случайной величине X (рис. 3.10) f(x) P  X  1000   0, 215 200 MX xmed xmod 400 600 800 1000 x Рис. 3.10 Удобным для статистических приложений является также свойство «самовоспроизводимости» нормального закона, заключающееся в том, что сумма любого числа нормально распределённых случайных величин тоже подчиняется нормальному закону распределения. Кроме того, нормальный закон имеет большое теоретическое значение: с его помощью выведен целый ряд других важных распределений, о которых пойдёт речь в следующем разделе, построены различные статистические критерии и т. п. (см. п. 7.3). Специальные распределения, встречающиеся в задачах математической статистики В этом разделе мы рассмотрим некоторые специальные распределения, которые используются в задачах математической статистики при построении разнообразных статистических критериев и интервальных оценок параметров:  2 – распределение («хи-квадрат» – распределение), t – распределение (распределение Стьюдента), – распределение F (распределение Фишера). Эти распределения описывают поведение некоторых функций от набора независимых и нормально распределенных случайных величин. При изучении первой части нашего курса – основ теории вероятностей, – этот параграф может быть пропущен. Сведения об этих распределениях необходимы при изучении соответствующих разделов математической статистики. «Хи-квадрат» – распределение Распределением «хи-квадрат» с числом степеней свободы, равным n, называется распределение случайной величины вида  2  n   X 12  X 22   X n2 , (3.15) где X 1 , X 2 ,, X n – независимые случайные величины, распределенные по нормальному стандартному закону, т.е. X i ~ N  0,1 , i  1, , n . Функция распределения и функция плотности вероятности случайной величины  2 n  имеют довольно сложный вид, они однозначно определяются параметром n – целым положительным числом, которое принято называть числом степеней свободы. Практически, число степеней свободы n – это число не связанных между собой величин X i , участвующих в формировании величины  2 n  . Если между величинами Χ i существуют связи, то число степеней свободы будет уменьшаться на соответствующее число единиц. Так при наличии одной связи вида n  X i  n X , число степеней i 1 свободы будет равно n  1. На рис. 3.11 приведены графики функций плотности  2 n  – распределения для различных значений n . При увеличении n  2 n  – распределение приближается к нормальному закону. Основные числовые характеристики  2 n  -распределения:   2 n   n, D 2 n   2n . Квантили  2 n  -распределения содержатся в специальных таблицах (см. приложение 4). f  2 n   x  n=1 n=3 n=5 n = 10 4 8 12 16 20 x 24 Рис. 3.11 Распределение Стьюдента (t - распределение) Распределением Стьюдента (t – распределением) с п степенями свободы называется распределение случайной величины X0 , (3.16) t ( n)  X 12  ...  X n2 n где Χ 0 , Χ 1 ,, Χ n – независимые случайные величины, распределенные по   нормальному закону с MX i  0, DX i   2 , i  0,1,, n, т.е. X i ~ N 0,  2 . В частности, если Χ i – независимые стандартные нормальные величины, X0 Χ i ~ N 0,1 , i  0,1,, n , то t  n   . X 2 n n Английский статистик Госсет (псевдоним «Стьюдент») получил в 1908 г. распределение для случайной величины (3.16), которое и названо его именем. Он показал, что функция плотности вероятности величины (3.16) не зависит от дисперсии  2 случайных величин Χ i , является унимодальной и симметричной относительно x  0 . Её значения определяются числом степеней свободы n и табулированы. Квантили t-распределения приведены в специальных таблицах (см. приложение 5). При увеличении n распределение Стьюдента приближается к нормальному закону. Основные числовые n (существует только n2 при n  2 ). На рис. 3.12 приведены графики функций плотности t n распределения для различных значений n . характеристики t -распределения: Mtn   0, Dt n   f t ( n ) ( x) 0,4 n =4  ( x) для N (0,1) n=1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x Рис. 3.12 Распределение Фишера (F-распределение) Распределением Фишера (F-распределением) с двумя числами степеней свободы n1 и n 2 называется распределение случайной величины 1 Χ 12  Χ 22   Χ n21 n , (3.17) F  n1 , n2   1 1 2 2 2 Υ  Υ 2   Υ n2 n2 1 где Χ 1 , , Χ n1 ,Υ1 , ,Υ n2 – независимые случайные величины, распределённые     по нормальному закону   с MΧ i  MΥ j  0 ,   DΧ i  DΥ j  σ 2 i  1,, n1 , j  1,, n2 , Χ i ~Ν 0 ,σ 2 , Υ j ~Ν 0 ,σ 2 . Та же самая случайная величина может быть определена и как отношение двух независимых и соответствующим образом нормированных χ 2 - распределенных величин  2 n1  и  2 n2  , т. е. 1 2  n1  n1 . F n1 , n2   1 2  n2  n2 Английский статик Р. Фишер в 1924 году показал, что плотность вероятности случайной величины F n1 , n2  определяется только числом степеней свободы числителя n1 и числом степеней свободы знаменателя n2 ; она имеет довольно сложный вид и табулирована. В приложении 6 приведены 0,95-квантили F -распределения для разных значений n1 и n2 . При увеличении n1 и n2 F -распределение приближается к нормальному закону. Основные числовые характеристики F n1 , n2  -распределения: n MF  n1, n2   2 (существует при n2  2 ), n2  2 2n2 n1  n2  2  2 DF n1 , n2   (при n2  4 ). 2 n1 n2  2  n2  4  На рис. 3.13 приведены графики функций плотности F -распределения для различных значений n2 при n1  10 . f F ( n1 , n2 ) x  1 n1  10, n2  50 0,8 n1  10, n2  10 0,6 0,4 n1  10, n2  4 0,2 1 2 Рис. 3.12 3 4 x