Устойчивость тонкостенных стержней при сжатии

Устойчивость тонкостенных стержней при сжатии Кручение тонкостенного стержня. Как уже рассматривалось в теории тонкостенных стержней, тонкостенными профилями считаются профили, у которых отношение толщины стенки к габаритному размеру менее 1/5. Различают профили открытые и замкнутые. Открытые профили – простые и разветвленные – имеют малую жесткость при кручении и испытывают значительную депланацию, при которой плоское сечение стержня после деформации перестает быть плоским. Величина депланации связана с секториальной площадью, которую мы обозначали ω. Если стержень испытывает препятствия при депланации, то в сечении стержня возникают нормальные напряжения, распределенные по закону секториальных площадей. Они приводят к появлении в сечении стержня особого силового фактора – бимомента, который средствами статики обнаружить невозможно. При сжатии тонкостенного стержня возможна особая форма потери устойчивости, при которой стержень закручивается (иногда одновременно с изгибом). Особенно опасны в этом отношении стержни, сечение которых имеет вид пучка прямых. У них секториальная площадь близка к нулю, а, следовательно, жесткость на кручение намного меньше, чем у других профилей таких же размеров. Ниже приведены основные соотношения теории кручения тонкостенных стержней. Депланация . Здесь ω -секториальная площадь, -относительный угол закручивания, Относительный угол закручивания зависит от координаты x. Непостоянная по длине стержня депланация приводит к появлению линейных деформаций и напряжений. E – модуль упругости материала. Напряжения могут вызвать несколько силовых факторов. Нормальные сила и изгибающие моменты приводятся к нулю специальным выбором полюса, относительно которого строится секториальная площадь. Однако они приводят к появлению бимомента B: . (*) -главный секториальный момент инерции сечения стержня. Появление нормальных напряжений вызывает появление вторичных касательных напряжений, связанных с бимоментом, в отличие от касательных напряжений свободного кручения. Из теории упругости известно, что при двухосном напряженном состоянии поэтому при появлении σω в сечении появляются: . Эти напряжения приводят к моменту Mω . В сечении стержня действует два момента Mθ и Mω, которые уравновешиваются внешним крутящим моментом. Это условие приводит к дифференциальному уравнению углов закручивания. ; Можно продифференцировать это уравнение, тогда вместо крутящего момента в правой части будет распределенный внешний момент: В это уравнение можно подставить бимомент (*): . Это уравнение является исходным для решения задачи устойчивости тонкостенных стержней при сжатии. Стержень, имеющий две оси симметрии. Рассмотрим для начала тонкостенный стержень, сечение которого имеет две оси симметрии. В этом случае полюс на пересечении осей симметрии и совпадает с центром тяжести сечения. Примером такого стержня является двутавр. Стержень сжат осевой силой и во всех точках стержня до потери устойчивости действуют одинаковые сжимающие напряжения. Предположим, что при достижении критической нагрузки, все сечения стержня поворачиваются на некоторый угол (зависящий от x) и все «волокна» кроме центрального волокна становятся изогнутыми. Рассмотрим два сечения стержня на расстоянии dx друг от друга. Возьмем в сечении точку, отстоящую от полюса на ρ, и рассмотрим состояние продольного «волокна», проходящего через эту точку (рис. 47). Оба сечения повернуты относительно первоначального положения на углы φ и φ+dφ соответственно. За счет разности углов поворота сечений волокно наклоняется относительно продольной оси стержня на угол ψ. Из рисунка видно, что . В рассматриваемом волокне действуют напряжения σ, которые дают суммарную продольную силу σdF. За счет наклона волокна в сечении появляется касательная (горизонтальная ) сила . Поскольку волокно отстоит от полюса на ρ, в сечении появляется момент, равный . В соседнем сечении момент определяется теми же выражениями, но угол поворота сечения равен ψ+dψ, поэтому момент в сечении получает приращение . Это эквивалентно тому, что к стержню приложен внешний распределенный момент, интенсивностью Имея выражение для распределенного по длине стержня крутящего момента, можем записать дифференциальное уравнение углов закручивания. . Запишем в более удобной форме, введя обозначения: Решение дифференциального уравнения имеет вид . Принимая по концам стержня опоры, не препятствующие депланации (), получим не тривиальное решение и критические напряжения Для других краевых условий решение аналогично, и. как и для обычных стержней при изгибе, получим более общую формулу : . Эти критические напряжения должны быть учтены при оценке несущей способности стержня наравне с критическими напряжениями, соответствующими изгибным формам потери устойчивости. Особенно опасны стержни, у которых секториальная площадь близка к нулю (крест, полоса). Стержень, сечение которого имеет одну ось симметрии. Если сечение стержня имеет ось симметрии, то при потере устойчивости его сечения поворачиваются вокруг некоторой точки на оси симметрии, однако положение этой точки неизвестно. Предположим, что этой точкой является некоторая точка K, положение которой определим расстоянием от центра тяжести сечения (рис. 48). Предположим, что депланация торцов не стеснена, и получим выражение для крититических напряжений в стержне. (*) В этом выражении моменты инерции вычисляются относительно точки K. Поскольку ее положение неизвестно, определим его, как расстояние, при котором критические напряжения стержня окажутся минимальными. Если все необходимые геометрические характеристики, включая и секториальную площадь, вычислить относительно центральных осей и полюса в центре тяжести, то для полюса в точке K, получим: Секториальная площадь в новом полюсе Секториальный момент инерции: Полярный момент инерции: Подставляя в (*) получим выражение для критических напряжений: . Обозначим: . Критические напряжения будут минимальны если производная от критических напряжений по координате равна нулю. В новых обозначениях роль координаты yk выполняет η, которая и есть искомая координата с точностью до постоянного множителя. Решая это уравнение, найдем положение оси вращения . Подставляя найденное значение η, получим для критических напряжений уравнение: или Решая уравнение, найдем: Положение оси вращения найдем по формуле: . Последнее уравнение имеет аналог в теории двухосного напряженного состояния, когда для системы из нормальных и касательных напряжений нужно найти главные напряжения и положения главной площадки. Это делается с помощью круга Мора. На рис. 49 приведено графическое решение уравнения для критических напряжений. При сжатии тонкостенного стержня, сечение которого имеет одну ось симметрии, потеря устойчивости происходит в изгибно-крутильной форме, при этом одной из форм соответствуют критические напряжения, величина которых ниже, чем критические напряжения и изгиба и кручения. Кроме того, есть независимая форма потери устойчивости – изгиб относительно оси OZ. Стержень с несимметричным сечением. Рассмотрим поведение произвольного тонкостенного профиля при сжатии. В этом случае все идеи сохраняются, однако положение центра вращение неизвестно. Запишем выражение для критических напряжений при повороте относительно произвольно расположенного полюса. . При переходе к произвольному полюсу секториальная площадь изменится: , а секториальный момент инерции будет равен: Если обозначить , и все геометрические характеристики вычислять относительно главных осей инерции сечения (когда ), то секториальный момент инерции будет равен: . Полярный момент инерции соответственно будет равен: . Критические напряжения будут равны: . Обозначим, как и в предыдущем случае: , выражение для критических напряжений примет более простой вид: . Найдем положение центра вращения, при котором критические напряжения будут минимальны: . Решая полученные уравнения, найдем координаты центра: . Подставив их в выражение для критических напряжений, получим кубичное уравнение: . Как и в предыдущем случае в уравнение входят критические напряжения при потере устойчивости в форме изгиба в двух плоскостях и кручении относительно полюса. Его аналитическое решение затруднительно, но в численной форме всегда может быть найдено. Как показывает анализ, для такого стержня все формы потери устойчивости комбинированные – изгибно-крутильные. Они сочетают кручение с изгибом в двух плоскостях, причем такая форма потери устойчивости соответствует напряжениям меньшим, чем при потере устойчивости в чисто изгибной или крутильной формах. Устойчивость плоской формы изгиба. Рассмотрим стержень симметричного профиля (например швеллер) в состоянии чистого изгиба в плоскости симметрии (рис. 51). В результате действия изгибающего момента в сечении стержня возникают нормальные напряжения, распределенные по линейному закону, а ось стержня примет форму дуги (при непостоянном значении момента ось примет форму некоторой плоской кривой). Предположим, что при достижении некоторого предельного момента стержень начнет закручиваться и ось стержня станет пространственной кривой. Как и в предыдущем случае, предположим, что сечение стержня поворачивается относительно некоторой точки, причем эта точка не совпадает с центром кручения тонкостенного профиля, однако в силу симметрии лежит в плоскости симметрии стержня. При закручивании стержня наклон нагруженных волокон относительно оси стержня приводит к появлению крутящего момента. Как и ранее , . Тогда : . Дифференциальное уравнение примет вид: Обозначим, как обычно, ; . Решая уравнение, найдем для случая свободного опирания стержня по концам (здесь свободное опирание соответствует отсутствию препятствий для депланации) значение k, соответствующее новой форме равновесия. Обозначим: . Тогда Если у профиля две оси симметрии: